高二物理专题特训(人教版2019选择性必修第二册)专题3.2交变电流的描述(原卷版+解析)

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专题3.2 交变电流的描述【人教版】TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc1161" 【题型1 正弦式电流有效值的求解、应用】  HYPERLINK \l "_Toc9103" 【题型2 不完整正弦式电流有效值的求解、应用】  HYPERLINK \l "_Toc10925" 【题型3 非正弦式电流有效值的求解、应用】  HYPERLINK \l "_Toc25206" 【题型4 平均值问题】  HYPERLINK \l "_Toc2094" 【题型5 电荷量的求解】  HYPERLINK \l "_Toc22177" 【题型6 焦耳热问题】  HYPERLINK \l "_Toc24590" 【题型7 含有电容器的问题】 【题型1 正弦式有效值的求解、应用】【例1】如图所示，N匝正方形闭合金属线圈abcd边长为L，线圈处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，绕着与磁场垂直且与线圈共面的轴OO′以角速度ω匀速转动，ab边距轴eq \f(L,4)。线圈中感应电动势的有效值为(　　)A．NBL2ω B.eq \f(\r(2),2)NBL2ωC.eq \f(1,2)NBL2ω D.eq \f(\r(2),4)NBL2ω【变式1-1】如图所示，闭合开关后，R＝5 Ω的电阻两端的交流电压为u＝50eq \r(2)sin 10πt V，电压表和电流表均为理想交流电表，则(　　)A．该交流电周期为0.02 sB．电压表的读数为100 VC．电流表的读数为10 AD．电阻的电功率为1 kW【变式1-2】如图所示，虚线是正弦交流电的图像，实线是另一交流电的图像，它们的周期T和最大值Um相同，则实线所对应的交流电的有效值U满足(　 )A．U＝eq \f(Um,2) B．U＝eq \f(\r(2)Um,2)C．U＞eq \f(\r(2)Um,2) D．U＜eq \f(\r(2)Um,2)【变式1-3】小型手摇发电机线圈共N匝，每匝可简化为矩形线圈abcd，磁极间的磁场视为匀强磁场，方向垂直于线圈中心轴OO′，线圈绕OO′匀速转动，如图所示。矩形线圈ab边和cd边产生的感应电动势的最大值都为e0，不计线圈电阻，则发电机输出电压(　　)A．峰值是e0　　　　　　　 B．峰值是2e0C．有效值是eq \f(\r(2),2)Ne0 D．有效值是eq \r(2)Ne0【题型2 不完整正弦式电流的有效值的求解、应用】【例2】家用电子调光灯的调光功能是用电子线路将输入的正弦交流电压的波形截去一部分来实现的，截去部分后通过调光灯的电流随时间的变化如图所示，则下列说法正确的是(　 )A．这也是一种交流电B．电流的变化周期是0.01 sC．电流的有效值是1 AD．电流通过100 Ω的电阻时，1 s内产生的热量为200 J【变式2-1】电压u随时间t的变化情况如图所示，则电压的有效值为(　 )A．137 V B．163 V C．174 V D．196 V【变式2-2】某线圈中感应电动势随时间变化的规律如图所示，则此感应电动势的有效值为(　 )A．187 V B．220 V C．236 V D．243 V【变式2-3】如图所示为一个经双可控硅调节后加在电灯上的电压，正弦交流电的每一个二分之一周期中，前面四分之一周期被截去。现在电灯上电压的有效值为(　 )A．Um B.eq \f(Um,\r(2)) C.eq \f(Um,3) D.eq \f(Um,2)【题型3 非正弦式电流有效值的求解、应用】【例3】如图所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B。电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴以角速度ω匀速转动(O轴位于磁场边界)。则线框内产生的感应电流的有效值为(　　)A.eq \f(BL2ω,2R)　　　　　　　　　 B.eq \f(\r(2)BL2ω,2R)C.eq \f(\r(2)BL2ω,4R) D.eq \f(BL2ω,4R)【变式3-1】一个匝数为100匝，电阻为0.5 Ω的闭合线圈处于某一磁场中，磁场方向垂直于线圈平面。从某时刻起穿过线圈的磁通量随时间按如图所示规律变化，已知0～1 s内线圈内的磁通量按正弦规律变化到最大值，π2≈10。则线圈中产生的交变电流的有效值为(　 )A. eq \r(\f(125,6)) A B．2eq \r(6) AC．6 A D．5 A【变式3-2】(多选)如图所示，M为半圆形导线框，圆心为OM；N是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为ON；两导线框在同一竖直面(纸面)内，两导线框圆弧半径相等。过直线OMON的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。现使导线框M、N在t＝0时从图示位置开始，分别绕垂直于纸面、且过OM和ON的轴，以相同的周期T逆时针匀速转动，则(　　)A.两导线框中均会产生正弦交流电B.两导线框中感应电流的周期都等于TC.在t＝eq \f(T,8)时，两导线框中产生的感应电动势相等D.两导线框的电阻相等时，两导线框中感应电流的有效值也相等【变式3-3】一交流电压随时间变化的图像如图所示，此交流电压的有效值为(　 )A．50eq \r(2) V B．50 V C．25eq \r(2) V D．75 V【题型4 平均值问题】【例4】(多选)如图所示为交流发电机的模型示意图，矩形线框abcd在匀强磁场中绕OO′逆时针匀速转动，从图示位置开始转过90°的过程中，下列说法正确的是(　 )A．电流方向由c到b，大小逐渐减小B．电流方向由b到c，大小逐渐增大C．电流的有效值与平均值的比值为eq \f(\r(2)π,2)D．电流的有效值与平均值的比值为eq \f(\r(2)π,4)【变式4-1】交流发电机线圈电阻r＝1 Ω，用电器电阻R＝9 Ω，电压表示数为9 V，如图所示，那么该交流发电机(　 )A．电动势的峰值为10 VB．电动势的有效值为9 VC．线圈通过中性面时电动势的瞬时值为10eq \r(2) VD．线圈自中性面转过90°的过程中的平均感应电动势为eq \f(20\r(2),π) V【变式4-2】如图所示，KLMN是一个竖直的电阻为R的单匝矩形导体线框，全部处于磁感应强度为B的水平向右的匀强磁场中，线框面积为S，KL边水平，线框绕某竖直固定轴以角速度ω匀速转动(俯视逆时针转动)。下列说法正确的是(　　)A.在图示位置时，线框中的感应电动势为eq \f(1,2)BSωB.在图示位置时，线框中电流的方向是KLMNKC.从图示位置继续旋转30°的过程中，线框中的平均电流为eq \f(（\r(3)＋1）BSω,4R)D.该线框连续转动产生的交流电的电流的有效值为eq \f(\r(2)BSω,2R)【变式4-3】如图所示，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T，边长L＝10 cm的正方形线圈共100匝，线圈总电阻r＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，角速度ω＝2π rad/s，外电路中的电阻R＝4 Ω，求：(计算结果小数点后保留两位有效数字) (1)感应电动势的最大值；(2)由图示位置(线圈平面与磁感线平行)转过60°时的瞬时感应电动势；(3)由图示位置(线圈平面与磁感线平行)转过60°的过程中产生的平均感应电动势；(4)交流电压表的示数；(5)线圈转动一周产生的总热量；(6)从图示位置开始的eq \f(1,6)周期内通过R的电荷量．【题型5 电荷量的求解】【例5】发电机转子是匝数n＝100，边长L＝20 cm的正方形线圈，其置于磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场中，绕着垂直磁场方向的轴以ω＝100π rad/s的角速度转动，当转到线圈平面与磁场方向垂直时开始计时。线圈的电阻r＝1 Ω，外电路电阻R＝99 Ω。试求：(1)写出交变电流瞬时值表达式；(2)外电阻上消耗的功率；(3)从计时开始，线圈转过eq \f(π,3)过程中，通过外电阻的电荷量是多少？【变式5-1】(多选)如图所示，磁感应强度大小为B的匀强磁场中，匝数为n、边长为L的正方形线圈绕垂直于磁场的轴OO′匀速转动，其角速度为ω，线圈总电阻为r。下列说法正确的是(　 )A．线圈转动过程中的最大电流为eq \f(nBL2ω,r)B．线圈转动一周产生的热量为eq \f(πωnBL22,r)C．当线圈与中性面的夹角为30°时，线圈产生的瞬时电动势为eq \f(\r(3),2)nBL2ωD．线圈从中性面开始，转动60°的过程中，通过导线横截面的电荷量为eq \f(BL2,2r)【变式5-2】（多选）如图所示，边长为L的正方形单匝线圈abcd，电阻为r，外电路的电阻为R，ab的中点和cd的中点的连线OO′恰好位于匀强磁场的边界线上，磁场的磁感应强度为B，若线圈从图示位置开始，以角速度ω绕OO′轴匀速转动，则以下判断正确的是(　　)A．