苏科版4.1 平方根当堂达标检测题

这是一份苏科版4.1 平方根当堂达标检测题，共42页。试卷主要包含了1 平方根与立方根，定义，算术平方根，5858858885…个，385，若53，96等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
1、理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根，掌握用平方运算求某些数的平方根的方法；
2、理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法，理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；
3、了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根，理解开立方的概念；
4、明确立方根数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；
【教学重难点】
1、平方根的概念及求某些数的平方根的方法；
2、理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；
3、立方根的概念及求某些数的立方根的方法；
【知识亮解】
知识点一：平方根、算术平方根
1.定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数 a 的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
3.算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
亮题一：平方根和算术平方根的定义
【例1】★16的算术平方根的平方根是________.
【例2】★下列说法中正确的有（ ）．
①只有正数才有平方根． ②是4的平方根． ③的平方根是．
④的算术平方根是． ⑤的平方根是． ⑥ ．
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
【例3】★已知a是最大的负整数，b的算术平方根是它本身，求a+b是________．
亮题二：平方根的运算
【例1】★求下列各式的值．
(1)； (2)．
【例2】★ 一个正数的平方根是与，则是多少？
【例3】★★求下列各式中的.
（1） （2）； （3）
亮题三：算术平方根的双重非负性
【例】★ 已知求的值．
知识点二：立方根
1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数立方根唯一．
亮题四：立方根的定义
【例1】★下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4B．是的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1D．
【例2】★已知a的平方根是±8，则它的立方根是________；36的算术平方根是________．
【例3】★如果－是的立方根，则下列结论正确的是（ ）
－＝ B．－＝ C．＝ D．＝
【例4】★下列说法中正确的有（ ）个.
① 负数没有平方根，但负数有立方根． ②的平方根是的立方根是
③如果，那么＝－2． ④算术平方根等于立方根的数只有1．
A．1 B．2 C．3 D．4
亮题五：立方根的运算
【例1】★求下列各式的值：
（2） （3）
（4） （5）
【例2】★★求下列各式中的值．
（1）；（2）；（3）；（4）．
亮题六：平方根、立方根的综合应用
【例1】★★小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片。
【例2】★已知2是x的立方根，且(y-2z+5)2+=0，求的值。
【例3】★ 在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，
并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了
．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
【亮点训练】
1．已知与是一个正数的平方根，则这个正数是（ ）
A．1或9B．3C．1D．81
2．如图，一个正方体实心木块的棱长为，一只蚂蚁从点A到点B处吃到食物，那么爬行的最短距离是（ ）．
A．B．8C．12D．
3．类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根
B．任何实数a都有奇数次方根
C． =a
D．=a
4．所给的数据：、、0、、、0.5858858885…（相邻两个5之间的8的个数逐次增加1个），其中无理数的个数有（ ）个.
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．若关于x、y的二元一次方程组与的解相同，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
6．设m为大于1且小于100的整数，则m的平方根中，属于无理数的个数有（ ）
A．92个B．180个C．182个D．184个
7．若互为相反数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．若一个正数m的两个平方根分别是3a＋2和a－10，则m的立方根为（ ）
A．－4B．4C．－2D．2
9．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根是_____________．
10．甲同学利用计算器探索一个数x的平方，并将数据记录如表：
根据表求得282.24的平方根是______．
11．的平方根是_________；的相反数是_________；_________．
12．若，，则______．
13．已知三角形三边分别为、、，其中、满足，那么c的取值范围是______．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线MN交BC于点D，则AD＝_____．
15．已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为___________．
16．对于任意两个正实数，，定义运算“☆”：．如：．根据定义可得______．
17．先化简，再求值：
，其中．
18．
(1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律：
(2)根据你发现的规律填空：
① 已知：2.775，8.775.则___________，___________；
② 已知：5.385，若53.85.则x=___________．
(3)将你发现的规律用文字语言表述出来.
