2023-2024学年河南省开封市高二下学期7月期末数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年河南省开封市高二下学期7月期末数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=(2,−1,3)，b=(4,2,x)，且a→⊥b→，则x=( )
A. −6B. −2C. 2D. 6
2.一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义X=1,抽到次品,0,抽到正品,则E(X)=
A. 0.05B. 0.5C. 0.95D. 0.095
3.已知等差数列{an}中，a2+a5=8，a2−a5=−6，则a1=
A. −2B. −1C. 0D. 1
4.曲线f(x)=csx在点π2,0处的切线方程为( )
A. x=π2B. x−y−π2=0C. x+y+π2=0D. x+y−π2=0
5.已知(1+x)n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是( )
A. 21B. 42C. 84D. 168
6.在圆C：(x−2)2+y2=4上任意取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆C上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是( )(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合)
A. 4x2+(y−2)2=4B. x2+4(y−2)2=4
C. 4(x−2)2+y2=4D. (x−2)2+4y2=4
7.已知函数f(x)=x2+aln(x+1)有两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围为( )
A. −∞,12B. 14,12C. 0,12D. 0,12
8.在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且AN=λDA，λ∈(0,1)，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为( )
A. 23B. 79C. 73D. 76
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.由成对样本数据(xi，yi)，1≤i≤15且i∈Z得到经验回归方程为y=0.8x+25.8，其中yi(单位：cm)为女生的身高，xi(单位：cm)为其父亲的身高，则
A. 直线y=0.8x+25.8必经过点(x,y)
B. 直线y=0.8x+25.8至少经过点(xi,yi)，1≤i≤15且i∈Z中的一点
C. 已知父亲的身高为180 cm，其女儿身高的估计值为169.8 cm
D. 两位父亲的身高相差5 cm，则他们女儿的身高相差4 cm
10.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Tn为等比数列{bn}的前n项积，且a4=b4=2，则
A. a3a5=b3+b5B. a3+a5=b3b5C. S7=14D. T7=128
11.过抛物线y2=8x上一点P作圆C：(x−2)2+y2=1的切线，切点为A，B，则
A. ∠APB的最大值为π3B. ∠APB的最大值为2π3
C. |AB|·|PC|可能取到3D. |AB|·|PC|可能取到4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆C：x2+y2−2x+4y+1=0，则圆C的半径r=__________．
13.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为2x+y=0，则椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为__________．
14.学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序，2个集体节目分别安排在第1个和最后1个，还有3个音乐节目、2个舞蹈节目、1个小品节目，要求同类节目不能连续安排，则共有__________种不同的排法(填写数字)．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知椭圆C的两个焦点坐标分别是F1(−2,0)，F2(2,0)，且经过点P(52,32)．
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线l与PF2平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程．
16.(本小题12分)
已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，在{an}中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)插入的数构成一个新数列，求该数列前2n项的和T2n．
17.(本小题12分)
在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马P−ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，在PA，PB，PC的中点中选择一个记为点E，使得四面体E−BCD为鳖臑．
(1)确定点E的位置，并证明四面体E−BCD为鳖臑；
(2)若底面ABCD是边长为1的正方形，求平面PAB与平面BDE夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p，乙发球时甲得分的概率为25，各球的结果相互独立．已知在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束，且P(X=2)=12．
(1)求p的值；
(2)求再打2个球甲新增的得分Y的分布列和均值；
(3)记事件“X=2n，n∈N ​∗且甲获胜”的概率为P(An)，求P(An).