图示位置线圈中的感应电动势最大为Em＝BL2ωB．闭合电路中感应电动势的瞬时值表达式为e＝eq \f(1,2)BL2ωsin ωtC．线圈从图示位置转过180°的过程中，流过电阻R的电荷量为q＝eq \f(2BL2,R＋r)D．线圈转动一周的过程中，电阻R上产生的热量为Q＝eq \f(πB2ωL4R,4R＋r2)答案　BD【变式5-3】如图甲所示，在匀强磁场中，一电阻均匀的正方形单匝导线框abcd绕与磁感线垂直的转轴ab匀速转动，线框产生的交变电动势随时间变化的规律如图乙所示，若线框电阻为10 Ω，线框面积为0.1 m2，取π＝3.14，eq \r(2)＝1.41。则(　　)A.该交流电的有效值为31.4eq \r(2) VB.当线框平面与中性面的夹角为30°时，电动势的瞬时值为15.7eq \r(6) VC.匀强磁场的磁感应强度为1 TD.从t＝0到t＝0.01 s时间内，通过线框某一截面的电荷量为2.82×10－2 C【题型6 焦耳热问题】【例6】阻值为100 Ω 的纯电阻元件通以如图所示的交流电，则该元件的发热功率为(　　)A.121 W B.302.5 W C.484 W D.605 W【变式6-1】如图所示，位于竖直平面内的矩形金属线圈，边长L1＝0.40 m、L2＝0.25 m，其匝数n＝100匝，总电阻r＝1.0 Ω，线圈的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C、D(集流环)焊接在一起，并通过电刷和R＝3.0 Ω的定值电阻相连接。线圈所在空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0 T，在外力驱动下线圈绕竖直固定中心轴O1O2匀速转动，角速度ω＝2.0 rad/s。求：(1)电阻R两端电压的最大值；(2)在线圈转动一周的过程中，整个电路产生的焦耳热。【变式6-2】[多选]如图甲所示为一交变电压随时间变化的图像，每个周期内，前二分之一周期电压恒定，后二分之一周期电压按正弦规律变化。若将此交流电连接成如图乙所示的电路，电阻R阻值为100 Ω，则(　　)A．理想电压表读数为100 VB．理想电流表读数为0.75 AC．电阻R消耗的电功率为56 WD．电阻R在100秒内产生的热量为5 625 J【变式6-3】如图所示，一个半径为r的半圆形线圈，以直径ab为轴匀速转动，转速为n，ab的左侧有垂直于纸面向里(与ab垂直)的匀强磁场，磁感应强度为B。M和N是两个集流环，负载电阻为R，线圈、电流表和连接导线的电阻不计，求：(1)感应电动势的最大值。(2)从图示位置起转过eq \f(1,4)周期的时间内负载电阻R上产生的热量。(3)从图示位置起转过eq \f(1,4)周期的时间内通过负载电阻R的电荷量。(4)求出电流表的示数。【题型7 含有电容器的问题】【例7】当矩形线框在匀强磁场中绕垂直磁场的轴匀速转动时，产生的交变电流随时间的变化规律如图甲所示。已知图乙中定值电阻R的阻值为10 Ω，电容器C的击穿电压为5 V。则下列选项正确的是(　　)A.矩形线框中产生的交变电流的瞬时值表达式为i＝0.6sin(100πt)AB.矩形线框的转速大小为100 r/sC.若将图甲中的交流电接在图乙的电路两端，电容器不会被击穿(通过电容器电流可忽略)D.矩形线框的转速增大一倍，则交变电流的表达式为i＝1.2sin(100πt)A【变式7-1】如图所示的电路，F为一交流发电机，C为平行板电容器，为使电流表A示数增大，可行的办法是(　　)A．使发电机的转速增大B．使发电机的转速减小C．平行板电容器间换用介电常数较小的电介质D．使电容器两板间距离增大【变式7-2】(多选)如图所示，接在交流电源上的电灯泡正常发光，以下说法正确的是(　　)A．把电介质插入电容器，灯泡变亮B．增大电容器两板间的距离，灯泡变亮C．减小电容器两板间的正对面积，灯泡变暗D．使交变电流频率减小，灯泡变暗【变式7-3】(多选)如图甲所示，标有“220 V　40 W”的灯泡和标有“20 μF　320 V”的电容器并联接到交流电源上，V为交流电压表，交流电源的输出电压随时间的变化规律如图乙所示，闭合开关S。下列判断正确的是(　 )A．t＝eq \f(T,2)时刻，V的示数为零B．灯泡恰好正常发光C．电容器不可能被击穿D．V的示数保持110eq \r(2) V不变参考答案【题型1 正弦式有效值的求解、应用】【例1】如图所示，N匝正方形闭合金属线圈abcd边长为L，线圈处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，绕着与磁场垂直且与线圈共面的轴OO′以角速度ω匀速转动，ab边距轴eq \f(L,4)。线圈中感应电动势的有效值为(　　)A．NBL2ω B.eq \f(\r(2),2)NBL2ωC.eq \f(1,2)NBL2ω D.eq \f(\r(2),4)NBL2ω解析：选B　交流电的最大值和两条边到转轴的距离无关，Em＝NBSω＝NBL2ω，因此有效值为E＝eq \f(Em,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)NBL2ω，故B正确。【变式1-1】如图所示，闭合开关后，R＝5 Ω的电阻两端的交流电压为u＝50eq \r(2)sin 10πt V，电压表和电流表均为理想交流电表，则(　　)A．该交流电周期为0.02 sB．电压表的读数为100 VC．电流表的读数为10 AD．电阻的电功率为1 kW解析：选C　该交流电的周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,10π) s＝0.2 s，选项A错误；电压表的读数为交流电的有效值，即U＝eq \f(50\r(2),\r(2)) V＝50 V，选项B错误；电流表的读数为I＝eq \f(U,R)＝eq \f(50,5) A＝10 A，选项C正确；电阻的电功率为P＝IU＝10×50 W＝500 W，选项D错误。【变式1-2】如图所示，虚线是正弦交流电的图像，实线是另一交流电的图像，它们的周期T和最大值Um相同，则实线所对应的交流电的有效值U满足(　 )A．U＝eq \f(Um,2) B．U＝eq \f(\r(2)Um,2)C．U＞eq \f(\r(2)Um,2) D．U＜eq \f(\r(2)Um,2)解析：选D　因虚线是正弦交流电的图像，则该交流电的有效值为U有效值＝eq \f(\r(2)Um,2)，由题图可知，在任意时刻，实线所代表的交流电的瞬时值都不大于虚线表示的正弦交流电的瞬时值，则实线所代表的交流电的有效值小于虚线表示的正弦交流电的有效值，则U＜eq \f(\r(2)Um,2)，故D正确。【变式1-3】小型手摇发电机线圈共N匝，每匝可简化为矩形线圈abcd，磁极间的磁场视为匀强磁场，方向垂直于线圈中心轴OO′，线圈绕OO′匀速转动，如图所示。矩形线圈ab边和cd边产生的感应电动势的最大值都为e0，不计线圈电阻，则发电机输出电压(　　)A．峰值是e0　　　　　　　 B．峰值是2e0C．有效值是eq \f(\r(2),2)Ne0 D．有效值是eq \r(2)Ne0解析：选D　因每匝矩形线圈ab边和cd边产生的电动势的最大值都是e0，每匝中ab和cd串联，故每匝线圈产生的电动势的最大值为2e0。N匝线圈串联，整个线圈中感应电动势的最大值为2Ne0，因线圈中产生的是正弦交流电，则发电机输出电压的有效值E＝eq \r(2)Ne0，故选项D正确。【题型2 不完整正弦式电流的有效值的求解、应用】【例2】家用电子调光灯的调光功能是用电子线路将输入的正弦交流电压的波形截去一部分来实现的，截去部分后通过调光灯的电流随时间的变化如图所示，则下列说法正确的是(　 )A．这也是一种交流电B．电流的变化周期是0.01 sC．电流的有效值是1 AD．电流通过100 Ω的电阻时，1 s内产生的热量为200 J解析：选C　交流电的特点是电流方向变化，因而题图中电流不是交流电，A错误；根据图像可得电流的变化周期是0.02 s，B错误；根据有效值的定义得：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Im,\r(2))))2R·eq \f(T,2)＝I2R·T，代入数据解得： I＝1 A，电流通过100 Ω的电阻时，1 s内产生热量为100 J，C正确，D错误。【变式2-1】电压u随时间t的变化情况如图所示，则电压的有效值为(　 )A．137 V B．163 V C．174 V D．196 V解析：选C　由有效值的定义有：eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(156,\r(2))))2,R)×eq \f(T,2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(311,\r(2))))2,R)×eq \f(T,2)＝eq \f(U2,R)T，解得：U≈174 V。【变式2-2】某线圈中感应电动势随时间变化的规律如图所示，则此感应电动势的有效值为(　 )A．