19．已知某个正数的两个平方根分别是和，的立方根是2．
(1)求ab的值．
(2)求的平方根．
20．类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义：
①如果，那么x叫做a的四次方根；
②如果，那么x叫做a的五次方根；
请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题：
(1)81的四次方根为____________；-32的五次方根为____________；
(2)若有意义，则a的取值范围是____________；
(3)解方程：①；②．
【培优检测】
1．下列各数中：3.1415926，，0.2，，，，，．其中无理数的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根（ ）
A．B．2C．4D．
4．已知是二元一次方程组的解，则的立方根为（ ）
A．B．C． D．
5．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（ ）
A．6cmB．12cmC．18cmD．24cm
6．关于x的方程的解是______．
7．已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则＝___．
8．如图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的x的值为﹣2，输出的值为﹣，则输入的y值为 _____．
9．观察分析下列数据，发现其中的规律：0，，，-3，，，，……，则第31个数据是_______．
10．把如图①中的长方形分割成A，B两个小长方形，现将小长方形B的一边与A重合，另一边对齐恰好组成如图②的大正方形，（空余部分C是正方形）．若拼接后的大正方形的面积为5，则图①中原长方形的周长为_________．
11．已知正实数x的平方根是m和.
(1)当时，求m的值；
(2)若，求x的值.
12．如图，已知M是线段AB的中点，点P在MB上，分别以AP，PB为边作正方形APCD和正方形PBEF．设，正方形APCD和正方形PBEF的面积之差为．
(1)直接写出AP=________， BP=_________（用含有a，b的代数式表示）
(2)用含，的代数式表示（结果要化简），并求出当时的值．
(3)若，设，是否存在有理数，使得能化简为？若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由．
13．如图，ABCD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝15xy，且．
(1)求n的值．
(2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°．
(3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情况）
14．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
(1)求的值；
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方跟．
15．（1）利用求平方根、立方根解方程：
①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0．
（2）观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729
（ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是
（ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：
①= ； ②= ；③= ．
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
x
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17.0
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24
285.61
289
a
0.0036
0.36
36
3600

___________
___________
___________
___________
a
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
625000
0.25
0.791
m
n
25
79.1
250
791
专题4.1 平方根与立方根
【教学目标】
1、理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根，掌握用平方运算求某些数的平方根的方法；
2、理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法，理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；
3、了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根，理解开立方的概念；
4、明确立方根数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；
【教学重难点】
1、平方根的概念及求某些数的平方根的方法；
2、理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别；
3、立方根的概念及求某些数的立方根的方法；
【知识亮解】
知识点一：平方根、算术平方根
1.定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数 a 的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
3.算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
亮题一：平方根和算术平方根的定义
【例1】★16的算术平方根的平方根是________.
【解析】∵16的算术平方根是4，4的平方根是±2， ∴16的算术平方根的平方根是：±2.
【分析】根据算术平方根的定义及平方根的定义即可求解.
【例2】★下列说法中正确的有（ ）．
①只有正数才有平方根． ②是4的平方根． ③的平方根是．
④的算术平方根是． ⑤的平方根是． ⑥ ．
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
【答案】A
【解析】只有②是正确的.
①零也有平方根；②是正确的；③平方根是4和-4；
④这里的a要分正负，负数的算数平方根应该是-a；
⑤平方根是6和-6；⑥答案是3.
【例3】★已知a是最大的负整数，b的算术平方根是它本身，求a+b是________．
【解析】∵ a是最大的负整数，∴a=-1,∵b的算术平方根是它本身，
∴b=0或1，∴当b=0时，a+b=-1+0=-1，当b=-时，a+b=-1+1=0，故答案为：-1或0.
亮题二：平方根的运算
【例1】★求下列各式的值．
(1)； (2)．
【点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.
【解析】(1)；
(2)．
【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．
(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解．
【例2】★ 一个正数的平方根是与，则是多少？
【解析】∵一个正数的平方根是与，∴与互为相反数，
即＋＝0，解得.