19.(本小题12分)
已知函数f(x)的定义域为D，其中D⊆R.对于点M(a,b)，设S(x)=(x−a)2+(f(x)−b)2.若S(x)在x=x0处取最小值，则称点(x0,f(x0))为M的“f最近点”．
(1)若f(x)=x32，D=(0,+∞)，M52,0，求M的“f最近点”；
(2)已知函数f(x)，D=R，M1(t−1,f(t)−et)，M2(t+1,f(t)+et)，证明：对任意t∈R，P(t,f(t))既是M1的“f最近点”，也是M2的“f最近点”．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.D
5.A
6.D
7.C
8.C
9.AC
10.BCD
11.AD
12.2
13. 32
14.240
15.解：(1)由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，c=2，
2a= (52+2)2+(32)2+ (52−2)2+(32)2=2 10，
可得a= 10，
所以b2=a2−c2=10−4=6，
所以椭圆C的标准方程为：x210+y26=1；
(2)已知直线l与PF2平行，所以kl=kPF2=3252−2=3，设的l方程为：y=3x+m，
由方程组y=3x+mx210+y26=1消去y，得48x2+30mx+5m2−30=0，
该方程的判别式△=900m2−4×48×(5m2−30)=−60(m2−96)，
由Δ=0，得m=±4 6，
此时l与C有且只有一个公共点，所以l的方程为：y=3x±4 6．
16.解：(1)设数列{bn}的公差为d′，
由题意知，b1=a1=2，b4=a2，d′=b4−b14−1=a2−a13=d3=1，
所以bn=b1+(n−1)d′=2+(n−1)=n+1，
所以{bn}的通项公式是bn=n+1，
(2)数列{an}的通项公式为an=a1+(n−1)d=2+3(n−1)=3n−1，
记数列{an}与{bn}前n项的和分别为Sn，Sn′，
则T2n=S′3n−Sn=3n(b1+b3n)2−n(a1+an)2=3n(2+3n+1)2−n(2+3n−1)2=n(3n+4)．
17.解：(1)点E为PC的中点，
因为PD=CD，所以DE⊥PC，
又因为PD⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PD，
又BC⊥CD，PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD，
所以BC⊥平面PCD，
又DE，PC⊂平面PCD，所以BC⊥DE，BC⊥PC，
由DE⊥PC，BC⊥DE，PC∩BC=C，PC、BC⊂平面PBC，
可得DE⊥平面PBC，
又BE⊂平面PBC，所以DE⊥BE，
所以∠DEC=∠DEB=∠BCD=∠BCE=π2，
所以四面体E−BCD为鳖臑．
(2)如图，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
AD=CD=PD=1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，E(0,12,12)，
AB=(0,1,0)，AP=(−1,0,1)，DB=(1,1,0)，DE=(0,12,12)，
设平面ABP的一个法向量为n=(x,y,z)，
则AB⋅n=0,AP⋅n=0,即y=0,−x+z=0,
取x=1，则平面ABP的一个法向量为n=(1,0,1)，
设平面BDE的一个法向量为m=(x,y,z)，
则DB⋅m=0DE⋅m=0，即x+y=012y+12z=0,
取x=1，则平面BDE的一个法向量为m=(1,−1,1)，
所以|cs|=|n⋅m|n|⋅|m||=2 2× 3= 63，
所以平面ABP与平面BDE夹角的余弦值为 63．

18.解：(1)由题意可知，X=2对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，
所以P(X=2)=p×25+(1−p)×(1−25)=12，解之得p=12；
(2)Y的可能取值为0，1，2，
Y的分布列为：P(Y=0)=12×35=310，
P(Y=1)=12×35+12×25=12，
P(Y=2)=12×25=15，
所以E(Y)=310×0+12×1+15×2=910．
(3)X=2n且甲获胜，就是10:10平后，两人又打了2n个球该局比赛结束，
且这2n个球的得分情况为：前2n−2个球是每两球甲、乙各得1分，
最后第2n−1，2n个球均为甲得分;
X=2(n−1)且甲获胜，就是10:10平后，
两人又打了2n−2个球该局比赛结束，且这2n−2个球的得分情况为：前2n−4个球是每两球甲、乙各得1分，最后第2n−3，2n−2个球均为甲得分，
按照甲先发球，甲、乙各得1分的概率为12×35+12×25=12，
所以P(An)=12P(An−1)，且P(A1)=12×25=15，
所以P(An)是以15为首项，以12为公比的等比数列，
所以P(An)=15×(12)n−1=21−n5．
19.解：(1)当f(x)=x32，D=(0,+∞)，M(52,0)，
S(x)=(x−52)2+(x32)2=x3+x2−5x+254，
S′(x)=3x2+2x−5=(3x+5)(x−1)，
由S′(x)