2023-2024学年广西壮族自治区柳州市高一下学期期末质量检测数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广西壮族自治区柳州市高一下学期期末质量检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查.在这个问题中，30是( )
A. 总体B. 个体C. 样本D. 样本量
2.矩形的直观图是( )
A. 正方形B. 矩形C. 三角形D. 平行四边形
3.下列说法中正确的是( )
A. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B. 在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性
C. 随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率
D. 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
4.已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. 16 2πB. 16 2π3C. 32 2πD. 32 2π3
5.国家队射击运动员小王在某次训练中10次射击成绩(单位：环)如下：6，5，9，6，4，8，9，8，7，5，则这组数据的第60百分位数为( )
A. 6.5B. 7C. 7.5D. 8
6.欧拉恒等式eiπ+1=0(i为虚数单位，e为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式eix=csx+isinx的特例：当自变量x=π时，eix=csπ+isinπ=−1，得eiπ+1=0.根据欧拉公式，复数z=e3i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7.如图，在△ABC中，AB=4DB，P为CD的中点，则BP=( )
A. −14AB+12ACB. −14AB+13ACC. −58AB+12ACD. −58AB+13AC
8.如图，在正四面体ABCD中，点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为( )
A. 3 1326B. 1313C. 1326D. 3 1313
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2，则下列说法正确的是( )
A. 若z1+z2是实数，则z1与z2的虚部互为相反数
B. 若z1=z2且z1≠z2，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称
C. 若z12−z22>0，则z12>z22
D. 若|z1+z2|=|z1−z2|，则z1z2=0
10.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若m/​/α，α/​/β，则m/​/β
B. 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
C. 若α/​/β，β/​/γ，则α/​/γ
D. 若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n
11.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A =“取出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是白球”，事件C=“第二次取出的是白球”，事件D=“取出的两球不同色”，则( )
A. P(C)=13B. A与B相互独立
C. A与C相互独立D. P(A)+P(D)=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a与b的夹角为π3，|a|=1，|b|=2，则|a+b|= ．
13.已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为 ．
14.某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体ABCD− A′B′C′D′挖去一个四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体ABCD−A′B′C′D′的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=8，AA′=6，那么该模型的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sin C−sin A)(c+a)=b(sin C−sin B)．
(1)求A；
(2)若b=2，a= 3，请判断△ABC是锐角三角形，直角三角形还是钝角三角形？
16.(本小题12分)
团建的目的是增强团队凝聚力和团队融合度，提高团队间熟悉感和协助能力，在紧张的工作中放松，能够更好地完成日常工作.某文化传媒公司团建活动是投篮比赛，其中10名员工的投中个数(每人投10个球)统计表如下：
(1)求这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数和方差;
(2)从投进9个球和10个球的员工中选2人分享活动感受，求这2人恰好都是投进9个球的员工的概率．
17.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱CC1，DD1的中点．
(1)求证：D1B⊥AC;
(2)求证：平面BED1//平面ACF．
18.(本小题12分)
如图，在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2CD，E，F分别为AB，CE的中点，G是线段BC上的动点．
(1)若CG=13CB，求证：A，F，G三点共线;
(2)若AD=CD=1，∠DAB=π3，求AG⋅EG的最小值．
19.(本小题12分)
如图1，在四边形ABCD中，AB/​/CD，AB=1，∠A=60∘，BD=CD，∠ABD=90∘，将△ABD沿边BD翻折至△PBD，使得平面PBD⊥平面BCD，如图2所示.E是线段PD上的一点，且BE⊥PD．
(1)求证：平面BEC⊥平面PCD;
(2)求直线BE与平面PBC所成角的正弦值．
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.B
5.C
6.B
7.C
8.A
9.AB
10.BC
11.BCD
12. 7

14.288+8 34
15.解：(1)因为(sinC−sinA)(c+a)=b(sinC−sinB)，
所以由正弦定理得(c−a)(c+a)=b(c−b)，
则b2+c2−a2=bc，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=12，
又0所以A=π3;
(2)因为b=2，a= 3，
所以由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=4+c2−34c=12，
化简后有c2−2c+1=0，解出c=1，
显然a2+c2=b2，
因此△ABC是直角三角形．
16.解：(1)依题意，这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数为110×(6+3×7+2×8+3×9+10)=8，
方差为s2=110×(12+12+02+12+02+22+12+12+22+12)=1.4;
(2)依题意，这10名员工投中10个球的有1人，编号为6，
投中9个球的有3人，编号为2，4，10，
从中任选2人，有(2,4)，(2,6)，(2,10)，(4,6)，(4,10)，(6,10)，共6种，
这2人恰好都是投进9个球的有(2,4)，(2,10)，(4,10)，共3种，
所以这2人恰好都是投进9个球的概率P=36=12．
17.证明：(1)因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，
所以DD1⊥AC，
又DD1∩DB=D，DD1，DB⊂平面DBB1D1，
所以AC⊥平面DBB1D1，又D1B⊂平面DBB1D1，
所以D1B⊥AC；
(2)连接BD，交AC于点O，连接FO，如图所示．
因为四边形ABCD是正方形，所以O是BD的中点，
又F是棱DD1的中点，所以FO//D1B，
又FO⊂平面ACF，D1B⊄平面ACF，所以D1B//平面ACF，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱CC1，DD1的中点，
所以EC=D1F，EC//D1F，
所以四边形CED1F是平行四边形，所以CF//ED1，
又CF⊂平面ACF，ED1⊄平面ACF，所以ED1//平面ACF，
又D1B∩ED1=D1，D1B，ED1⊂平面BED1，
所以平面BED1//平面ACF．
18.(1)证明：由题意知AG=BG−BA=23BC−BA，
AF=BF−BA=12(BC+BE)−BA
=12BC+12BE−BA
=12BC+14BA−BA=12BC−34BA，
所以AG=43AF，
又AG与AF有共同起点A，
所以A，F，G三点共线;
(2)解：在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2CD，AD=CD=1，∠DAB=π3，
易得BC=1，∠ABC=π3，设BG=λBC(0≤λ≤1)，
所以EG=BG−BE=λBC−12BA，
AG=BG−BA=λBC−BA，
所以EG⋅AG=(λBC−12BA)⋅(λBC−BA)
=λ 2BC2−32λBA⋅BC+12BA2
=λ 2−32λ+2=(λ−34)2+2316≥2316，
当且仅当λ=34时，等号成立，所以AG⋅EG的最小值为2316．
19.(1)证明：因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD=BD，且CD⊂平面BCD，CD⊥BD，
所以CD⊥平面PBD，
又BE⊂平面PBD，所以BE⊥CD，
又BE⊥PD，PD∩CD=D，且PD，CD⊂平面PCD，
所以BE⊥平面PCD，
又BE⊂平面BEC，所以平面BEC⊥平面PCD;
(2)解：在△PBD中，PB=1，BD= 3，PD=2，BE= 32．
在△PBC中，易得PB⊥BC，PB=1，BC= 6，所以S△PBC=12PB⋅BC= 62．
因为CD⊥平面PBD，所以CD是三棱锥C−PBD的高，
所以VC−PBD=13S△PBD⋅CD=13×12×1× 3× 3=12．
设点D到平面PBC的距离为ℎ，
因为VC−PBD=VD−PBC，所以13× 62ℎ=12，解得ℎ= 62，
易得PE=14PD，所以点E到平面PBC的距离为14ℎ= 68，
所以直线BE与平面PBC所成角的正弦值为14ℎBE= 68 32= 68×2 3= 24．
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
投中个数
7
9
8
9
8
10
7
7
6
9