【例3】★★求下列各式中的.
（1） （2）； （3）
【解析】（1）∵，∴， ∴。
（2）∵，∴， ∴＋1＝±17， ＝16或＝－18。
（3）∵，∴，∴，∴。
【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.
亮题三：算术平方根的双重非负性
【例】★ 已知求的值．
【解析】∵∴－2＝0且＝0，
解得＝2，＝－3，∴＝2－3＝－1.
知识点二：立方根
1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数立方根唯一．
亮题四：立方根的定义
【例1】★下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4B．是的立方根
C．立方根等于本身的数只有0和1D．
【解析】64的立方根是4；是的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.故答案是：D。
【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同； .
【例2】★已知a的平方根是±8，则它的立方根是________；36的算术平方根是________．
【解析】∵a的平方根是±8， ∴a=64，则它的立方根是4，36的算术平方根是6，故答案为：4，6．
【分析】先求出a，再求出a的立方根即可，根据算术平方根定义求出即可．
【例3】★如果－是的立方根，则下列结论正确的是（ ）
－＝ B．－＝ C．＝ D．＝
【解析】由题意.
【例4】★下列说法中正确的有（ ）个.
① 负数没有平方根，但负数有立方根． ②的平方根是的立方根是
③如果，那么＝－2． ④算术平方根等于立方根的数只有1．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】只有①正确. 算术平方根等于立方根的数有0和1．
亮题五：立方根的运算
【例1】★求下列各式的值：
（2） （3）
（4） （5）
【解析】（1） （2） （3）

（4） （5）

【例2】★★求下列各式中的值．
（1）；（2）；（3）；（4）．
【点拨】根据立方根的定义，若，则，对于（2）、（3）、（4）可分别把看成一个整体.
【解析】
（1）∵，∴，∴ .

亮题六：平方根、立方根的综合应用
【例1】★★小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片。
【解析】设长方形纸片的长为3 (＞0) ，则宽为2，依题意得：.
，.
∵ ＞0，∴ ，∴ 长方形纸片的长为.
∵ 50＞49, ∴， ∴ , 即长方形纸片的长大于20.
由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.
答:小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片。
【例2】★已知2是x的立方根，且(y-2z+5)2+=0，求的值。
【分析】利用立方根的性质求出x的值，再根据非负数之和为0，则每一个数为0，建立关于x，z的方程组，解方程组求出x，z的值，然后代入计算可求出结果。
【解析】 ∵2是x的立方根，∴x=23=8，
∵ (y-2z+5)2+=0，∴，解之：，∴原式=。
【例3】★ 在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，
并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了
．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
【思路点拨】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积.
【解析】铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．
设铁块的棱长为，可列方程解得
设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6.
答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4 .
【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行
【亮点训练】
1．已知与是一个正数的平方根，则这个正数是（ ）
A．1或9B．3C．1D．81
【答案】C
【分析】由与是一个正数的平方根，可得或 再分两种情况讨论即可.
【详解】解：∵与是一个正数的平方根，
∴或
∴当不符合题意；
∴
∴
解得：
∴
∴这个正数是
故选C
【点睛】本题考查的是平方根的含义，掌握“一个正数的平方根有两个，且互为相反数”是解本题的关键.
