高中高考数学一轮复习综合检测AB卷数列综合测试卷A含解析答案

这是一份高中高考数学一轮复习综合检测AB卷数列综合测试卷A含解析答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．数列满足,若，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列是首项为1的等比数列，前n项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．或
4．复数的虚部是（ ）
A．1012B．1011C．D．
5．如果为各项都大于零且不相等的等差数列，则下列选项一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．记数列的前项和为，设甲：是公比不为1的等比数列；乙：存在一个非零常数，使是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的必要不充分条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件
7．已知数列的前n项和为，，且，若不等式对一切恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，矩形的一边在轴上，另两个顶点，在函数（）的图像上.若点的坐标为（，），矩形的周长记为，则（ ）
A．216B．108C．220D．110
二、多选题
9．已知是等差数列的前项和，满足，设，数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．使得成立的最大的值为4045
C．
D．当时，取得最小值
10．设数列，满足，，则下列函数使得，有相等的项的是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，是一块半径为的圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆其直径为前一个剪掉半圆的半径得图形，，，，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知正项数列的前项积为，且满足，则 .
13．在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值 .
14．已知等差数列中，，则数列前9项和最大值是 .
四、解答题
15．数列前项和满足，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列前项和．
16．设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列．已知，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求；
17．已知数列满足，．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若记为满足不等式的正整数k的个数，设数列的前n项和为，求关于n的不等式的最大正整数解．
18．已知等差数列的首项为1，前项和为，单调递增的等比数列的首项为2，且满足.
(1)求和的通项公式；
(2)证明：；
(3)记的前项和为，证明：.
19．数列的前n项和为，若存在正整数r，t，且，使得，同时则称数列为“数列”．
(1)若首项为3，公差为d的等差数列是“数列”，求d的值；
(2)已知数列为等比数列，公比为q．
①若数列为“数列”，，求q的值；
②若数列为“数列”，，求证：r为奇数，t为偶数．
参考答案：
1．D
【分析】利用递推关系式计算求出数列周期可得答案.
【详解】,又，，，所以数列周期为，
故选：D
2．C
【分析】设公比为，根据等比数列的通项公式和前项和公式列出等式可求出结果.
【详解】设公比为，因为，所以，
又，所以，所以或0（舍去），
故，，
故.
故选：C.
3．D
【分析】由递推关系式可得，化简后根据等差数列及等比数列的定义即可求出通项公式.
【详解】由已知，得，则时，.
若，则是以1为首项，1为公差的等差数列，此时.
若，即，
则是以为首项，-1为公比的等比数列，
则.
故选：D
4．D
【分析】由错位相减法化简复数后再由复数的运算和复数的几何意义求出结果即可.
【详解】因为，
，
所以，①
因为，所以，，
所以化简①可得，
所以虚部为，
故选：D.
5．B
【分析】根据等差数列的基本量，通过作差比较大小即可.
【详解】因为如果为各项都大于零组不相等的等差数列，
所以，
对于A，B，，
因为，所以，所以，即，故错误，B正确；
对于C，D，，
因为，所以，大于0或者小于0不能确定，
所以和
大小关系无法确定，故错误，
故选：B.
6．B
【分析】利用等比数列前项和公式，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】设数列的首项和公比分别为，，
则，取，得，显然数列是等比数列；
反之，取，，此时，数列为等比数列，而不是等比数列，
所以甲是乙的充分不必要条件.
故选：B
7．B
【分析】根据递推公式等价变形构造等比数列，求出数列的通项，利用错位相消法求得，对进行奇偶分类，将不等式运用参变分离法分别求出参数的范围再求交集即得.
【详解】因为，，所以，
而，所以是以为首项，公比为的等比数列.
于是，，即，
所以，
，
两式相减得，，
即 .
由，得，
即
①当为奇数时，有，因是单调增数列，故，从而；
②当为偶数时，有，因，从而.
综上，的取值范围为．
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查构造等比数列求通项和错位相减法求数列的和以及运用参变分离法求解恒成立问题等知识点，属于难题.解题关键在于根据数列递推公式特征构造等比数列，运用错位相减法求数列的和，并就的奇偶分类求出的取值范围．
8．A
【分析】先确定点，的坐标，进而可得矩形的周长，进而可求和.
【详解】令，则，即方程若有两不等根，则这两不等根必互为倒数，
因为点，在函数（）的图像上，且点的坐标为，
则点的坐标为，的坐标为，
所以矩形的周长，
所以.
故选：A.