187 V B．220 V C．236 V D．243 V解析：选B　由有效值的定义有：eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(311,\r(2))))2,R)×eq \f(T,2)×2＝eq \f(U2,R)T，解得：U≈220 V。【变式2-3】如图所示为一个经双可控硅调节后加在电灯上的电压，正弦交流电的每一个二分之一周期中，前面四分之一周期被截去。现在电灯上电压的有效值为(　 )A．Um B.eq \f(Um,\r(2)) C.eq \f(Um,3) D.eq \f(Um,2)解析：选D　从u­t图像上看，每个eq \f(1,4)周期正弦波形的有效值U1＝eq \f(Um,\r(2))，根据有效值的定义：eq \f(U2,R)T＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Um,\r(2))))2,R)×eq \f(T,4)×2，解得：U＝eq \f(Um,2)，D正确。【题型3 非正弦式电流有效值的求解、应用】【例3】如图所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B。电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴以角速度ω匀速转动(O轴位于磁场边界)。则线框内产生的感应电流的有效值为(　　)A.eq \f(BL2ω,2R)　　　　　　　　　 B.eq \f(\r(2)BL2ω,2R)C.eq \f(\r(2)BL2ω,4R) D.eq \f(BL2ω,4R)解析：选D　线框的转动周期为T，而线框转动一周只有eq \f(T,4)的时间内有感应电流，此时感应电流的大小为：I＝eq \f(\f(1,2)BL2ω,R)＝eq \f(BL2ω,2R)，根据电流的热效应有：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BL2ω,2R)))2R·eq \f(T,4)＝I有2RT，解得I有＝eq \f(BL2ω,4R)，故D正确。【变式3-1】一个匝数为100匝，电阻为0.5 Ω的闭合线圈处于某一磁场中，磁场方向垂直于线圈平面。从某时刻起穿过线圈的磁通量随时间按如图所示规律变化，已知0～1 s内线圈内的磁通量按正弦规律变化到最大值，π2≈10。则线圈中产生的交变电流的有效值为(　 )A. eq \r(\f(125,6)) A B．2eq \r(6) AC．6 A D．5 A解析：选A　0～1 s内线圈内的磁通量按正弦规律变化到最大值，则感应电动势的最大值Em＝NωΦm，由题图知ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2) rad/s，可得Em＝eq \f(π,2) V，这段时间内交变电流的有效值I1＝eq \f(Em,\r(2)R)＝eq \f(π,\r(2)) A；1～1.2 s内感应电动势E2＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝5 V，这段时间内感应电流的有效值为I2＝eq \f(E2,R)＝10 A，由电流有效值的定义有I12Rt1＋I22Rt2＝I2R(t1＋t2)，解得线圈中产生的交变电流的有效值为I＝ eq \r(\f(125,6)) A，A正确。【变式3-2】(多选)如图所示，M为半圆形导线框，圆心为OM；N是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为ON；两导线框在同一竖直面(纸面)内，两导线框圆弧半径相等。过直线OMON的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。现使导线框M、N在t＝0时从图示位置开始，分别绕垂直于纸面、且过OM和ON的轴，以相同的周期T逆时针匀速转动，则(　　)A.两导线框中均会产生正弦交流电B.两导线框中感应电流的周期都等于TC.在t＝eq \f(T,8)时，两导线框中产生的感应电动势相等D.两导线框的电阻相等时，两导线框中感应电流的有效值也相等答案　BC解析　导线框进入磁场时，逆时针匀速转动，此线框切割磁感线的有效长度不变，设圆弧半径为R，则E＝eq \f(1,2)BR2ω，即产生的电动势恒定，不会产生正弦交流电，A项错误；导线框每转动一圈，产生的感应电流的变化为一个周期，B项正确；在t＝eq \f(T,8)时，导线框转过的角度为45°，切割磁感线的有效长度相同，均为绕圆心的转动切割形式，设导线框半径为R，则感应电动势均为E＝eq \f(1,2)BR2ω，C项正确；导线框N转动的一个周期内，有半个周期无感应电流产生，所以两导线框的感应电动势的有效值并不相同，由闭合电路欧姆定律可知，两导线框的电阻相等时，感应电流的有效值一定不相同，D项错误。【变式3-3】一交流电压随时间变化的图像如图所示，此交流电压的有效值为(　 )A．50eq \r(2) V B．50 V C．25eq \r(2) V D．75 V解析：选A　题图中给出的是一方波交流电，周期T＝0.3 s，前eq \f(T,3)时间内U1＝100 V，后eq \f(2T,3)时间内U2＝－50 V。设该交流电压的有效值为U，根据有效值的定义，有eq \f(U2,R)T＝eq \f(U12,R)·eq \f(T,3)＋eq \f(U22,R)·eq \f(2,3)T，代入已知数据，解得U＝50eq \r(2) V，A正确。【题型4 平均值问题】【例4】(多选)如图所示为交流发电机的模型示意图，矩形线框abcd在匀强磁场中绕OO′逆时针匀速转动，从图示位置开始转过90°的过程中，下列说法正确的是(　 )A．电流方向由c到b，大小逐渐减小B．电流方向由b到c，大小逐渐增大C．电流的有效值与平均值的比值为eq \f(\r(2)π,2)D．电流的有效值与平均值的比值为eq \f(\r(2)π,4)解析：选BD　根据楞次定律可知，电流方向由b到c，从中性面开始计时，转过90°的过程中，电流逐渐增大，A错误，B正确；电流的有效值为I＝eq \f(BSω,\r(2)R＋r)，电流的平均值为eq \x\to(I)＝eq \f(2ωBS,πR＋r)，二者之比为eq \f(\r(2)π,4)，C错误，D正确。【变式4-1】交流发电机线圈电阻r＝1 Ω，用电器电阻R＝9 Ω，电压表示数为9 V，如图所示，那么该交流发电机(　 )A．电动势的峰值为10 VB．电动势的有效值为9 VC．线圈通过中性面时电动势的瞬时值为10eq \r(2) VD．线圈自中性面转过90°的过程中的平均感应电动势为eq \f(20\r(2),π) V解析：选D　用电器电阻R＝9 Ω，电压表的示数是交流电的有效值，其示数为9 V，则电路中的电流I＝1 A，电动势的有效值E＝I(R＋r)＝10 V，其峰值Em＝eq \r(2)E＝10eq \r(2) V，故A、B错误；由正弦交流电的产生与变化的规律可知，交流发电机线圈通过中性面时电动势的瞬时值为零，故C错误；线圈自中性面转过90°的过程中的平均感应电动势eq \o(E,\s\up6(－))＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(2nBSω,π)＝eq \f(2Em,π)＝eq \f(20\r(2),π) V，故D正确。【变式4-2】如图所示，KLMN是一个竖直的电阻为R的单匝矩形导体线框，全部处于磁感应强度为B的水平向右的匀强磁场中，线框面积为S，KL边水平，线框绕某竖直固定轴以角速度ω匀速转动(俯视逆时针转动)。下列说法正确的是(　　)A.在图示位置时，线框中的感应电动势为eq \f(1,2)BSωB.在图示位置时，线框中电流的方向是KLMNKC.从图示位置继续旋转30°的过程中，线框中的平均电流为eq \f(（\r(3)＋1）BSω,4R)D.该线框连续转动产生的交流电的电流的有效值为eq \f(\r(2)BSω,2R)答案　D解析　在图示位置时，线框中的感应电动势为e＝BSωcos 30°＝eq \f(\r(3),2)BSω，选项A错误；根据楞次定律可知，在图示位置时，线框中电流的方向是KNMLK，选项B错误；从图示位置继续旋转30°的过程中，线框中的平均电流为eq \o(I,\s\up6(－))＝eq \f(\o(E,\s\up6(－)),R)＝eq \f(ΔΦ,Δt·R)＝eq \f(BS（sin 60°－sin 30°）,R·\f(π,6ω))＝eq \f(3（\r(3)－1）BSω,πR)，选项C错误；该线框连续转动产生的交流电的电流的有效值为I＝eq \f(Em,\r(2)R)＝eq \f(BSω,\r(2)R)＝eq \f(\r(2)BSω,2R)，选项D正确。【变式4-3】如图所示，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T，边长L＝10 cm的正方形线圈共100匝，线圈总电阻r＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，角速度ω＝2π rad/s，外电路中的电阻R＝4 Ω，求：(计算结果小数点后保留两位有效数字) (1)感应电动势的最大值；(2)由图示位置(线圈平面与磁感线平行)转过60°时的瞬时感应电动势；(3)由图示位置(线圈平面与磁感线平行)转过60°的过程中产生的平均感应电动势；(4)交流电压表的示数；(5)线圈转动一周产生的总热量；(6)从图示位置开始的eq \f(1,6)周期内通过R的电荷量．