2．如图，一个正方体实心木块的棱长为，一只蚂蚁从点A到点B处吃到食物，那么爬行的最短距离是（ ）．
A．B．8C．12D．
【答案】D
【分析】展开后，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．
【详解】解：展开图如图，根据题意，最短距离为AB的长，
在Rt△ABC中，AC=4cm，BC=8cm，∠ACB=90°，
根据勾股定理得：（cm），
即蚂蚁爬行的最短距离是cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用中的最短路径问题，熟知将空间图形展开，两点之间的连线即为最短路径是解答的关键，还考查了学生的空间想象能力数学知识的运用能力．
3．类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根
B．任何实数a都有奇数次方根
C． =a
D．=a
【答案】D
【分析】利用次方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：任何实数的偶数次都是非负数，
负数没有偶数次方根，
∴A选项的结论不符合题意；
任何实数都有奇数次方根，
∴B选项的结论不符合题意；
，
，
∴C选项的结论不符合题意；
，
∴，
∴D选项的结论符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方根的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用次方根的定义是解题的关键．
4．所给的数据：、、0、、、0.5858858885…（相邻两个5之间的8的个数逐次增加1个），其中无理数的个数有（ ）个.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】解：在、、0、、、0.5858858885…（相邻两个5之间的8的个数逐次增加1个）中无理数有、、0.5858858885…（相邻两个5之间的8的个数逐次增加1个），即无理数有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无限不循环小数是无理数．
5．若关于x、y的二元一次方程组与的解相同，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】先解方程组，再把方程组的解代入和，求出a、b的值，代入计算即可．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组与的解相同，
∴方程组的解满足四个方程，
解方程组得，，
把分别代入和得，
，，
解得，，；
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解和算术平方根，解题关键是明确同解方程的意义，熟练掌握解二元一次方程组的步骤．
6．设m为大于1且小于100的整数，则m的平方根中，属于无理数的个数有（ ）
A．92个B．180个C．182个D．184个
【答案】B
【分析】1至100之间，除去完全平方数，余下的数字的平方根均为无理数．
【详解】1至100之间（不含1和100）共计有98个数，完全平方数有4、9、16、25、36、49、64、81，共计8个数，
则余下的数有98-8=90个数，
则m可以取的数有90个，
这90个数的平方根有180个，且都是无理数，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数以及平方根的知识．无限不循环的小数是无理数，找到m可以取值的个数是解答本题的关键．
7．若互为相反数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据立方根的定义、整式的混合运算法则解题即可．
【详解】解：∵互为相反数，
∴
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查立方根、求代数式的值，熟练掌握立方根、整式的混合运算法则是解决问题的关键．
8．若一个正数m的两个平方根分别是3a＋2和a－10，则m的立方根为（ ）
A．－4B．4C．－2D．2
【答案】B
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而求出m的值，再求m的立方根即可．
【详解】解：∵一个正数m的两个平方根分别是3a+2和a-10，
∴3a+2+a-10=0，
∴a=2，
∴3a+2=8，a-10=-8．
∴一个正数m的两个平方根分别是8和-8，
∴m=64，
∴m的立方根为．
故选：B．
【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答此题的前提．
9．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根是_____________．
【答案】2
【分析】将代入后，再将方程组中的两个方程相加，可求出m，n的值，再求解即可．
【详解】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
解得：
∴，4的算术平方根是2，
故答案为：2
【点睛】本题考查二元一次方程组的解及算术平方根，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．
10．甲同学利用计算器探索一个数x的平方，并将数据记录如表：
根据表求得282.24的平方根是______．
【答案】±16.8
【分析】根据表中数据即可得到解答．
【详解】解：由图表可知16.8的平方为282.24，
∴282.24的平方根是±16.8．
故答案为：±16.8．
【点睛】本题考查了求平方根，解决本题的关键是从图表中获取关键信息．
11．的平方根是_________；的相反数是_________；_________．
【答案】
【分析】根据立方根的定义，得出的立方根，再根据平方根的定义，计算即可；根据只有符号不同的两个数互为相反数，计算即可；首先判断绝对值里面的数的大小，再根据负数的绝对值为它的相反数，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的平方根是；
∵的相反数是=，
∴的相反数是；
∵，
∴．
故答案为：；；
