高中高考数学一轮复习综合检测AB卷平面解析几何综合测试卷A含解析答案

这是一份高中高考数学一轮复习综合检测AB卷平面解析几何综合测试卷A含解析答案，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合则能表示关系的图是（ ）
A． B．
C． D．
2．命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
4．设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．过抛物线的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
6．如图1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图2，已知，是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的一个旁心．直线与轴交于点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．直线：与：交于点P，圆C：上有两动点A，B，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．已知直线，则（ ）
A．时，直线的斜率为
B．无论取何值，直线均过定点
C．直线与圆相交，则
D．仅有三条直线与圆相切
9．已知圆，点在圆上，过可作的两条切线，记切点分别为，，则下列结论正确的为（ ）
A．当，时，点可是上任意一点
B．当，时，可能等于
C．若存在使得为等边三角形，则的最小值为
D．若存在使得的面积为，则可能为
10．已知，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，D，E分别为BC边上靠近B，C的四等分点，则下列说法正确的有（ ）
A．的面积的最大值为B．为定值
C．为定值D．若，则
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（ ）

A．曲线有两条对称轴
B．曲线上的点到原点的最大距离为
C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为
D．四叶草面积小于
三、填空题
12．函数的值域为 .
13．波斯诗人奥马尔·海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程的几何求解方法.在直角坐标系中，P，Q两点在x轴上，以为直径的圆与抛物线C：交于点，.已知是方程的一个解，则点P的坐标为 .
14．已知为坐标原点，，且，定点，则取最大值时直线的方程为 ．
四、解答题
15．如图，已知抛物线，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，抛物线上的点，设直线，的斜率分别为，.

(1)求的取值范围；
(2)过点作直线的垂线，垂足为.求的最大值.
16．如图，圆的半径为4，是圆内一个定点且是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，点在圆上运动.
(1)求点的轨迹；
(2)当时，证明：直线与点形成的轨迹相切.
17．已知双曲线的左、右顶点分别为，，渐近线方程为，过左焦点的直线与交于，两点．
(1)设直线，的斜率分别为，，求的值；
(2)若直线与直线的交点为，试问双曲线上是否存在定点，使得的面积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．

(1)求椭圆的方程；
(2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值；
(3)若点为圆上的动点，点，求的最小值．
19．已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点.
证明：①共线；
②为定值.
参考答案：
1．B
【分析】解出集合后，求得，逐项分析即可.
【详解】因为，
，
所以，
对于A，，错误；
对于C，，错误；
对于D，错误；B选项符合题意，
故选：B.
2．B
【分析】求出当命题为真命题时实数的取值范围，再结合充要条件的定义可得出结论.
【详解】若命题为真命题，则方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，，解得，
因此，使命题成立的充分必要条件是.
故选：B．
3．C
【分析】利用直线垂直的性质与基本不等式可求最小值.
【详解】因为，故即，
故，当且仅当时等号成立，
故的最小值为，
故选：C.
4．D
【分析】由椭圆和双曲线的标准方程分别表示出离心率，再根据运算得解.
【详解】因为，椭圆方程为，可得，
又由双曲线方程，可得，
因为，所以，整理得，
令，上式转化为，解得或（舍去），
.
故选：D.
5．B
【分析】如图所示，设直线AB的方程为：，．由于，可得直线CD的方程为．分别与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量的坐标运算和数量积运算、基本不等式的性质即可得出．
【详解】如图所示，
由抛物线可得焦点，设直线AB的方程为：，，
因为，所以，可得直线CD的方程为，
设，，，，
联立，化为，
得，，同理可得，，
，
同理可得，
，
当且仅当时取等号，
的最大值等于
故选：B.
6．D
【分析】根据双曲线的几何性质，角平分线性质，化归转化思想，即可求解．
【详解】解：因为是的一个旁心，所以平分，所以,
又平分，所以,所以，
即，所以,
所以，所以该双曲线的渐近线方程为．
故选：D
7．B
【分析】根据条件可知点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，作,则为的中点，求得最小值即可.
【详解】因为直线：，：，
则，
又的方程可化为，所以过定点，
的方程可化为，所以过定点，
所以点的轨迹是以为直径的圆(去除，
其方程为，
其圆心,半径，
作,则为的中点，
根据勾股定理易求得,
如图所示，当在同一条直线上时最小，