解析　(1)感应电动势的最大值为Em＝nBSω＝100×0.5×0.12×2π V＝3.14 V(2)由图示位置转过60°时的瞬时感应电动势为e＝Emcos 60°＝3.14×0.5 V＝1.57 V(3)由图示位置转过60°的过程中产生的平均感应电动势为eq \x\to(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(BSsin 60°,\f(1,6)T)＝100×eq \f(0.5×0.1×0.1×\f(\r(3),2),\f(1,6)×\f(2π,2π)) V≈2.60 V(4)交流电压表的示数为外电路两端电压的有效值，即U＝eq \f(\f(Em,\r(2)),R＋r)R＝eq \f(3.14,\r(2))×eq \f(4,4＋1) V≈1.78 V(5)线圈转动一周产生的总热量为Q＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Em,\r(2))))2,R＋r)T≈0.99 J(6)在eq \f(1,6)周期内通过电阻R的电荷量为q＝eq \x\to(I)×eq \f(T,6)＝eq \f(\x\to(E),R＋r)×eq \f(T,6)＝eq \f(2.60,4＋1)×eq \f(1,6) C≈0.087 C答案　(1)3.14 V　(2)1.57 V　(3)2.6 V　(4)1.78 V(5)0.99 J　(6)0.087 C【题型5 电荷量的求解】【例5】发电机转子是匝数n＝100，边长L＝20 cm的正方形线圈，其置于磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场中，绕着垂直磁场方向的轴以ω＝100π rad/s的角速度转动，当转到线圈平面与磁场方向垂直时开始计时。线圈的电阻r＝1 Ω，外电路电阻R＝99 Ω。试求：(1)写出交变电流瞬时值表达式；(2)外电阻上消耗的功率；(3)从计时开始，线圈转过eq \f(π,3)过程中，通过外电阻的电荷量是多少？解析：(1)电动势的最大值：Em＝nBωL2＝628 V根据闭合电路欧姆定律得Im＝eq \f(Em,R＋r)＝6.28 A故交变电流瞬时值表达式：i＝6.28sin 100πt(A)。(2)电流的有效值I＝eq \f(1,\r(2))Im由P＝I2R得外电阻上的消耗功率： P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))Im))2R＝1.95×103 W。(3)从计时开始到线圈转过eq \f(π,3)过程中，平均感应电动势由E＝neq \f(ΔΦ,Δt)得eq \x\to(E)＝neq \f(Φm－Φmcos 60°,Δt)＝n·eq \f(BL2,2Δt)平均电流：eq \x\to(I)＝eq \f(\x\to(E),R＋r)＝eq \f(nBL2,2R＋r·Δt)通过外电阻的电荷量：q＝eq \x\to(I)·Δt＝eq \f(nBL2,2R＋r)＝1×10－2 C。答案：(1) i＝6.28sin 100πt(A)　(2)1.95×103 W (3)1×10－2C【变式5-1】(多选)如图所示，磁感应强度大小为B的匀强磁场中，匝数为n、边长为L的正方形线圈绕垂直于磁场的轴OO′匀速转动，其角速度为ω，线圈总电阻为r。下列说法正确的是(　 )A．线圈转动过程中的最大电流为eq \f(nBL2ω,r)B．线圈转动一周产生的热量为eq \f(πωnBL22,r)C．当线圈与中性面的夹角为30°时，线圈产生的瞬时电动势为eq \f(\r(3),2)nBL2ωD．线圈从中性面开始，转动60°的过程中，通过导线横截面的电荷量为eq \f(BL2,2r)解析：选AB　线圈转动过程中的最大电动势为Em＝nBL2ω，根据闭合电路的欧姆定律得Im＝eq \f(nBL2ω,r)，A正确；电流的有效值为I＝eq \f(Im,\r(2))＝eq \f(nBL2ω,\r(2)r)，线圈转一圈的时间为t＝eq \f(2π,ω)，线圈转动一周产生的热量为Q＝I2rt＝eq \f(πωnBL22,r)，B正确；当线圈与中性面的夹角为30°时，线圈产生的瞬时电动势为e＝eq \f(1,2)nBL2ω，C错误；线圈从中性面开始，转动60°的过程中，线圈磁通量的变化为ΔΦ＝eq \f(1,2)BL2－BL2＝－eq \f(1,2)BL2，通过导线横截面的电荷量为q＝eq \x\to(I)t＝neq \f(|ΔΦ|,r)＝eq \f(1,2r)nBL2，D错误。【变式5-2】（多选）如图所示，边长为L的正方形单匝线圈abcd，电阻为r，外电路的电阻为R，ab的中点和cd的中点的连线OO′恰好位于匀强磁场的边界线上，磁场的磁感应强度为B，若线圈从图示位置开始，以角速度ω绕OO′轴匀速转动，则以下判断正确的是(　　)A．图示位置线圈中的感应电动势最大为Em＝BL2ωB．闭合电路中感应电动势的瞬时值表达式为e＝eq \f(1,2)BL2ωsin ωtC．线圈从图示位置转过180°的过程中，流过电阻R的电荷量为q＝eq \f(2BL2,R＋r)D．线圈转动一周的过程中，电阻R上产生的热量为Q＝eq \f(πB2ωL4R,4R＋r2)答案　BD解析　图示位置线圈中的感应电动势最小为零，A错；若线圈从图示位置开始转动，闭合电路中感应电动势的瞬时值表达式为e＝eq \f(1,2)BL2ωsin ωt，B对；线圈从图示位置转过180°的过程中，流过电阻R的电荷量为q＝eq \f(ΔΦ,R总)＝eq \f(BL2,R＋r)，C错；线圈转动一周的过程中，电阻R上产生的热量为Q＝eq \f(\f(Em,\r(2))2,R＋r)·eq \f(2π,ω)·eq \f(R,R＋r)＝eq \f(πB2ωL4R,4R＋r2)，D对．【变式5-3】如图甲所示，在匀强磁场中，一电阻均匀的正方形单匝导线框abcd绕与磁感线垂直的转轴ab匀速转动，线框产生的交变电动势随时间变化的规律如图乙所示，若线框电阻为10 Ω，线框面积为0.1 m2，取π＝3.14，eq \r(2)＝1.41。则(　　)A.该交流电的有效值为31.4eq \r(2) VB.当线框平面与中性面的夹角为30°时，电动势的瞬时值为15.7eq \r(6) VC.匀强磁场的磁感应强度为1 TD.从t＝0到t＝0.01 s时间内，通过线框某一截面的电荷量为2.82×10－2 C答案　D解析　交流电瞬时值e＝31.4eq \r(2)sin(ωt) V＝31.4eq \r(2)sin(100πt) V，则交流电有效值为E＝eq \f(Em,\r(2))＝31.4 V，选项A错误；当线框平面与中性面的夹角为30°时ωt＝30°，电动势的瞬时值为e＝31.4eq \r(2)sin 30° V＝17.4eq \r(2) V，选项B错误；电动势峰值Em＝BSω，则B＝eq \f(Em,Sω)＝eq \r(2) T，选项C错误；从t＝0到t＝0.01 s时间内即半个周期内通过线框某一截面的电荷量为q＝eq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(2BS,R)＝2.82×10－2 C，选项D正确。【题型6 焦耳热问题】【例6】阻值为100 Ω 的纯电阻元件通以如图所示的交流电，则该元件的发热功率为(　　)A.121 W B.302.5 W C.484 W D.605 W答案　B解析　电热Q＝eq \f(U2,R)T，代入数据得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(110\r(2),\r(2))))2,R)×0.01＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(220\r(2),\r(2))))2,R)×0.01＝eq \f(U2,R)×0.02，解得电压有效值为U＝174 V，发热功率P＝eq \f(U2,R)＝302.5 W，故选项B正确。【变式6-1】如图所示，位于竖直平面内的矩形金属线圈，边长L1＝0.40 m、L2＝0.25 m，其匝数n＝100匝，总电阻r＝1.0 Ω，线圈的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C、D(集流环)焊接在一起，并通过电刷和R＝3.0 Ω的定值电阻相连接。线圈所在空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0 T，在外力驱动下线圈绕竖直固定中心轴O1O2匀速转动，角速度ω＝2.0 rad/s。求：(1)电阻R两端电压的最大值；(2)在线圈转动一周的过程中，整个电路产生的焦耳热。答案　(1)15 V　(2)157 J解析　(1)线圈中感应电动势的最大值Em＝nBSω＝nBL1L2ω＝20 V线圈中感应电流的最大值Im＝eq \f(Em,R＋r)＝5.0 A电阻R两端电压的最大值Um＝ImR＝15 V。