【点睛】本题主要考查了立方根、平方根、相反数和绝对值的定义，熟悉掌握相关定义是解本题的关键．一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根；如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做的立方根．
12．若，，则______．
【答案】6
【分析】由题意可得出x、y的值，然后问题可进行求解．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴；
∵，
∴；
∴；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查算术平方根及立方根，还考查了绝对值的非负性，熟练掌握求一个数的算术平方根及立方根是解题的关键．
13．已知三角形三边分别为、、，其中、满足，那么c的取值范围是______．
【答案】##
【分析】首先根据非负数的性质计算a、b的值，然后根据三角形三边的关系可得c的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和三角形三边关系，根据非负数的性质确定a、b的值是解题关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线MN交BC于点D，则AD＝_____．
【答案】4
【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后设，则，在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：，
，
由作图可知，垂直平分，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
即，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、含30度角直角三角形的性质、利用平方根解方程，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
15．已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为___________．
【答案】
【分析】根据的算术平方根是6，的立方根是5，可得方程组，①+②再化简得到的值，然后求平方根即可得到答案．
【详解】解：∵的算术平方根是6，的立方根是5
∴
∴①+②：
∴=16
∴的平方根为
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，平方根和立方根是解题关键．易错点：正数有两个平方根，不能只写一个平方根．
16．对于任意两个正实数，，定义运算“☆”：．如：．根据定义可得______．
【答案】5
【分析】将8和9替换定义中的a和b即可计算．
【详解】解：由题意得：
8☆9=+=2+3=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，将数据代入新定义的式子中即可．
17．先化简，再求值：
，其中．
【答案】，
【分析】根据完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式进行计算化简，然后根据非负数的性质求得的值，代入化简后的式子即可求解．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
解得，
∴原式
．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式，正确的计算是解题的关键．
18．
(1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律：
(2)根据你发现的规律填空：
① 已知：2.775，8.775.则___________，___________；
② 已知：5.385，若53.85.则x=___________．
(3)将你发现的规律用文字语言表述出来.
【答案】(1) 0.06 0.6 6 60
(2) 87.75 0.02775 2900
(3)被开方数小数点每向右（左）移动两位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位，反之亦然
【分析】(1)根据算术平方根的定义计算即可．
(2) ① 根据发现的被开方数，算术平方根的小数点移动规律计算即可；
②根据发现的被开方数，算术平方根的小数点移动规律计算即可．
(3)根据被开方数小数点移动，算术平方根的小数点移动两个方面去思考．
（1）
因为，，，，
故答案为：0.06，0.6，6，60．
（2）
①因为77的小数点向右移动了2位，得到7700，
所以算术平方根的小数点向右移动1位，
因为．
所以；
因为7.7的小数点向左移动4位，得到0.00077，
所以算术平方根的小数点向左移动2位；
因为，
所以0.02775，
故答案为：87.75，0.02775．
②因为5.385小数点向右移动一位得到53.85，
所以被开方数小数点向右移动2位，
因为，
所以，
故x=2900，
故答案为：2900．
（3）
根据前面的解答，发现规律如下：
被开方数小数点每向右移动两位，则算术平方根的小数点向相同的方向移动一位，反之亦然．
【点睛】本题考查了被开方数与算术平方根的关系，准确理解二者的小数点移动规律是解题的关键．
19．已知某个正数的两个平方根分别是和，的立方根是2．
(1)求ab的值．
(2)求的平方根．
【答案】(1)144
(2)
【分析】（1）依据平方根以及立方根的定义，可得 ， ，解得a，b的值，即可求解；
（2）依据a，b的值，即可得出的平方根．
（1）
解：由题意，得 ， ，
解得，，
∴；
（2）
∵，
∴ 的平方根是．
【点睛】本题主要考查了平方根与立方根的知识，正确求得a、b的值是解题的关键．
20．类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义：
①如果，那么x叫做a的四次方根；
②如果，那么x叫做a的五次方根；
请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题：
(1)81的四次方根为____________；-32的五次方根为____________；
(2)若有意义，则a的取值范围是____________；
(3)解方程：①；②．
【答案】(1)；
(2)
(3)①；②
【分析】（1）利用题中四次方根的定义、五次方根的定义求解；
（2）根据四次方根的意义求解；
