2023-2024学年天津市四校联考高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

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这是一份2023-2024学年天津市四校联考高二下学期7月期末考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=xx−1>2，B=x1−x4−x>0，则A∩B=( )
A. x1C. xx<−1或x>4D. xx<−1或x>3
2.使不等式2x+1x−1≤1成立的一个充分不必要的条件是( )
A. x<−2B. −23.已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为Aixi,yi(i=1,2,3,⋯,10)，经验回归方程为y=2x+a，若i=110xi=40，i=110yi=100，则a=( )
A. 20B. −17C. −170D. 2
4.2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有( )
A. 102种B. 105种C. 210种D. 288种
5.定义在R上的函数fx导函数为f′x，若对任意实数x，有fx>f′x，且fx+2024为奇函数，则不等式fx+2024ex<0的解集为( )
A. −∞,0B. 0,+∞C. −∞,1eD. 1e,+∞
6.设a=30.8，b=90.6，c=lgπe，则a，b，c的大小关系为( )
A. b>c>aB. a>c>bC. c>a>bD. b>a>c
7.已知fx=x+4x，gx=x3−3x+8−a，若对∀x1∈1,3，总∃x2∈1,3，使fx1=gx2成立，则实数a的取值范围为( )
A. 2,21B. 53,21C. 1,22D. 11,22
8.已知fx=sinx−x+1，则不等式fm2+f3m+2>2的解集为( )
A. −3,0B. −2,−1
C. −∞,−3∪0,+∞D. −∞,−2∪−1,+∞
9.已知函数fx=lnx−13ax2−2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是( )
A. −∞,−32B. −32,+∞C. −32,+∞D. 1,+∞
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若命题“∃x∈R，使x2+(a−1)x+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为______．
11.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为34，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案来时猜对的概率为14，那么他答对题目的概率为
12.已知1x+ax26展开式中的常数项是540，则实数a的值为
13.已知数列an是公差为2的等差数列，bn是公比为3的是等比数列，且a1=b1=3，设Sn=abn+1+abn+2+abn+3⋯+abn+n，则Snn=
14.设m,n为正数，且m+n=2，则2m+3m+1+3n+7n+2的最小值为
15.若fx=x2−ax−ax−2+1有四个零点，则实数a的取值范围为
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为14，14；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率；
(3)设甲、乙两人所付
租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值EX、方差DX
17.(本小题12分)
如图，ABCD是边长为4的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，且DE=3AF=3．
(1)求证：BF//平面DEC;
(2)求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值；
(3)求点D到平面BEF的距离．
18.(本小题12分)
已知fx=x−1ex+ax，gx=a2x2+ax−1，其中a>0
(1)令ℎx=fx−gx
(i)求ℎx的单调区间和极小值；
(ii)若ℎx存在大于0的零点，且方程ℎx=1−a恰有三个实根，求实数a的取值范围
(2)若对∀x1∈R，x2∈0,+∞，fx1+x2−fx1−x2>2x2恒成立，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知数列an是递增的等差数列，bn是等比数列，b1=2a1=2，求b2=2a2，b3=2a4
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)记数列−1nan2的前n项和为Sn，若mbn>S2n对∀n∈N∗恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设cn=na1a2a3⋯an+1，求i=1nci的值．
20.(本小题12分)
已知fx=4lnax+b−x2−1．