(2)线圈中感应电流的有效值I＝eq \f(Im,\r(2))＝eq \f(5\r(2),2) A线圈转动一周的过程中，电流通过整个回路产生的焦耳热Q热＝I2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋r))T＝157 J。【变式6-2】[多选]如图甲所示为一交变电压随时间变化的图像，每个周期内，前二分之一周期电压恒定，后二分之一周期电压按正弦规律变化。若将此交流电连接成如图乙所示的电路，电阻R阻值为100 Ω，则(　　)A．理想电压表读数为100 VB．理想电流表读数为0.75 AC．电阻R消耗的电功率为56 WD．电阻R在100秒内产生的热量为5 625 J解析：选BD　根据电流的热效应，一个周期内产生的热量：Q＝eq \f(U2,R)T＝eq \f(1002,R)·eq \f(T,2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(50,\r(2))))2,R)·eq \f(T,2)，解得U＝75 V，A错误；电流表读数I＝eq \f(U,R)＝0.75 A，B正确；电阻R消耗的电功率P＝I2R＝56.25 W，C错误；在100秒内产生的热量Q＝Pt＝5 625 J，D正确。【变式6-3】如图所示，一个半径为r的半圆形线圈，以直径ab为轴匀速转动，转速为n，ab的左侧有垂直于纸面向里(与ab垂直)的匀强磁场，磁感应强度为B。M和N是两个集流环，负载电阻为R，线圈、电流表和连接导线的电阻不计，求：(1)感应电动势的最大值。(2)从图示位置起转过eq \f(1,4)周期的时间内负载电阻R上产生的热量。(3)从图示位置起转过eq \f(1,4)周期的时间内通过负载电阻R的电荷量。(4)求出电流表的示数。解析：(1)线圈绕轴转动时，在电路中产生如图所示的交变电流。此交变电流的最大值为Em＝BSω＝Beq \f(πr2,2)2πn＝π2Bnr2。(2)在转过eq \f(1,4)周期的时间内，线圈一直切割磁感线，则产生的热量Q＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Em,\r(2))))2,R)·eq \f(T,4)＝eq \f(π4B2nr4,8R)。(3)在转过eq \f(1,4)周期的时间内，电动势的平均值eq \x\to(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)通过R的电荷量q＝eq \x\to(I)Δt＝eq \f(\x\to(E),R)Δt＝eq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(πBr2,2R)。(4)根据电流的热效应，在一个周期内：Q＝I2RT＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Em,\r(2))))2,R)·eq \f(T,2)故电流表的示数为I＝eq \f(π2r2nB,2R)。答案：(1)π2Bnr2　(2)eq \f(π4B2nr4,8R)　(3)eq \f(πBr2,2R)　(4)eq \f(π2r2nB,2R)【题型7 含有电容器的问题】【例7】当矩形线框在匀强磁场中绕垂直磁场的轴匀速转动时，产生的交变电流随时间的变化规律如图甲所示。已知图乙中定值电阻R的阻值为10 Ω，电容器C的击穿电压为5 V。则下列选项正确的是(　　)A.矩形线框中产生的交变电流的瞬时值表达式为i＝0.6sin(100πt)AB.矩形线框的转速大小为100 r/sC.若将图甲中的交流电接在图乙的电路两端，电容器不会被击穿(通过电容器电流可忽略)D.矩形线框的转速增大一倍，则交变电流的表达式为i＝1.2sin(100πt)A答案　A解析　由图像可知，矩形线框转动的周期T＝0.02 s，则ω＝eq \f(2π,T)＝100π rad/s，所以线框中产生的交变电流的表达式为i＝0.6sin(100πt)A，故A项正确；矩形线框转动的周期T＝0.02 s，所以线框1 s转50转，即转速为50 r/s，故B项错误；若将图甲中的交流电接在图乙的电路两端，通过电容器电流可忽略，则定值电阻两端电压为u＝iR＝0.6×10sin(100πt)V＝6sin(100πt)V，由于最大电压大于电容器的击穿电压，电容器将被击穿，故C项错误；若矩形线框的转速增大一倍，角速度增大一倍，即为ω′＝200π rad/s，角速度增大一倍，电流的最大值增大一倍，即为Im′＝1.2 A，则电流的表达式为i2＝1.2sin(200πt)A，故D项错误。【变式7-1】如图所示的电路，F为一交流发电机，C为平行板电容器，为使电流表A示数增大，可行的办法是(　　)A．使发电机的转速增大B．使发电机的转速减小C．平行板电容器间换用介电常数较小的电介质D．使电容器两板间距离增大解析　本题考查了容抗的决定因素及交流电的频率。发电机转速增大，交流电频率f增大，容抗变小，电流增大，故A正确；电容器所充电介质的介电常数变小，板间距离增大，电容变小，容抗变大，电流变小，C、D不正确。答案　A【变式7-2】(多选)如图所示，接在交流电源上的电灯泡正常发光，以下说法正确的是(　　)A．把电介质插入电容器，灯泡变亮B．增大电容器两板间的距离，灯泡变亮C．减小电容器两板间的正对面积，灯泡变暗D．使交变电流频率减小，灯泡变暗解析　把介质插入电容器，电容变大，容抗减小，灯泡变亮，A正确；电容器两板间距离增大，电容减小，容抗增大，灯泡变暗，B错；减小电容器两极正对面积，电容减小，容抗增大，灯泡变暗，C正确；交流电的频率减小，容抗增大，灯泡变暗，D正确。答案　ACD【变式7-3】(多选)如图甲所示，标有“220 V　40 W”的灯泡和标有“20 μF　320 V”的电容器并联接到交流电源上，V为交流电压表，交流电源的输出电压随时间的变化规律如图乙所示，闭合开关S。下列判断正确的是(　 )A．t＝eq \f(T,2)时刻，V的示数为零B．灯泡恰好正常发光C．电容器不可能被击穿D．V的示数保持110eq \r(2) V不变解析：选BC　V的示数应是电压的有效值220 V，A、D错误；电压的有效值恰好等于灯泡的额定电压，灯泡正常发光，B正确；电压的峰值Um＝220eq \r(2) V≈311 V，小于电容器的耐压值，故电容器不可能被击穿，C正确。专题3.2 交变电流的描述【人教版】TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc1161" 【题型1 正弦式电流有效值的求解、应用】  HYPERLINK \l "_Toc9103" 【题型2 不完整正弦式电流有效值的求解、应用】  HYPERLINK \l "_Toc10925" 【题型3 非正弦式电流有效值的求解、应用】  HYPERLINK \l "_Toc25206" 【题型4 平均值问题】  HYPERLINK \l "_Toc2094" 【题型5 电荷量的求解】  HYPERLINK \l "_Toc22177" 【题型6 焦耳热问题】  HYPERLINK \l "_Toc24590" 【题型7 含有电容器的问题】 【题型1 正弦式有效值的求解、应用】【例1】如图所示，N匝正方形闭合金属线圈abcd边长为L，线圈处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，绕着与磁场垂直且与线圈共面的轴OO′以角速度ω匀速转动，ab边距轴eq \f(L,4)。线圈中感应电动势的有效值为(　　)A．NBL2ω B.eq \f(\r(2),2)NBL2ωC.eq \f(1,2)NBL2ω D.eq \f(\r(2),4)NBL2ω解析：选B　交流电的最大值和两条边到转轴的距离无关，Em＝NBSω＝NBL2ω，因此有效值为E＝eq \f(Em,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)NBL2ω，故B正确。【变式1-1】如图所示，闭合开关后，R＝5 Ω的电阻两端的交流电压为u＝50eq \r(2)sin 10πt V，电压表和电流表均为理想交流电表，则(　　)A．该交流电周期为0.02 sB．电压表的读数为100 VC．电流表的读数为10 AD．电阻的电功率为1 kW解析：选C　该交流电的周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,10π) s＝0.2 s，选项A错误；电压表的读数为交流电的有效值，即U＝eq \f(50\r(2),\r(2)) V＝50 V，选项B错误；电流表的读数为I＝eq \f(U,R)＝eq \f(50,5) A＝10 A，选项C正确；电阻的电功率为P＝IU＝10×50 W＝500 W，选项D错误。【变式1-2】如图所示，虚线是正弦交流电的图像，实线是另一交流电的图像，它们的周期T和最大值Um相同，则实线所对应的交流电的有效值U满足(　 )A．U＝eq \f(Um,2) B．U＝eq \f(\r(2)Um,2)C．U＞eq \f(\r(2)Um,2) D．