（3）分别利用四次方根和五次方根的定义求解．
（1）
解：81的四次方根为；的五次方根为；
故答案为：；；
（2）
解：若有意义，则，
解得．
故的取值范围为；
故答案为：；
（3）
解：①，
所以；
②，
，
所以．
【点睛】本题考查了方根的定义，关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
【培优检测】
1．下列各数中：3.1415926，，0.2，，，，，．其中无理数的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】先对题干中各项进行化简，再根据无理数的概念进行解答即可．
【详解】3.1415926，0.2是有限小数，是分数，，，因此它们都是有理数；，，是无理数．
故选D．
【点睛】本题考查的是无理数的概念，即无理数就是无限不循环小数，解题要注意带根号的要开不尽方才是无理数．
2．如下表，被开方数a和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义解决此题．
【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，
从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，
∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91，
故选B．
【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键．
3．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】D
【分析】把代入方程组可得，然后求解可得m、n的值，然后把m、n的值代入所求二次根式计算出结果，最后再求算术平方根即可．
【详解】解：把代入二元一次方程组得：，
解得：，
则＝＝2，
∴2的算术平方根为．
故答案是D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解、解二元一次方程组等知识点，理解方程组的解得含义是解答本题的关键．
4．已知是二元一次方程组的解，则的立方根为（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】将代入，得到关于，的方程组，再用代入消元法求解方程组，得到，的值，即可求得的值，再根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：是二元一次方程组的解
由得，
将代入，得，
解得，
将代入，得，
，
的立方根为，
的立方根为，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法、立方根的求法是解题的关键．
5．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（ ）
A．6cmB．12cmC．18cmD．24cm
【答案】D
【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm．
【详解】解：∵每个小立方体的体积为216cm3，
∴小立方体的棱长，
由三视图可知，最高处有四个小立方体，
∴该几何体的最大高度是4×6=24cm，
故选D．
【点睛】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长．
6．关于x的方程的解是______．
【答案】
【分析】先移项，系数化1，利用开方求出方程的根即可．
【详解】解：移项得：，
系数化1： 即 ，
开5次方得．
【点睛】本题考查高次方程的解法，开方法，掌握解方程的方法与步骤，理解开平方，开立方解方程的方法，探索高次方程的解法是解题根据．
7．已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则＝___．
【答案】4
【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】由题意可得：，，
解得：，，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方根，．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
8．如图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的x的值为﹣2，输出的值为﹣，则输入的y值为 _____．
【答案】-3
【分析】利用程序图列出式子，根据等式的性质和立方根的意义即可求得y值．
【详解】解：由题意得：
[（﹣2）2+y3]÷2＝﹣．
∴4+y3＝﹣23．
∴y3＝﹣27．
∵（﹣3）3＝﹣27，
∴y＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查了根据程序框图列式计算，立方根的性质，准确计算是解题的关键．
9．观察分析下列数据，发现其中的规律：0，，，-3，，，，……，则第31个数据是_______．
【答案】
【分析】归纳总结得到一般性规律，得到第31个数据即可．
【详解】解：这一列数为：0，，，-，，，，…，
规律为：符号为，被开方数为3×（n-1），
∴第31个数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字规律题，算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
10．把如图①中的长方形分割成A，B两个小长方形，现将小长方形B的一边与A重合，另一边对齐恰好组成如图②的大正方形，（空余部分C是正方形）．若拼接后的大正方形的面积为5，则图①中原长方形的周长为_________．
【答案】
【分析】设矩形B的长为a，宽为b，表示大正方形边长：a+b，进而求出a+b=，也就得出图①中原长方形的周长．
【详解】解：设矩形B的长为a，宽为b，
∵C是正方形，
∴C的边长为b，
∴大正方形边长：a+b，
∵大正方形的面积为5，
∴a+b=，
∵图①中的长方形的周长为：（a+b+b+a）×2=4（a+b），
∴图①中原长方形的周长为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义，根据题意列式计算是解题关键．
三、解答题
11．已知正实数x的平方根是m和.
