2023-2024学年吉林省吉林市友好学校高二下学期期末联考数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年吉林省吉林市友好学校高二下学期期末联考数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.小五和小明两人从4门课程中各选修1门，则小五和小明所选的课程的选法共有( )
A. 8种B. 12种C. 16种D. 18种
2.下列两个变量中能够具有相关关系的是( )
A. 人的身高与受教育的程度B. 人的体重与眼睛的近视程度
C. 企业员工的工号与工资D. 儿子的身高与父亲的身高
3.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数q的值是( )
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
4.已知函数fx=x2−2x−4lnx+3，则fx的极小值为( )
A. 2B. 2−3ln2C. ln2−3D. 3−4ln2
5.掷一个均匀的骰子.记A为“掷得点数小于6”，B为“掷得点数为偶数”，则PBA为( )
A. 13B. 25C. 35D. 23
6.张老师与甲､乙等5名学生毕业合照，要求照相时师生站成一排，则张老师必须站排头或排尾，且甲与乙站在一起的概率为( )
A. 415B. 15C. 215D. 13
7.若函数fx=12ax2−lnx在区间13,2内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是( )
A. 9,+∞B. 14,+∞C. −∞,9D. −∞,14
8.若函数f(x)=e3x−e2x−ex−a存在零点，则实数a的取值范围为( )
A. [−2,+∞)B. [−e,+∞)C. [−e2,+∞)D. [−1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是( )
A. 若任意选择三门课程，选法总数为A73
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为C21C62
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为C73−C51
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为C21C52C51
10.若随机变量X服从两点分布，其中PX=1=14，EX，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A. PX=0=3EXB. E2X−1=12
C. DX=316D. D4X+1=3
11.已知函数fx=xlnx−ax+1，则( )
A. 当a=0时，函数fx的最小值为1−1e
B. 当a=1时，函数fx的极大值点为x=1
C. 存在实数a使得函数fx在定义域上单调递增
D. 若fx≥0恒成立，则实数a的取值范围为a≤1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似表示为y= t，则在t=4min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min．
13.“守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8∼12月在D网络平台的月销售额y(单位：百万元)与月份x具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为y=1.2+mx+m，若该国货品牌2023年8∼12月在D网络平台的总销售额为225百万元，则m的值为 ．
14.某初级中学初一、初二、初三的学生人数比例为2:1:1，假设该中学初一、初二、初三的学生阅读完《三国演义》的概率分别为0.2，0.3，p0四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数y=xln x．
(1)求这个函数的导数；
(2)求这个函数的图象在点(1,0)处的切线方程．
16.(本小题12分)
已知在2x2+1 xnn∈N∗的展开式中第二项的二项式系数是5．
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x5的项．
17.(本小题12分)
某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，A，B在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗，为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各100株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图(统计数据分组区间为50,60,60,70，70,80,80,90，90,100)，记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．
(1)求图中a的值，并求综合评分的中位数；
(2)填写下面的2×2列联表，并根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析优质花苗与培育方法是否有关，请说明理由．
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d
18.(本小题12分)
面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分．
(1)若一共有200人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布N60,144，规定X≥84为达标，求进入面试环节的人数大约为多少(结果四舍五入保留整数)；
(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为12，后两题答对的概率均为13，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望．
附：若X∼Nμ,σ2σ>0，则Pμ−σ19.(本小题12分)
设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球．
(1)若最后摸出的2个球颜色相同，求这2个球是从乙箱中摸出的概率；
(2)若摸出每个红球记1分，每个白球记0分，用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分布列及数学期望．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.D
5.B
6.C
7.C
8.D
9.ABD
10.ACD
11.AD
12.14
13.3
14.0.3,0.4
15.解：(1)y=xlnx，
∴y′=1·lnx+x·1x=1+lnx
∴y′=lnx+1；
(2)k=y′|x=1=ln1+1=1，
又当x=1时，y=0，所以切点为(1,0)，
∴切线方程为y−0=1·(x−1)，
即x−y−1=0．
16.（1）
二项式2x2+1 xnn∈N∗展开式的通项为Tr+1=Cnr2x2n−r1 xr(其中0≤r≤n且r∈N)，
依题意可得Cn1=5，解得n=5；
（2）二项式2x2+1 x5展开式的通项为Tr+1=C5r2x25−r1 xr=25−rC5rx10−52r(其中0≤r≤5且r∈N)，
令10−52r=5，解得r=2，
所以T3=23C52x5=80x5，即展开式中含x5的项为80x5．

17.（1）
由频率分布直方图可得0.005+a+0.025+0.04+0.02×10=1，
解得a=0.010，
因为0.005+0.01+0.025×10=0.4<0.5，0.005+0.01+0.025+0.04×10=0.8>0.5，
所以中位数位于80,90，令中位数为x，则有0.4+0.04×x−80=0.5，
解得x=82.5，故综合评分的中位数为82.5；
（2）由频率分布直方图可得优质花苗的频率为0.04+0.02×10=0.6，
所以优质花苗共有2×100×0.6=120株，则非优质花苗共有200−120=80株，
所以2×2列联表如下所示：
零假设：优质花苗与培育方法无关，
χ2=200×50×30−50×702100×100×120×80=253≈8.333>6.635=x0.01，
根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为优质花苗与培育方法有关，该推断犯错误的概率不大于0.01；
18.（1）
因为 X服从正态分布N60,144，所以μ=60，σ=12，84=μ+2σ，
所以PX≥84=1−Pμ−2σ进入面试的人数Z∼B200,0.023，EZ=200×0.023=4.6．
因此进入面试大约为5人.
（2）由题意可知，Y的可能取值为0，2，4，6，
则PY=0=1−12×1−132=29；
PY=2=12×1−132+1−12×13×1−13×2=49；
PY=4=12×C21×13×1−13+1−12×13×13=518；
PY=6=12×13×13=118；
所以EY=0×29+2×49+4×518+6×118=73．
19.（1）
依题意从甲箱中摸出的2个球颜色相同的概率P1=C32+C22C52=25，
从甲箱中摸出的2个球颜色不相同的概率P2=C31C21C52=35，
记事件B为“这2个球是从乙箱中摸出的”，C为“最后摸出的2个球颜色相同”，则PB|C=P(BC)P(C)．
又因为P(C)=2545×2C32C62+15×C42+C22C62+3525×C52C62+35×C42+C22C62=185375．
P(BC)=3525×C52C62+35×C42+C22C62=123375，
所以PB|C=123375185375=123185．
（2）依题意可得X的可能取值为0、1、2，
所以PX=0=2545×C32C62+15×C42C62+3525×0+35×C22C62=45375=325
PX=2=2545×C32C62+15×C22C62+3525×C52C62+35×C42C62=140375=2875，
PX=1=2545×C31C31C62+15×C41C21C62+3525×C51C11C62+35×C41C21C62=190375=3875，
所以X的分布列为：
所以EX=0×325+1×3875+2×2875=9475．
X
0
1
2
P
0.36
1−2q
q2
优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
50
乙培育法
70
合计
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
50
50
100
乙培育法
70
30
100
合计
120
80
200
X
0
1
2
P
325
3875
2875