U＜eq \f(\r(2)Um,2)解析：选D　因虚线是正弦交流电的图像，则该交流电的有效值为U有效值＝eq \f(\r(2)Um,2)，由题图可知，在任意时刻，实线所代表的交流电的瞬时值都不大于虚线表示的正弦交流电的瞬时值，则实线所代表的交流电的有效值小于虚线表示的正弦交流电的有效值，则U＜eq \f(\r(2)Um,2)，故D正确。【变式1-3】小型手摇发电机线圈共N匝，每匝可简化为矩形线圈abcd，磁极间的磁场视为匀强磁场，方向垂直于线圈中心轴OO′，线圈绕OO′匀速转动，如图所示。矩形线圈ab边和cd边产生的感应电动势的最大值都为e0，不计线圈电阻，则发电机输出电压(　　)A．峰值是e0　　　　　　　 B．峰值是2e0C．有效值是eq \f(\r(2),2)Ne0 D．有效值是eq \r(2)Ne0解析：选D　因每匝矩形线圈ab边和cd边产生的电动势的最大值都是e0，每匝中ab和cd串联，故每匝线圈产生的电动势的最大值为2e0。N匝线圈串联，整个线圈中感应电动势的最大值为2Ne0，因线圈中产生的是正弦交流电，则发电机输出电压的有效值E＝eq \r(2)Ne0，故选项D正确。【题型2 不完整正弦式电流的有效值的求解、应用】【例2】家用电子调光灯的调光功能是用电子线路将输入的正弦交流电压的波形截去一部分来实现的，截去部分后通过调光灯的电流随时间的变化如图所示，则下列说法正确的是(　 )A．这也是一种交流电B．电流的变化周期是0.01 sC．电流的有效值是1 AD．电流通过100 Ω的电阻时，1 s内产生的热量为200 J解析：选C　交流电的特点是电流方向变化，因而题图中电流不是交流电，A错误；根据图像可得电流的变化周期是0.02 s，B错误；根据有效值的定义得：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Im,\r(2))))2R·eq \f(T,2)＝I2R·T，代入数据解得： I＝1 A，电流通过100 Ω的电阻时，1 s内产生热量为100 J，C正确，D错误。【变式2-1】电压u随时间t的变化情况如图所示，则电压的有效值为(　 )A．137 V B．163 V C．174 V D．196 V解析：选C　由有效值的定义有：eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(156,\r(2))))2,R)×eq \f(T,2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(311,\r(2))))2,R)×eq \f(T,2)＝eq \f(U2,R)T，解得：U≈174 V。【变式2-2】某线圈中感应电动势随时间变化的规律如图所示，则此感应电动势的有效值为(　 )A．187 V B．220 V C．236 V D．243 V解析：选B　由有效值的定义有：eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(311,\r(2))))2,R)×eq \f(T,2)×2＝eq \f(U2,R)T，解得：U≈220 V。【变式2-3】如图所示为一个经双可控硅调节后加在电灯上的电压，正弦交流电的每一个二分之一周期中，前面四分之一周期被截去。现在电灯上电压的有效值为(　 )A．Um B.eq \f(Um,\r(2)) C.eq \f(Um,3) D.eq \f(Um,2)解析：选D　从u­t图像上看，每个eq \f(1,4)周期正弦波形的有效值U1＝eq \f(Um,\r(2))，根据有效值的定义：eq \f(U2,R)T＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Um,\r(2))))2,R)×eq \f(T,4)×2，解得：U＝eq \f(Um,2)，D正确。【题型3 非正弦式电流有效值的求解、应用】【例3】如图所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B。电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴以角速度ω匀速转动(O轴位于磁场边界)。则线框内产生的感应电流的有效值为(　　)A.eq \f(BL2ω,2R)　　　　　　　　　 B.eq \f(\r(2)BL2ω,2R)C.eq \f(\r(2)BL2ω,4R) D.eq \f(BL2ω,4R)解析：选D　线框的转动周期为T，而线框转动一周只有eq \f(T,4)的时间内有感应电流，此时感应电流的大小为：I＝eq \f(\f(1,2)BL2ω,R)＝eq \f(BL2ω,2R)，根据电流的热效应有：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BL2ω,2R)))2R·eq \f(T,4)＝I有2RT，解得I有＝eq \f(BL2ω,4R)，故D正确。【变式3-1】一个匝数为100匝，电阻为0.5 Ω的闭合线圈处于某一磁场中，磁场方向垂直于线圈平面。从某时刻起穿过线圈的磁通量随时间按如图所示规律变化，已知0～1 s内线圈内的磁通量按正弦规律变化到最大值，π2≈10。则线圈中产生的交变电流的有效值为(　 )A. eq \r(\f(125,6)) A B．2eq \r(6) AC．6 A D．5 A解析：选A　0～1 s内线圈内的磁通量按正弦规律变化到最大值，则感应电动势的最大值Em＝NωΦm，由题图知ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2) rad/s，可得Em＝eq \f(π,2) V，这段时间内交变电流的有效值I1＝eq \f(Em,\r(2)R)＝eq \f(π,\r(2)) A；1～1.2 s内感应电动势E2＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝5 V，这段时间内感应电流的有效值为I2＝eq \f(E2,R)＝10 A，由电流有效值的定义有I12Rt1＋I22Rt2＝I2R(t1＋t2)，解得线圈中产生的交变电流的有效值为I＝ eq \r(\f(125,6)) A，A正确。【变式3-2】(多选)如图所示，M为半圆形导线框，圆心为OM；N是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为ON；两导线框在同一竖直面(纸面)内，两导线框圆弧半径相等。过直线OMON的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。现使导线框M、N在t＝0时从图示位置开始，分别绕垂直于纸面、且过OM和ON的轴，以相同的周期T逆时针匀速转动，则(　　)A.两导线框中均会产生正弦交流电B.两导线框中感应电流的周期都等于TC.在t＝eq \f(T,8)时，两导线框中产生的感应电动势相等D.两导线框的电阻相等时，两导线框中感应电流的有效值也相等答案　BC解析　导线框进入磁场时，逆时针匀速转动，此线框切割磁感线的有效长度不变，设圆弧半径为R，则E＝eq \f(1,2)BR2ω，即产生的电动势恒定，不会产生正弦交流电，A项错误；导线框每转动一圈，产生的感应电流的变化为一个周期，B项正确；在t＝eq \f(T,8)时，导线框转过的角度为45°，切割磁感线的有效长度相同，均为绕圆心的转动切割形式，设导线框半径为R，则感应电动势均为E＝eq \f(1,2)BR2ω，C项正确；导线框N转动的一个周期内，有半个周期无感应电流产生，所以两导线框的感应电动势的有效值并不相同，由闭合电路欧姆定律可知，两导线框的电阻相等时，感应电流的有效值一定不相同，D项错误。【变式3-3】一交流电压随时间变化的图像如图所示，此交流电压的有效值为(　 )A．50eq \r(2) V B．50 V C．25eq \r(2) V D．75 V解析：选A　题图中给出的是一方波交流电，周期T＝0.3 s，前eq \f(T,3)时间内U1＝100 V，后eq \f(2T,3)时间内U2＝－50 V。设该交流电压的有效值为U，根据有效值的定义，有eq \f(U2,R)T＝eq \f(U12,R)·eq \f(T,3)＋eq \f(U22,R)·eq \f(2,3)T，代入已知数据，解得U＝50eq \r(2) V，A正确。【题型4 平均值问题】【例4】(多选)如图所示为交流发电机的模型示意图，矩形线框abcd在匀强磁场中绕OO′逆时针匀速转动，从图示位置开始转过90°的过程中，下列说法正确的是(　 )A．电流方向由c到b，大小逐渐减小B．电流方向由b到c，大小逐渐增大C．电流的有效值与平均值的比值为eq \f(\r(2)π,2)D．电流的有效值与平均值的比值为eq \f(\r(2)π,4)解析：选BD　根据楞次定律可知，电流方向由b到c，从中性面开始计时，转过90°的过程中，电流逐渐增大，A错误，B正确；电流的有效值为I＝eq \f(BSω,\r(2)R＋r)，电流的平均值为eq \x\to(I)＝eq \f(2ωBS,πR＋r)，二者之比为eq \f(\r(2)π,4)，C错误，D正确。