湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期第一次大练习数学试题（原卷及解析版）

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是( )
A. 矩形B. 平行四边形
C. 菱形D. 梯形
【答案】D
【解析】
【详解】由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.选D.
点睛：集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
2. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解不等式可得集合，进而可得
【分析】集合，，
所以，
故选：A.
3. 下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；
③空集是任意集合的子集，故，正确；
④空集没有任何元素，故，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
4. 已知､､，那么下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若且，则D. 若且，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】对于选项A，当为0时不成立；
对于选项B，当为负数是不成立；
对于选项C，由且可得，所以故C正确；
对于选项D，若且说明同号，当为正数时不成立.
故选：C
5. 已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】命题“，”为真命题等价于在上有解，构造函数求最大值代入即可．
【详解】命题“，”为真命题等价于在上有解，
令，，则等价于，，
故选D．
【点睛】本题考查了存在量词和特称命题，属中档题．
6. 不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用必要条件和充分条件的定义判断.
【详解】由，解得，
所以不等式成立一个必要不充分条件是.
故选：D.
7. 若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
分离参数使不等式化为，使乘以利用基本不等式求出的最小值即可求解.
【详解】将不等式化为，只需当时，即可，
由
，
当且仅当时取等号，故,故m的最大值为9.
故选：C
【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于中档题.
8. 在R上定义运算：a⊕b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. {m|－2C. {m|－3【答案】C
【解析】
【分析】根据定义求出(m－x)⊕(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，将不等式分离参数后，转化为最大值使不等式成立，根据二次函数求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.
详解】依题意得(m－x)⊕(m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，
因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，
所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m即当1≤x≤2时，m2＋m<(x2－x＋4)max.
因为1≤x≤2，所以当x＝2时，x2－x＋4取最大值6，
所以m2＋m<6，解得－3故选：C．
【点睛】本题考查了对新定义的理解能力，考查了不等式能成立问题，考查了二次函数求最值，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.
二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知集合A={1，2，}，B={1，}，若，则a的可能取值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】BD
【解析】
【分析】利用，可得或，再验证即可．
【详解】因为，
又集合，2，，，，
所以或，
解得或或，
当时，不满足集合元素的互异性，
所以或．
故选：BD．
10. 若，，则下面四个不等式成立的有（ ）
A B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质直接推导可判断ABC；先将等价变形，然后由不等式性质推导可判断D.
【详解】由可得，所以∴，故A正确；
由可得，所以，即，∴，故B不正确；
因为，，所以，，所以，∴，故C正确；
由题可知
由于，
由上可知，，所以，所以，故D正确；
故选：ACD．
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题“若，则”的否定是“若，则”
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为
D. 命题“，”是真命题，则实数m的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定及存在量词命题的否定可判断AB，根据全称量词命题及存在量词命题的真假结合二次函数的性质可判断CD.
【详解】命题“若，则”为全称量词命题，它的否定为存在量词命题“，则，故A不正确；
命题“，”的否定是“，”，故B正确；
“，”是假命题，则它的否定“，”是真命题，
则当时，，不合题意，
当时，则，解得，故C正确；
“，”是真命题，则，
又，
则，解得，故D正确．
故选：BCD．
12. 已知，则的值可能是
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】,有则且,分和打开 ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.
【详解】由，得，则且.
当时, =
=.
当且仅当即 时取等号.
当时, =
=
当且仅当即 时取等号.
综上，.
故选：C D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 命题“全等三角形的面积都相等”的否定是_______________
【答案】存在两个全等三角形的面积不相等
【解析】
【分析】由原命题为全称命题，结合全称命题的否定为特称命题求解．
【详解】解：∵原命题：全等三角形的面积都相等，为全称命题，
∴它的否定为：存在两个全等三角形的面积不相等，
故答案为存在两个全等三角形的面积不相等
【点睛】本题重点考查全称命题和特称命题，全称量词和存在量词的概念及应用，属于基础题．
14. 已知，则的最大值是________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意，根据基本不等式，可得答案.
【分析】，当且仅当，即时取等号.
，故的最大值是.
故答案为：
15. 已知函数，对于任意的，恒成立，则的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：，.
考点：不等式的性质；二次函数的值域.
【易错点睛】求二次函数最值的类型及解法：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．（2）常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．
16. 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
【答案】 ①. 6 ②. 12
【解析】
【详解】试题分析：设男生人数、女生人数、教师人数分别为，则.
①，
②
【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设，集合，，若．
（1）求的值；
（2）集合，，若，求实数c的取值范围．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）利用集合元素相等，可得、的值，从而求的值；
（2）利用集合之间的关系转化到在上恒成立，进而求解即可．
【小问1详解】
设，，，，，，若，则，，
故；
【小问2详解】
由（1）可知：，则在上恒成立，
记，则只需要，．
18. （1）设，试比较与的大小；
（2）已知，，，且，求证：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用作差法，即可比较两式的大小；
（2）利用作差法，即可证明．
【详解】（1）解：
；
因为，所以，，
所以，
所以；
（2）证明：，
因为且，，
所以；
又因为，所以，
所以．
【点睛】本题考查了代数式的比较大小问题，常用作差法比较大小，属于基础题．
19. 对于有限个自然数组成的集合，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合.
（1）若，求；
（2）若集合，证明：的充要条件是.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题干中对集合和的定义，可以求出两个集合
（2）证明充要条件要从两方面证明，一是证明充分性，而是证明必要性，都成立则说明是充要条件
【详解】解：（1）若集合, 则根据定义可得：.
（2）由.
充分性：设是公差为的等差数列,
则
且, 所以共有个不同的值, 即.
必要性：若,
因为,
所以中有个不同的元素：,
任意的值都与上述某一项相等.
又, 且.
所以, 所以是等差数列，且公差不为.
20. 已知 .
（1）当时，求xy的最大值；
（2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）结合已知等式，结合基本不等式进行求解即可；
（2）问题转化为解不等式，结合已知等式，利用基本不等式求出，然后解一元二次不等式即可.
【详解】（1）因为，，
所以有，当且仅当时，取等号，即且时，取等号，所以xy的最大值为；
（2）因为，所以，而，
所以有：
，
即，当且仅当时，取等号，即且时，取等号，
因此，要想不等式恒成立，
只需成立，即，解得.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.
21. 党十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入（单位：万元）与售价量x（单位：万盒）之间满足关系式．
（1）写出利润（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本）
（2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入－成本，分，两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【小问1详解】
当时，，
当时，，
故．
【小问2详解】
当时，，
故当时，取得最大值，且最大值为128，
当时，
，
当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立，此时取得最大值，且最大值为136，
由于，
所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元．
22. 已知二次函数.
（1）若的解集为，解关于的不等式.
（2）若对任意，恒成立，求的最大值.
（3）已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为1；（3）.
【解析】
【分析】（1）利用的解集为，得出，，的关系，再解关于的不等式；
（2）对任意，恒成立，等价于，且，借助均值不等式可得最大值；
（3）由对于一切实数恒成立，可得，由存在，使得成立可得，结合均值不等式得到结果.
【详解】解：（1）∵的解集为，
∴，，，，
∴，
∴解集为，
（2）∵对任意，恒成立，
∴，且
∴，，
故，
∴，当，时取“”，
∴的最大值为1；
（3）由对于一切实数恒成立，可得即，
由存在，使得成立可得，
∴，
∴，又，
∴，
当且仅当时“”成立.