(1)若y=fx在0,f0处的切线方程为8x−y−1=0，求实数a,b的值；
(2)当b=0时，若xfx+x2+1+2xa−4+a≥0对任意x∈0,+∞恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若fx有零点，求证：a2+b2≥e2．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.B
6.D
7.A
8.B
9.B
10.−1≤a≤3
11.1316或0.8125
12.±6
13.2⋅3n+n+2
14.295或5.8
15.−∞,− 3∪ 3,+∞
16.解：(1)
由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为12，14，
设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)=14×12+14×14+12×14=516，
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516；
(2)
若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元，
则分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，
或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况，
甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为14×12+12×14=14；
(3)
X的可能取值为0，2，4，6，8，
PX=0=18,PX=2=14×14+12×14=316,
PX=4=14×14+14×14+12×12=38，
PX=6=14×14+12×14=316，Pξ=8=12×14=18，
分布列如下表：
数学期望EX=0×18+2×316+4×38+6×316+8×18=4，
DX==0−42×18+2−42×316+4−42×38+6−42×316+8−42×18=112．
17.解：(1)根据题意得：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 B4,4,0,F4,0,1 ，
所以 BF=(0,−4,1) ，
易知平面 DEC 的一个法向量为 DA=(4,0,0) ，
显然 DA⋅BF=0 ，又 BF⊄ 平面 DEC ，
所以 BF// 平面 DEC ；
(2)∵ E(0,0,3),C(0,4,0) ，
则 BE=(−4,−4,3),BC=(−4,0,0) ，
设平面 BEC 与平面 BEF 的一个法向量分别为 m=(a,b,c),n=(x,y,z) ，
则有 m⋅BE=0m⋅BC=0⇒4a+4b−3c=04a=0 ， n⋅BE=0n⋅BF=0⇒4x+4y−3z=04y−z=0 ，
取 b=3,y=1 ，则 a=0,c=4,x=2,z=4 ，即 m=(0,3,4),n=(2,1,4) ，
设平面 BEC 与平面 BEF 的夹角为 θ ，则 cs θ=|m⋅n|m|⋅|n||=195 21=19 21105 ；
(3)由(2)得平面 BEF 的一个法向量为 n=(2,1,4) ，
又 DE=0,0,3 ，所以点D到平面 BEF 的距离 d=|DE⋅n||n|=12 21=4 217 ．

18.解：(1)
(i)根据题意，
ℎx=fx−gx=x−1ex+ax−a2x2+ax−1=x−1ex−a2x2+1，
ℎ′(x)=xex−ax=xex−a，
所以当a≤0时，
当0当a=1时，ℎ(x)在R上单调递增，
当a>1时，
综上可得：
当a≤0时，ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，(0,+∞)上单调递增，
当0当a=1时，ℎ(x)在R上为增函数，
当a>1时，ℎ(x)在(−∞,0)单调递增，(0,lna)上单调递减，(lna,+∞)上单调递增；
(ii)因为方程ℎx=1−a恰有三个实根，
由(1)可知a≤0和a=1两种情况显然不符合题意，
当0无大于0的零点，不符合题意，
所以只能a>1，此时1−a<0，
由于ℎ(x)在(0,lna)单调递减，ℎ(0)=0，在(−∞,0)单调递增，ℎ(lna)=(lna−1)a−a2ln2a+1，
ℎ(x)在(lna,+∞)上单调递增，ℎ1+a=ae1+a−a21+a2+1=a22e1+a−1+a2+1，
令m(x)=2e1+x−1+x2,x>0，则m′(x)=2e1+x−21+x，
令v(x)=2e1+x−21+x,x>0，则v′(x)=2e1+x−1>0，
所以v(x)在(0,+∞)单调递增，则v(x)>v(0)=2e−2>0，即m′(x)>0，
所以m(x)在(0,+∞)单调递增，则m(x)>m(0)=2e−1>0，
所以ℎ1+a>0，即ℎ(x)在(lna,+∞)从最小值ℎ(lna)增大到大于0，
所以方程ℎx=1−a恰有三个实根，只需ℎ(lna)<1−a，
即(lna−1)a−a2ln2a+1<1−a，化简为alna12lna−1>0，
而a>1，lna>0，则12lna−1>0，则a>e2，
故实数a的取值范围为e2,+∞；
(2)
由题意可得原不等式可化为fx1+x2−fx1−x2>x1+x2−x1−x2，