【变式4-1】交流发电机线圈电阻r＝1 Ω，用电器电阻R＝9 Ω，电压表示数为9 V，如图所示，那么该交流发电机(　 )A．电动势的峰值为10 VB．电动势的有效值为9 VC．线圈通过中性面时电动势的瞬时值为10eq \r(2) VD．线圈自中性面转过90°的过程中的平均感应电动势为eq \f(20\r(2),π) V解析：选D　用电器电阻R＝9 Ω，电压表的示数是交流电的有效值，其示数为9 V，则电路中的电流I＝1 A，电动势的有效值E＝I(R＋r)＝10 V，其峰值Em＝eq \r(2)E＝10eq \r(2) V，故A、B错误；由正弦交流电的产生与变化的规律可知，交流发电机线圈通过中性面时电动势的瞬时值为零，故C错误；线圈自中性面转过90°的过程中的平均感应电动势eq \o(E,\s\up6(－))＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(2nBSω,π)＝eq \f(2Em,π)＝eq \f(20\r(2),π) V，故D正确。【变式4-2】如图所示，KLMN是一个竖直的电阻为R的单匝矩形导体线框，全部处于磁感应强度为B的水平向右的匀强磁场中，线框面积为S，KL边水平，线框绕某竖直固定轴以角速度ω匀速转动(俯视逆时针转动)。下列说法正确的是(　　)A.在图示位置时，线框中的感应电动势为eq \f(1,2)BSωB.在图示位置时，线框中电流的方向是KLMNKC.从图示位置继续旋转30°的过程中，线框中的平均电流为eq \f(（\r(3)＋1）BSω,4R)D.该线框连续转动产生的交流电的电流的有效值为eq \f(\r(2)BSω,2R)答案　D解析　在图示位置时，线框中的感应电动势为e＝BSωcos 30°＝eq \f(\r(3),2)BSω，选项A错误；根据楞次定律可知，在图示位置时，线框中电流的方向是KNMLK，选项B错误；从图示位置继续旋转30°的过程中，线框中的平均电流为eq \o(I,\s\up6(－))＝eq \f(\o(E,\s\up6(－)),R)＝eq \f(ΔΦ,Δt·R)＝eq \f(BS（sin 60°－sin 30°）,R·\f(π,6ω))＝eq \f(3（\r(3)－1）BSω,πR)，选项C错误；该线框连续转动产生的交流电的电流的有效值为I＝eq \f(Em,\r(2)R)＝eq \f(BSω,\r(2)R)＝eq \f(\r(2)BSω,2R)，选项D正确。【变式4-3】如图所示，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T，边长L＝10 cm的正方形线圈共100匝，线圈总电阻r＝1 Ω，线圈绕垂直于磁感线的对称轴OO′匀速转动，角速度ω＝2π rad/s，外电路中的电阻R＝4 Ω，求：(计算结果小数点后保留两位有效数字) (1)感应电动势的最大值；(2)由图示位置(线圈平面与磁感线平行)转过60°时的瞬时感应电动势；(3)由图示位置(线圈平面与磁感线平行)转过60°的过程中产生的平均感应电动势；(4)交流电压表的示数；(5)线圈转动一周产生的总热量；(6)从图示位置开始的eq \f(1,6)周期内通过R的电荷量．解析　(1)感应电动势的最大值为Em＝nBSω＝100×0.5×0.12×2π V＝3.14 V(2)由图示位置转过60°时的瞬时感应电动势为e＝Emcos 60°＝3.14×0.5 V＝1.57 V(3)由图示位置转过60°的过程中产生的平均感应电动势为eq \x\to(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(BSsin 60°,\f(1,6)T)＝100×eq \f(0.5×0.1×0.1×\f(\r(3),2),\f(1,6)×\f(2π,2π)) V≈2.60 V(4)交流电压表的示数为外电路两端电压的有效值，即U＝eq \f(\f(Em,\r(2)),R＋r)R＝eq \f(3.14,\r(2))×eq \f(4,4＋1) V≈1.78 V(5)线圈转动一周产生的总热量为Q＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Em,\r(2))))2,R＋r)T≈0.99 J(6)在eq \f(1,6)周期内通过电阻R的电荷量为q＝eq \x\to(I)×eq \f(T,6)＝eq \f(\x\to(E),R＋r)×eq \f(T,6)＝eq \f(2.60,4＋1)×eq \f(1,6) C≈0.087 C答案　(1)3.14 V　(2)1.57 V　(3)2.6 V　(4)1.78 V(5)0.99 J　(6)0.087 C【题型5 电荷量的求解】【例5】发电机转子是匝数n＝100，边长L＝20 cm的正方形线圈，其置于磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场中，绕着垂直磁场方向的轴以ω＝100π rad/s的角速度转动，当转到线圈平面与磁场方向垂直时开始计时。线圈的电阻r＝1 Ω，外电路电阻R＝99 Ω。试求：(1)写出交变电流瞬时值表达式；(2)外电阻上消耗的功率；(3)从计时开始，线圈转过eq \f(π,3)过程中，通过外电阻的电荷量是多少？解析：(1)电动势的最大值：Em＝nBωL2＝628 V根据闭合电路欧姆定律得Im＝eq \f(Em,R＋r)＝6.28 A故交变电流瞬时值表达式：i＝6.28sin 100πt(A)。(2)电流的有效值I＝eq \f(1,\r(2))Im由P＝I2R得外电阻上的消耗功率： P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))Im))2R＝1.95×103 W。(3)从计时开始到线圈转过eq \f(π,3)过程中，平均感应电动势由E＝neq \f(ΔΦ,Δt)得eq \x\to(E)＝neq \f(Φm－Φmcos 60°,Δt)＝n·eq \f(BL2,2Δt)平均电流：eq \x\to(I)＝eq \f(\x\to(E),R＋r)＝eq \f(nBL2,2R＋r·Δt)通过外电阻的电荷量：q＝eq \x\to(I)·Δt＝eq \f(nBL2,2R＋r)＝1×10－2 C。答案：(1) i＝6.28sin 100πt(A)　(2)1.95×103 W (3)1×10－2C【变式5-1】(多选)如图所示，磁感应强度大小为B的匀强磁场中，匝数为n、边长为L的正方形线圈绕垂直于磁场的轴OO′匀速转动，其角速度为ω，线圈总电阻为r。下列说法正确的是(　 )A．线圈转动过程中的最大电流为eq \f(nBL2ω,r)B．线圈转动一周产生的热量为eq \f(πωnBL22,r)C．当线圈与中性面的夹角为30°时，线圈产生的瞬时电动势为eq \f(\r(3),2)nBL2ωD．线圈从中性面开始，转动60°的过程中，通过导线横截面的电荷量为eq \f(BL2,2r)解析：选AB　线圈转动过程中的最大电动势为Em＝nBL2ω，根据闭合电路的欧姆定律得Im＝eq \f(nBL2ω,r)，A正确；电流的有效值为I＝eq \f(Im,\r(2))＝eq \f(nBL2ω,\r(2)r)，线圈转一圈的时间为t＝eq \f(2π,ω)，线圈转动一周产生的热量为Q＝I2rt＝eq \f(πωnBL22,r)，B正确；当线圈与中性面的夹角为30°时，线圈产生的瞬时电动势为e＝eq \f(1,2)nBL2ω，C错误；线圈从中性面开始，转动60°的过程中，线圈磁通量的变化为ΔΦ＝eq \f(1,2)BL2－BL2＝－eq \f(1,2)BL2，通过导线横截面的电荷量为q＝eq \x\to(I)t＝neq \f(|ΔΦ|,r)＝eq \f(1,2r)nBL2，D错误。【变式5-2】（多选）如图所示，边长为L的正方形单匝线圈abcd，电阻为r，外电路的电阻为R，ab的中点和cd的中点的连线OO′恰好位于匀强磁场的边界线上，磁场的磁感应强度为B，若线圈从图示位置开始，以角速度ω绕OO′轴匀速转动，则以下判断正确的是(　　)A．图示位置线圈中的感应电动势最大为Em＝BL2ωB．闭合电路中感应电动势的瞬时值表达式为e＝eq \f(1,2)BL2ωsin ωtC．线圈从图示位置转过180°的过程中，流过电阻R的电荷量为q＝eq \f(2BL2,R＋r)D．线圈转动一周的过程中，电阻R上产生的热量为Q＝eq \f(πB2ωL4R,4R＋r2)答案　BD解析　图示位置线圈中的感应电动势最小为零，A错；若线圈从图示位置开始转动，闭合电路中感应电动势的瞬时值表达式为e＝eq \f(1,2)BL2ωsin ωt，B对；线圈从图示位置转过180°的过程中，流过电阻R的电荷量为q＝eq \f(ΔΦ,R总)＝eq \f(BL2,R＋r)，C错；线圈转动一周的过程中，电阻R上产生的热量为Q＝eq \f(\f(Em,\r(2))2,R＋r)·eq \f(2π,ω)·eq \f(R,R＋r)＝eq \f(πB2ωL4R,4R＋r2)，D对．【变式5-3】如图甲所示，在匀强磁场中，一电阻均匀的正方形单匝导线框abcd绕与磁感线垂直的转轴ab匀速转动，线框产生的交变电动势随时间变化的规律如图乙所示，若线框电阻为10 Ω，线框面积为0.1 m2，取π＝3.14，eq \r(2)＝1.41。则(　　)A.