(1)当时，求m的值；
(2)若，求x的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；
（2）利用平方根的定义得到，代入式子即可求出x值．
（1）
∵正实数x的平方根是m和，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）
∵正实数x的平方根是m和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
12．如图，已知M是线段AB的中点，点P在MB上，分别以AP，PB为边作正方形APCD和正方形PBEF．设，正方形APCD和正方形PBEF的面积之差为．
(1)直接写出AP=________， BP=_________（用含有a，b的代数式表示）
(2)用含，的代数式表示（结果要化简），并求出当时的值．
(3)若，设，是否存在有理数，使得能化简为？若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)AP=a+b，BP=a-b
(2) 20
(3)能，k=2或k=-2
【分析】（1）利用线段的中点的含义先求解再利用线段的和差可得答案；
（2）直接利用大的正方形的面积减去小的正方形面积进行计算即可；
（3）先计算R+S=，把代入到R+S中，可得关于k的方程，再解方程即可．
（1）
解：∵M是线段AB的中点，
∴
∴AP=a+b，BP=a-b
故答案为：
（2）
∵
∴S=（a+b）2-（a-b）2=4ab；-
当，时，S=4ab=20
（3）
∵R+S=
=-
把代入到R+S中
∴=
∴
∴k=2或k=-2
【点睛】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义，完全平方公式的应用，整式的乘法，利用平方根的含义解方程，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
13．如图，ABCD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝15xy，且．
(1)求n的值．
(2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°．
(3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情况）
【答案】(1)n＝45
(2)见解析
(3)①当P在线段AD上时，∠PEC+∠APE＝225°②当P在A点左边时，∠PEC﹣∠APE＝45°
【分析】（1）根据非负数的性质可求x＝1，y＝3，再代入n＝15xy计算可求n的值．
（2）作PFAB，根据平行线的性质可得∠APF＝135°，再根据平行线的性质得到∠PEC＝∠FPE，根据等量关系即可求解；
（3）分两种情况：①当P在线段AD上时；②当P在A点左边时；进行讨论即可求解．
（1）
解：∵，
∴x﹣1＝0，y﹣3＝0，
∴x＝1，y＝3，
∴n＝15×1×3＝45；
（2）
证明：如图1，过P作PFAB，则∠APF＝180°﹣∠BAD＝135°
∵ABCD，
∴CDPF，
∴∠PEC＝∠FPE，
∴∠PEC﹣∠APE＝∠APF＝135°；
（3）
解：分两种情况：
①当P在线段AD上时，如图2，
∵ABCD，
∴∠ADC＝∠BAD＝45°，
∴∠DPE+∠DEP＝180°﹣45°＝135°，
∴∠PEC+∠APE＝360°﹣135°＝225°；
②当P在A点左边时，如图3，
∵∠PEC＝∠APE+∠PDE，
∴∠PEC﹣∠APE＝∠PDE＝45°．
【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
14．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
(1)求的值；
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方跟．
【答案】(1)2
(2)和
【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可；（2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可．
（1）
解：∵AB＝2，
∴，
∴，
∴
；
（2）
∵|2c＋6|与互为相反数，
∴，
∵，，
∴2c＋6＝0，d−4＝0，
∴c＝−3，d＝4，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得m的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个．
15．（1）利用求平方根、立方根解方程：
①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0．
（2）观察下列计算过程，猜想立方根．
13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729
（ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为 ，验证得19683的立方根是
（ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空：
①= ； ②= ；③= ．
【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81．
【分析】（1）直接利用解方程的基本步骤求解；
（2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可．
【详解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3;
②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8，
∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1．
（2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27
（ⅱ）①； ②；③．
故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81．
【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
x
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17.0
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24
285.61
289
a
0.0036
0.36
36
3600

___________
___________
___________
___________
a
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
625000
0.25
0.791
m
n
25
79.1
250
791