故不等式fx1+x2−x1+x2>fx1−x2−x1−x2在R上恒成立．
设F(x)=f(x)−x，则上式等价于Fx1+x2>Fx1−x2，
要使Fx1+x2>Fx1−x2对任意∀x1∈R，x2∈0,+∞恒成立，
由x1+x2>x1−x2，只需函数Fx=x−1ex+ax−x在R上单调递增，
F′x=xex+a−1≥0在R上恒成立．
即a≥1−xex,x∈R恒成立，
令G(x)=1−xex,x∈R，则G′(x)=−1+xex,
当x∈−∞,−1时，G′(x)>0,则G(x)单调递增，
当x∈−1,+∞时，G′(x)<0,则G(x)单调递减，
所以G(x)max=G(−1)=1+1e，故a≥1+1e，
则实数a的取值范围为1+1e,+∞．

19.解：(1)
解：根据题意设数列an的公差为d(d>0)，数列bn的公比为q，
因为b1=2a1=2，所以an=1+(n−1)d,bn=2⋅qn−1，
因为b2=2a2，b3=2a4，
所以2q=2(1+d)2q2=2(1+3d)，解得d=1q=2或d=0q=1(舍去)，
所以an=n,bn=2n；
(2)
解：由(1)知−1nan2=−1nn2，
所以S2n=−12+22−32+42−⋅⋅⋅−(2n−1)2+(2n)2
=22−12+42−32+⋅⋅⋅+(2n)2−(2n−1)2
=(2+1)×(2−1)+(4+3)×(4−3)+⋅⋅⋅+(2n+2n−1)[2n−(2n−1)]
=1+2+3+4+⋅⋅⋅+(2n−1)+2n
=2n(2n+1)2=2n2+n，
由mbn>S2n，得m⋅2n>2n2+n，
所以m>2n2+n2n对∀n∈N∗恒成立，
令dn=2n2+n2n，则dn+1−dn=2(n+1)2+n+12n+1−2n2+n2n=−2n2+3n+32n+1
当n=1时，d2−d1=1>0，当n=2时，d3−d2=−8+98=18>0，
当n=3时，d4−d3=−18+9+316=−38<0，
所以由二次函数的性质可知当n≥3时，dn+1所以d3=2×9+28=52最大，
所以m>52；
(3)
由(1)知cn=na1a2a3⋯an+1=n1×2×3×⋅⋅⋅×n(n−1)=n(n+1)!
=(n+1)−1(n+1)!=1n!−1(n+1)!，
所以i=1nci=11!−12!+12!−13!+⋅⋅⋅+1n!−1(n+1)!
=1−1(n+1)!
20.解：(1)
由fx=4lnax+b−x2−1，知f′x=4aax+b−2x．
由已知可得，y=fx在0,f0处的切线8x−y−1=0经过0,−1，且斜率为8．
故有f0=−1f′0=8，代入函数表达式知4lnb−1=−14ab=8，从而lnb=0a=2b．
故b=e0=1，a=2b=2．
(2)
设gt=tlnt−t+1，则g′t=lnt+1−1=lnt．
故对01有g′t=lnt>0，从而gt在0,1上递减，在1,+∞上递增，故对任意t>0均有gt≥g1=0．
回到原题，当b=0时，有fx=4lnax−x2−1．
根据题意，fx在x∈0,+∞时首先要有定义，故lnax要有意义，从而首先有a>0．
此时，原不等式xfx+x2+1+2xa−4+a≥0等价于4xlnax+2xa−4+a≥0．
一方面，若4xlnax+2xa−4+a≥0对x∈0,+∞恒成立，则特别地，该不等式对x=1a成立，代入得4aln1+2aa−4+a≥0，即2−8a+a≥0．
从而由a>0知2a−8+a2≥0，解得a≥2或a≤−4，结合a>0知a≥2．
另一方面，若a≥2，则对任意x∈0,+∞，有
4xlnax+2xa−4+a≥4xln2x+2x2−4+2=4xln2x−4x+2=2g2x≥0．
故4xlnax+2xa−4+a≥0对x∈0,+∞恒成立．
综上，a的取值范围是2,+∞．
(3)
若fx有零点，记x0是fx的零点，则4lnax0+b−x02−1=0，即x02+12=2lnax0+b．
由于对任意t>0均有gt≥0，故
0≤ge1−x022=e1−x022⋅1−x022−e1−x022+1=e1−x0221−x022−1+ex02−12=e1−x022ex02−12−x02+12=e1−x0221e⋅ex02+12−x02+12．
从而1e⋅ex02+12≥x02+12，即ex02+12≥e2x02+1，这就得到
e2x02+1≤ex02+12=e2lnax0+b=ax0+b2≤ax0+b2+bx0−a2
=a2x02+b2+2abx0+b2x02+a2−2abx0=a2x02+b2+b2x02+a2=a2+b2x02+1．
所以e2x02+1≤a2+b2x02+1，故a2+b2≥e2．
X
0
2
4
6
8
P
18
316
38
316
18
(−∞,0)
0
(0,+∞)
ℎ′(x)
−
0
+
ℎ(x)
单调递减
极小值
单调递增
(−∞,lna)
lna
(lna,0)
0
(0,+∞)
ℎ′(x)
+
0
−
0
−
ℎ(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
(−∞,0)
0
(0,lna)
lna
(lna,+∞)
ℎ′(x)
+
0
−
0
−
ℎ(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

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