9．ACD
【分析】直接利用等差数列的下角标性质及求和公式，裂项相消法，判断ABCD的正误．
【详解】对于A： ，
且，由等差数列性质，，公差，A正确；
对于B，，
所以成立的最大的值为4046，B错误；
对于C：由等差数列性质 ，
且，
故，
则，即，C正确；
对于D，，则数列，
所以．
由于，可得要使取得最小值，需取得最小值，
需先满足，所以或，
由C选项分析知：，
且，故取最小时，即，
此时最小，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：利用等差数列下角标性质得到正负分界是解决此题的关键.
10．AC
【分析】根据各个选项的条件求得，的通项公式，依照题意分析即可.
【详解】对于A，若，
则
，
所以，此时，符合题意，故A正确；
对于B，若，
则
，
所以，
此时，不可能有相等的项，故B错误；
对于C，若，
则，
，
所以，
此时，符合题意，故C正确；
对于D，若，
则，
，
所以，此时，不可能有相等的项，故D错误，
故选：AC.
11．ABD
【分析】利用列举前几项的方法，判断AB；根据列举的规律，写出，再求和，判断C；利用与的关系，即可判断D.
【详解】根据图形生成的规律可知，
，，，故A正确；
，，，故B正确；
根据题意可知，图形中被剪去的最小的半圆的半径为，
所以当
故C错误；
根据题意可知，图形中被剪去的最小的半圆的半径为，
，故D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过列举的方法，发现图形间的规律，转化为数列问题，进行数学计算.
12．
【分析】根据题设得，且，进而得到，由等比数列定义写出通项公式，即可得.
【详解】由题意，且，所以，
又，且，
所以，则，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题和数列的单调性的应用求出结果．
【详解】由整理得，即，又，
故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，可得,
不等式，可化为，
令，当时，；
当时，，，
故当时，单调递减，故，
综上，，
所以，故最小值为．
故答案为：
14．45
【分析】设等差数列的公差为，由，得，所以，求出的范围，利用求出答案.
【详解】设等差数列的公差为，
由，得，
整理得，该等式可看作是关于的一元二次方程，
所以，解得，
所以.
所以数列前9项和的最大值为45.
故答案为：45.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）根据求出是以为首项，为公比的等比数列，得到的通项公式，并求出；
（2）得到，解不等式求出，推出为等比数列，利用公式求出前项和.
【详解】（1），①，当时，，
当时，②，
两式①-②得，即，
其中，也满足上式，
故是以为首项，为公比的等比数列，
故；
；
（2），
令，解得，又，
故，则，
故，所以为等比数列，首项为，公比为3，
所以.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为．由基本量法求得，得通项公式，由与的关系求得的公差和首项得通项公式；
（2）用分组求和法结合等比数列、等差数列前项和公式可得．
【详解】（1）设等比数列的公比为．由，，
得．因为，得，故．
设的公差为，由得．由，
得，从而，，故．
所以，，．
（2）由（1），有，故
17．(1)证明见解析，
(2)8
【分析】（1）根据题意，化简得到，得出所以为等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解；
（2）由，求得，得到，结合乘公比错法求和，得到，进而得到答案.
【详解】（1）由取倒数得，可得，即，
又由，可得，所以为首项为，公差为的等差数列，
则，故，即数列的通项公式.
（2）由，可得，
则，则，
所以这样的有个，故，则，
所以，
则，
两式相减得：，
所以，易知为递增数列，
又因为，，，
所以，故，则最大正整数解为8．
18．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据条件，列出关于的方程组，即可求解；
（2）根据数列的前项和与的关系，集合等差数列的通项公式，即可证明；
（3）首先化简并放缩不等式，，再利用裂项相消求和，即可证明.
【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，
所以即
解得（舍去），或
所以.
（2）由（1）知，
所以
（3）由（1）知.
所以
所以
.
即
19．(1)；
(2)①或；②证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件及“数列”的定义，列出方程组并求解即得.
（2）①由数列为“数列”可得，再由，即可求出结果；②根据数列为“数列”可得，构造函数，再按均为偶数；为偶数，为奇数；均为奇数分类，结合导数的方法进行处理，推理即得.
【详解】（1）由首项为，公差为的等差数列是“数列”，得，
即，解得，
所以d的值是.
（2）①由数列为“数列”，得，而数列为等比数列，公比为q，
当时，无解，则，，整理得，
而，则当时，；当时，，
所以或.
②由数列为“数列”， 得，而数列为等比数列，公比为q，
又，则，整理得，
当均为偶数时，由，得，有，不符合题意；
当为偶数，为奇数时，，不符合题意；
当均为奇数时，，令，
求导得，
令，，求导得，
当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，
即，因此函数在上单调递增，即，不符合题意，
所以为奇数，为偶数.
【点睛】易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论.