又,
，
故的最小值为，
故选：B.
8．CD
【分析】根据题意，转化为斜截式方程判断A；假设存在，利用特殊值求出定点，再检验判断B；根据直线与圆的位置关系判断C；根据三角函数的性质与直线与圆的位置关系求解判断D.
【详解】解：对于A选项，时，直线，即斜率为，故错误；
对于B选项，假设无论取何值，直线均过定点，故当时，直线，当时，直线，所以直线过定点，此时点应该满足时直线的方程，显然，所以不满足，故错误；
对于C选项，直线与圆相交，则原点到直线的距离为，故正确；
对于D选项，圆的圆心为，半径为，故当直线与圆相切满足，即或，
所以或，由于正弦函数在一个周期内，方程有两个实数根，有一个实数根，且彼此不相等，故正确；
故选：CD
9．AC
【分析】根据两圆的位置关系即可判断AB；根据为等边三角形，得，则，进而可判断C；根据，求出时，面积得最小值即可判断D.
【详解】圆的圆心，半径，
圆圆心，半径为，
对于AB，当，时，圆圆心，半径为，
，所以两圆外离，故点在圆外，
所以不可能等于，故B错误；
所以过可作的两条切线，即点可是上任意一点，故A正确；
对于C，若为等边三角形，则，
所以，
即存在使得，
又因为，
所以只需要即可，即，
所以，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，
，
因为，所以，
则，
当时，，
当且仅当点在线段且时，取得最小值，
此时，，则，
故，所以，
所以，
又当取得最小值时，最大，即的最大值为，
所以，
即当时，，
所以当的面积为时，不可能为，故D错误.
故选：AC.
10．ACD
【分析】以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，由求出点的轨迹方程，再由椭圆的性质对选项一一判断即可得出答案.
【详解】以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
所以，设，
，
所以由可得：，
化简可得，
故点的轨迹方程为，则，
对于A，当在短轴的端点时，的面积有最大值为，
故A正确；
对于B，由椭圆的性质知，不为定值，故B错误；
对于C；由椭圆的定义知，因为，所以为椭圆的焦点，
，故C正确；
对于D，，
所以，解得：或（舍去），
设，由椭圆的定义可得：，
则①，
由余弦定理可得：②，
①减②得：，
因为
，解得：，
，故D正确.
故选：ACD.
11．BCD
【分析】通过方程中的变换得新曲线的对称轴判断A，利用基本不等式及距离公式判断B，设出曲线中第一象限的点，利用基本不等式即可求出矩形面积最大值判断C，由该曲线在以原点为圆心，半径为的圆内，故面积小于圆的面积判断D.
【详解】对于A：当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
综上可知：有四条对称轴，错误；
对于B：因为，所以，所以，所以，
取等号时，所以最大距离为，正确；
对于C：设任意一点，所以围成的矩形面积为，
因为，所以，所以，
取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，正确；
对于D：由B可知，所以四叶草包含在圆的内部，
因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，正确.
故选：BCD.
12．
【分析】根据两点斜率公式，结合圆与直线的位置关系，即可结合图形求解.
【详解】设，则有，，
其几何意义为半圆上一动点到定点的连线的斜率．
如图：,则，
设过点A的直线为，
整理为，由点到直线的距离公式可得
，化简得或（舍），
所以，
故答案为:

