2023-2024学年四川省宜宾市高二下学期期末学业质量监测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省宜宾市高二下学期期末学业质量监测数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i为虚数单位，复数z=2−i的模为( )
A. 2B. 5C. 3D. 5
2.下列运算不正确的是( )
A. (sinx)′=csxB. lg2x′=1xln2C. 2x′=2xln2D. (csx)′=sinx
3.在建立两个变量y与x的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，模型1、2、3、4的决定系数R2依次为0.20，0.48，0.96，0.85，则其中拟合效果最好的模型是( )
A. 模型1B. 模型2C. 模型3D. 模型4
4.(2x−y)5展开式中含xy4的项的系数是( )
A. −10B. −5C. 10D. 5
5.已知函数fx=x3−32ax2+1的极小值为12，则a=( )
A. 1B. −1C. 1或−1D. 0
6.3名男生和2名女生共5位同学站成一排照相，且2位女生不相邻，则不同排法的种数为( )
A. 120B. 72C. 36D. 12
7.若随机事件A,B满足PA=1116,PB=14,PA+B=34，则PAB=( )
A. 34B. 38C. 14D. 18
8.已知函数fx在R上可导，且f′xfa成立，则a 的 取值范围是( )
A. −∞,1B. 1,eC. 1,+∞D. e,+∞
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机变量X∼N4,1，则( )
A. EX+1=5B. D2X+1=5
C. PX≤3=PX≥4D. PX≤110.已知函数fx=xsinx+csx,x∈0,2π，则( )
A. fx有唯一极值点B. fx在0,π2单调递增
C. fx的最大值为π2D. fx在x=π处的切线方程为y=−1
11.设(x+1)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a5x5，则( )
A. a0=1B. 展开式中系数最大值为a5
C. a1+a3+a5=16D. a0+2a1+4a2+⋯+32a5=243
12.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P,Q分别为CC1,BC的中点，则( )
A. BP⊥AQ
B. 平面ABP⊥平面A1B1Q
C. 点A1到平面ABP的距离为4 55
D. 该正方体的外接球被平面ABP截得的截面圆的面积为145π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若随机变量ξ∼B3,p，且Eξ=1，则p= ．
14.已知双曲线E:x24−y2b2=1(b>0)的离心率为 3，则b= ．
15.有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台车床加工的次品率依次为5%、4%、3%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%、30%、50%，任取一个零件，则它是次品的概率为 ．
16.若函数fx=a⋅2ax−lg2x无零点，则a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知数列an满足：a1=3，点an,an+1在直线y=x+3上．
(1)求an的通项公式；
(2)若bn=an+3n，求数列bn的前n项和Sn．
18.(本小题12分)
通过对某商品在A,B,C,D,E,F六个城市的销售情况与广告投入的关系进行调研，得到一些统计量的值(如下表).并发现该商品的销售额y(单位：百万元)与其广告费x(单位：万元)成线性相关.用模型y=bx+a进行拟合，得出相应的经验回归方程并进行残差分析绘制了如图所示的残差图，但在随后数据整理的过程中不小心将部分数据损坏．
现将残差绝对值大于1的数据被视为异常数据，需要剔除．
(1)剔除异常数据后，分别计算广告费、销售额的平均值；
(2)求剔除异常数据后的经验回归方程；并估计当广告费为20万元时，销售额为多少．
参考公式：b=i=1nxiyi−nx⋅yi=1nxi2−nx2,a=y−bx
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,BC//AD,∠BAD=90∘,AB=BC=2，PA=2 3,cs∠ADC= 55,PE=2ED．

(1)证明：CE//平面PAB；
(2)求平面PCE与平面BCE夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
某校为了了解学生体能情况，从全校男女生体能测试成绩中随机抽取容量为20的样本数据进行统计分析，样本数据整理如下(满分100分)：
女生75 70 75 70 75 95 85 75 90 75
男生75 70 80 85 90 80 85 80 90 80
若规定成绩不低于80为A等，成绩低于80为B等．
(1)完成上表，依据α=0.05的独立性检验，能否认为体能测试成绩与性别有关联?
