2023-2024学年广西壮族自治区柳州市高一下学期期末质量检测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西壮族自治区柳州市高一下学期期末质量检测数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查.在这个问题中，30是( )
A. 总体B. 个体C. 样本D. 样本量
2.矩形的直观图是( )
A. 正方形B. 矩形C. 三角形D. 平行四边形
3.下列说法中正确的是( )
A. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B. 在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性
C. 随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率
D. 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
4.已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. 16 2πB. 16 2π3C. 32 2πD. 32 2π3
5.国家队射击运动员小王在某次训练中10次射击成绩(单位：环)如下：6，5，9，6，4，8，9，8，7，5，则这组数据的第60百分位数为( )
A. 6.5B. 7C. 7.5D. 8
6.欧拉恒等式eiπ+1=0(i为虚数单位，e为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式eix=csx+isinx的特例：当自变量x=π时，eix=csπ+isinπ=−1，得eiπ+1=0.根据欧拉公式，复数z=e3i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7.如图，在△ABC中，AB=4DB，P为CD的中点，则BP=( )
A. −14AB+12ACB. −14AB+13ACC. −58AB+12ACD. −58AB+13AC
8.如图，在正四面体ABCD中，点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为( )
A. 3 1326B. 1313C. 1326D. 3 1313
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2，则下列说法正确的是( )
A. 若z1+z2是实数，则z1与z2的虚部互为相反数
B. 若z1=z2且z1≠z2，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称
C. 若z12−z22>0，则z12>z22
D. 若|z1+z2|=|z1−z2|，则z1z2=0
10.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若m/​/α，α/​/β，则m/​/β
B. 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
C. 若α/​/β，β/​/γ，则α/​/γ
D. 若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n
11.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A =“取出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是白球”，事件C=“第二次取出的是白球”，事件D=“取出的两球不同色”，则( )
A. P(C)=13B. A与B相互独立
C. A与C相互独立D. P(A)+P(D)=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a与b的夹角为π3，|a|=1，|b|=2，则|a+b|= ．
13.已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为 ．
14.某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体ABCD− A′B′C′D′挖去一个四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体ABCD−A′B′C′D′的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=8，AA′=6，那么该模型的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sin C−sin A)(c+a)=b(sin C−sin B)．
(1)求A；
(2)若b=2，a= 3，请判断△ABC是锐角三角形，直角三角形还是钝角三角形？
16.(本小题12分)
团建的目的是增强团队凝聚力和团队融合度，提高团队间熟悉感和协助能力，在紧张的工作中放松，能够更好地完成日常工作.某文化传媒公司团建活动是投篮比赛，其中10名员工的投中个数(每人投10个球)统计表如下：
(1)求这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数和方差;
(2)从投进9个球和10个球的员工中选2人分享活动感受，求这2人恰好都是投进9个球的员工的概率．
17.(本小题12分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱CC1，DD1的中点．
(1)求证：D1B⊥AC;
(2)求证：平面BED1//平面ACF．
18.(本小题12分)
如图，在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2CD，E，F分别为AB，CE的中点，G是线段BC上的动点．
(1)若CG=13CB，求证：A，F，G三点共线;
(2)若AD=CD=1，∠DAB=π3，求AG⋅EG的最小值．
19.(本小题12分)
如图1，在四边形ABCD中，AB/​/CD，AB=1，∠A=60∘，BD=CD，∠ABD=90∘，将△ABD沿边BD翻折至△PBD，使得平面PBD⊥平面BCD，如图2所示.E是线段PD上的一点，且BE⊥PD．
(1)求证：平面BEC⊥平面PCD;
(2)求直线BE与平面PBC所成角的正弦值．
答案解析
1.D
【解析】解：在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查，
在这个问题中，50种饮料的质量是总体，每一种饮料的质量是个体，30种饮料的质量是样本，30是样本量．
故选D．
2.D
【解析】解：直观图的画法不改变平行关系，也不改变平行于横向的线段长度，
故矩形的直观图是平行四边形．
故选D．
3.C
【解析】解：频率与概率不是同一个概念，故A错误;
在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误;
随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故C正确;
在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误．
故选C．
4.B
【解析】解：设该圆锥的底面圆半径为r，所以2πr=6×2π3=4π，
解得r=2，所以该圆锥的高为 62−22=4 2，
所以该圆锥的体积V=13π×22×4 2=16 2π3．
故选B．
5.C
【解析】解：将10次射击成绩按照从小到大的顺序排列为：4，5，5，6，6，7，8，8，9，9．
又因为10×60%=6，所以这组数据第60百分位数为：7+82=7.5．
故选C．
6.B
【解析】解：由题意得z=cs3+isin3，又π2