该交流电的有效值为31.4eq \r(2) VB.当线框平面与中性面的夹角为30°时，电动势的瞬时值为15.7eq \r(6) VC.匀强磁场的磁感应强度为1 TD.从t＝0到t＝0.01 s时间内，通过线框某一截面的电荷量为2.82×10－2 C答案　D解析　交流电瞬时值e＝31.4eq \r(2)sin(ωt) V＝31.4eq \r(2)sin(100πt) V，则交流电有效值为E＝eq \f(Em,\r(2))＝31.4 V，选项A错误；当线框平面与中性面的夹角为30°时ωt＝30°，电动势的瞬时值为e＝31.4eq \r(2)sin 30° V＝17.4eq \r(2) V，选项B错误；电动势峰值Em＝BSω，则B＝eq \f(Em,Sω)＝eq \r(2) T，选项C错误；从t＝0到t＝0.01 s时间内即半个周期内通过线框某一截面的电荷量为q＝eq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(2BS,R)＝2.82×10－2 C，选项D正确。【题型6 焦耳热问题】【例6】阻值为100 Ω 的纯电阻元件通以如图所示的交流电，则该元件的发热功率为(　　)A.121 W B.302.5 W C.484 W D.605 W答案　B解析　电热Q＝eq \f(U2,R)T，代入数据得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(110\r(2),\r(2))))2,R)×0.01＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(220\r(2),\r(2))))2,R)×0.01＝eq \f(U2,R)×0.02，解得电压有效值为U＝174 V，发热功率P＝eq \f(U2,R)＝302.5 W，故选项B正确。【变式6-1】如图所示，位于竖直平面内的矩形金属线圈，边长L1＝0.40 m、L2＝0.25 m，其匝数n＝100匝，总电阻r＝1.0 Ω，线圈的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C、D(集流环)焊接在一起，并通过电刷和R＝3.0 Ω的定值电阻相连接。线圈所在空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0 T，在外力驱动下线圈绕竖直固定中心轴O1O2匀速转动，角速度ω＝2.0 rad/s。求：(1)电阻R两端电压的最大值；(2)在线圈转动一周的过程中，整个电路产生的焦耳热。答案　(1)15 V　(2)157 J解析　(1)线圈中感应电动势的最大值Em＝nBSω＝nBL1L2ω＝20 V线圈中感应电流的最大值Im＝eq \f(Em,R＋r)＝5.0 A电阻R两端电压的最大值Um＝ImR＝15 V。(2)线圈中感应电流的有效值I＝eq \f(Im,\r(2))＝eq \f(5\r(2),2) A线圈转动一周的过程中，电流通过整个回路产生的焦耳热Q热＝I2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋r))T＝157 J。【变式6-2】[多选]如图甲所示为一交变电压随时间变化的图像，每个周期内，前二分之一周期电压恒定，后二分之一周期电压按正弦规律变化。若将此交流电连接成如图乙所示的电路，电阻R阻值为100 Ω，则(　　)A．理想电压表读数为100 VB．理想电流表读数为0.75 AC．电阻R消耗的电功率为56 WD．电阻R在100秒内产生的热量为5 625 J解析：选BD　根据电流的热效应，一个周期内产生的热量：Q＝eq \f(U2,R)T＝eq \f(1002,R)·eq \f(T,2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(50,\r(2))))2,R)·eq \f(T,2)，解得U＝75 V，A错误；电流表读数I＝eq \f(U,R)＝0.75 A，B正确；电阻R消耗的电功率P＝I2R＝56.25 W，C错误；在100秒内产生的热量Q＝Pt＝5 625 J，D正确。【变式6-3】如图所示，一个半径为r的半圆形线圈，以直径ab为轴匀速转动，转速为n，ab的左侧有垂直于纸面向里(与ab垂直)的匀强磁场，磁感应强度为B。M和N是两个集流环，负载电阻为R，线圈、电流表和连接导线的电阻不计，求：(1)感应电动势的最大值。(2)从图示位置起转过eq \f(1,4)周期的时间内负载电阻R上产生的热量。(3)从图示位置起转过eq \f(1,4)周期的时间内通过负载电阻R的电荷量。(4)求出电流表的示数。解析：(1)线圈绕轴转动时，在电路中产生如图所示的交变电流。此交变电流的最大值为Em＝BSω＝Beq \f(πr2,2)2πn＝π2Bnr2。(2)在转过eq \f(1,4)周期的时间内，线圈一直切割磁感线，则产生的热量Q＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Em,\r(2))))2,R)·eq \f(T,4)＝eq \f(π4B2nr4,8R)。(3)在转过eq \f(1,4)周期的时间内，电动势的平均值eq \x\to(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)通过R的电荷量q＝eq \x\to(I)Δt＝eq \f(\x\to(E),R)Δt＝eq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(πBr2,2R)。(4)根据电流的热效应，在一个周期内：Q＝I2RT＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Em,\r(2))))2,R)·eq \f(T,2)故电流表的示数为I＝eq \f(π2r2nB,2R)。答案：(1)π2Bnr2　(2)eq \f(π4B2nr4,8R)　(3)eq \f(πBr2,2R)　(4)eq \f(π2r2nB,2R)【题型7 含有电容器的问题】【例7】当矩形线框在匀强磁场中绕垂直磁场的轴匀速转动时，产生的交变电流随时间的变化规律如图甲所示。已知图乙中定值电阻R的阻值为10 Ω，电容器C的击穿电压为5 V。则下列选项正确的是(　　)A.矩形线框中产生的交变电流的瞬时值表达式为i＝0.6sin(100πt)AB.矩形线框的转速大小为100 r/sC.若将图甲中的交流电接在图乙的电路两端，电容器不会被击穿(通过电容器电流可忽略)D.矩形线框的转速增大一倍，则交变电流的表达式为i＝1.2sin(100πt)A答案　A解析　由图像可知，矩形线框转动的周期T＝0.02 s，则ω＝eq \f(2π,T)＝100π rad/s，所以线框中产生的交变电流的表达式为i＝0.6sin(100πt)A，故A项正确；矩形线框转动的周期T＝0.02 s，所以线框1 s转50转，即转速为50 r/s，故B项错误；若将图甲中的交流电接在图乙的电路两端，通过电容器电流可忽略，则定值电阻两端电压为u＝iR＝0.6×10sin(100πt)V＝6sin(100πt)V，由于最大电压大于电容器的击穿电压，电容器将被击穿，故C项错误；若矩形线框的转速增大一倍，角速度增大一倍，即为ω′＝200π rad/s，角速度增大一倍，电流的最大值增大一倍，即为Im′＝1.2 A，则电流的表达式为i2＝1.2sin(200πt)A，故D项错误。【变式7-1】如图所示的电路，F为一交流发电机，C为平行板电容器，为使电流表A示数增大，可行的办法是(　　)A．使发电机的转速增大B．使发电机的转速减小C．平行板电容器间换用介电常数较小的电介质D．使电容器两板间距离增大解析　本题考查了容抗的决定因素及交流电的频率。发电机转速增大，交流电频率f增大，容抗变小，电流增大，故A正确；电容器所充电介质的介电常数变小，板间距离增大，电容变小，容抗变大，电流变小，C、D不正确。答案　A【变式7-2】(多选)如图所示，接在交流电源上的电灯泡正常发光，以下说法正确的是(　　)A．把电介质插入电容器，灯泡变亮B．增大电容器两板间的距离，灯泡变亮C．减小电容器两板间的正对面积，灯泡变暗D．使交变电流频率减小，灯泡变暗解析　把介质插入电容器，电容变大，容抗减小，灯泡变亮，A正确；电容器两板间距离增大，电容减小，容抗增大，灯泡变暗，B错；减小电容器两极正对面积，电容减小，容抗增大，灯泡变暗，C正确；交流电的频率减小，容抗增大，灯泡变暗，D正确。答案　ACD【变式7-3】(多选)如图甲所示，标有“220 V　40 W”的灯泡和标有“20 μF　320 V”的电容器并联接到交流电源上，V为交流电压表，交流电源的输出电压随时间的变化规律如图乙所示，闭合开关S。下列判断正确的是(　 )A．t＝eq \f(T,2)时刻，V的示数为零B．灯泡恰好正常发光C．电容器不可能被击穿D．V的示数保持110eq \r(2) V不变解析：选BC　V的示数应是电压的有效值220 V，A、D错误；电压的有效值恰好等于灯泡的额定电压，灯泡正常发光，B正确；电压的峰值Um＝220eq \r(2) V≈311 V，小于电容器的耐压值，故电容器不可能被击穿，C正确。