13．
【分析】求得以为直径的圆的方程，与抛物线的方程联立，消去y，可得x的方程，由题意考虑两个三次方程有相同的解，可得所求点的坐标.
【详解】设，的中点为，则以为直径的圆的方程为，
与抛物线：联立，可得，
化简可得：，
由于，可得R，Q的横坐标相等，
则方程和方程有相同的解，
即有，解得，则.
故答案为：.
14．或
【分析】先设，由求出点轨迹为圆，又点在圆外，当为圆的切线时有最大值，从而求解.
【详解】设点，由，
所以，
所以点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，且点在圆外，
当取最大值时即等价于过点的直线与圆相切，
设过点的直线为，圆心到直线距离，解得，
此时直线为，即或，
故答案为：或.
15．(1)
(2)
【分析】（1）以点横坐标为自变量，用坐标表示，转化为函数值域求解即可；
（2）利用数量积的几何意义将转化为，再向量坐标化，转化为函数最值求解即可.
【详解】（1）直线的方程为，代入抛物线得：
，解得或，所以，
因为，
所以，，
则有，
又，则有，故的取值范围是.
（2）由（1）知，，
所以，，
，
令，，
则，
由于当时，，当时，，
故，即的最大值为.
16．(1)点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的定义可得答案；
（2）以线段的中点为坐标原点，以过点的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，求出椭圆的标准方程，当时，点的坐标为和，求出直线的方程与椭圆方程联立利用判别式可得答案.
【详解】（1），
因为，所以与两个定点的距离的和等于常数（大于），
由椭圆的定义得，点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆；
（2）以线段的中点为坐标原点，以过点的直线为轴，
以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
设椭圆的标准方程为，
由椭圆的定义得：，即，即，
则椭圆的标准方程为，
当时，点的坐标为和.
当点的坐标为时，已知点的坐标为，
线段的中点坐标为，直线的斜率为，
直线的方程，联立方程，得，
整理得，可得，
所以直线与点形成的轨迹只有1个交点，即直线与点形成的轨迹相切.
当点的坐标为时，已知点的坐标为，
线段的中点坐标为，直线的斜率为，
直线的方程，联立方程，
得，
整理得，可得，
所以直线与点形成的轨迹只有1个交点，即直线与点形成的轨迹相切.
综上，直线与点形成的轨迹相切.
17．(1)
(2)存在定点或
【分析】（1）根据题意求出双曲线的方程，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再根据斜率公式化简整理即可得出答案；
（2）设，求出直线的方程为，直线的方程为，再根据题意可得，从而可得，进而可求出，进而可得出结论.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，
则，
因为，所以，
所以双曲线的方程为，
由题意，直线不与双曲线的渐近线平行且斜率不等于零，
故可设直线的方程为，
联立，得，
则，
，
，则
，
所以；
（2）假设存在点，，
设，直线的方程为，
直线的方程为，
因为直线与直线的交点为，
所以，
所以，
由（1）知，代入上式，
得，
所以，
故点在直线上，
设点为过左焦点且与直线平行的直线与双曲线的交点，
则点的坐标为或，
，
所以双曲线上存在定点或，使得的面积为定值.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由离心率公式、平方关系以及三角形面积公式列方程即可求解.
（2）由题意设直线的方程为，联立椭圆方程求得点的坐标，然后由数量积的坐标公式求解即可.
（3）由三角形三边关系结合椭圆定义进行转换即可，注意取等条件是否成立.
【详解】（1）由题意离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．
所以，
又，
所以解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）椭圆的方程为.

由题意，因为，所以设，
则直线的方程为，将其与椭圆方程联立得，
消去并整理得，，当时，，
所以解得，即，
所以，
所以.
（3）

设交圆于点，由三角形三边关系得等号成立，当且仅当三点共线，即点重合时，
由椭圆定义有，
所以，
等号成立当且仅当点重合时，且点重合，其中点是与椭圆的交点，
综上所述，的最小值为.
19．(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据渐近线方程与焦点坐标列方程组求解，即可得双曲线标准方程；
（2）①设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，与双曲线方程联立得交点坐标关系，从而可得直线与直线的方程，联立两直线可得坐标关系，从而证得结论；②设坐标为，直线方程为，结合①中坐标关系，利用两点之间的距离公式可得结论.
【详解】（1）由题意得解得
所以双曲线的标准方程为；
（2）证明①：设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，其中，
联立方程消去可得，该方程有两个正根，解得，
根据韦达定理：，
直线的方程为，而，即，
直线的方程为，而，即，
联立方程两式相加得，
代回方程组得，
根据，易得，
即都在直线上，所以共线；
证明②：由①得：设坐标为，直线方程为，
即①中，根据①中的计算，
，
，
，
所以.
【点睛】思路点睛：直线与双曲线的位置关系，联立直线与双曲线方程，得到根与系数的关系，利用坐标关系可求解点的横纵坐标关系、直线上两点距离、三角形面积、定值定点等几何性质问题，但需要注意计算技巧处理.