(2)从这20名体能测试成绩为B等的学生中随机挑选3名，求挑选出男生成绩为B等的人数X的分布列与数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
21.(本小题12分)
已知F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点，P是抛物线E上一点，且PF的最小值为1．
(1)求E的方程；
(2)过F的直线l与E交于A,B两点，过原点O作直线l的垂线l′交E于点C(异于点O).当四边形OACB的面积为16 2时，求直线AB的方程．
22.(本小题12分)
已知函数fx=xa⋅lnxa∈R．
(1)当a=1时，求fx的单调区间；
(2)当x>1时，fx答案解析
1.B
【解析】解：复数z=2−i的模|z|= 22+(−1)2= 5，
故选：B．
2.D
【解析】解：A．(sinx)′=csx，故正确，不符合题意；
B.lg2x′=1xln2，故正确，不符合题意；
C.2x′=2xln2，故正确，不符合题意；
D.(csx)′=−sinx，故选项错误，符合题意；．
故选：D．
3.C
【解析】因为R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以这4个不同的模型拟合效果最好的模型是模型3．
故选：C
4.C
【解析】2x−y5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅2x5−r⋅−yr，令r=4，则含 的项的系数是C54×2=10，
故选：C
5.A
【解析】由fx=x3−32ax2+1求导得，f′x=3x2−3ax=3x(x−a)．
①当a<0时，由f′x>0可得x>0或x即当x>0或x故fx的极小值为f(0)=1，不合题意；
②当a=0时，f′x=3x2≥0，故fx在R上单调递增，fx无极值，不合题意；
③当a>0时，由f′x>0可得x>a或x<0，由f′x<0可得0即当x>a或x<0时，fx单调递增，当0故fx的极小值为fa=−12a3+1=12，解得a=1．
综上，a=1．
故选：A．
6.B
【解析】先排3名男生，有A33种排法，借助插空法，共有4个空位，故2名女生有A42种排法，
共有A33⋅A42=72种排法．
故选：B．
7.A
【解析】解：P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)，
∴34=1116+14−P(AB)，
∴P(AB)=1516−34=316，
∴P(A|B)=P(AB)P(B)=31614=34，
故选：A．
8.C
【解析】构造函数g(x)=f(x)ex,g′(x)=f′(x)ex−f(x)exex2=f′(x)−f(x)ex,
因为f′xea−1f1>fa可变形为f1e>faea，即g(1)>g(a)，即a>1．
故选：C
9.AD
【解析】因为X∼N4,1，所以EX=4,DX=1，所以EX+1=EX+1=5，
D2X+1=4DX=4，故 A正确，B错误；
由对称性可知PX≤3+P3由对称性可知，PX≤1=PX≥7，而PX≥6>PX≥7，
所以PX≤1故选：AD．
10.BC
【解析】由f(x)=xsinx+csx，得f′(x)=sinx+xcsx−sinx=xcsx，
令f′(x)=0，则x=π2或x=3π2，
所以当00；
当π2所以f(x)在0,π2上递增，在π2,3π2上递减，在3π2,2π上递增，
所以当x=π2时，f(x)取得极大值fπ2=π2，
当x=3π2时，f(x)取得极小值f3π2=−3π2．
因为2πsin2π+cs2π=1<π2，所以fx的最大值为π2．
∴f′(π)=πcsπ=−π，
又f(π)=π⋅sinπ+csπ=−1，
∴函数f(x)在点(π,f(π))处的切线方程是y+1=−π×(x−π)，即πx+y−π2+1=0．
故AD错误；BC正确；
故选：BC
11.ACD
【解析】对于A，取x=0，代入可得，a0=1，故 A正确；
对于B，由二项式(x+1)5的通项公式Tr+1=C5rx5−r,r=0,1,⋯,5知，
展开式中系数最大值为C52和C53，即a2和a3，故 B错误；
对于C，取x=1，代入可得，a0+a1+a2+a3+a4+a5=32
取x=−1，代入则得，a0−a1+a2−a3+a4−a5=0，
两式相减可得，2(a1+a3+a5)=32，即得a1+a3+a5=16，故 C正确；
对于D，取x=2，代入可得，a0+2a1+4a2+⋯+32a5=35=243，故 D正确．
故选：ACD．
12.BCD
【解析】对于A：以点D为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系

A(2,0,0),B(2,2,0),Q(1,2,0),P0,2,1,A1(2,0,2),B1(2,2,2)，
BP=(−2,0,1),AQ=(−1,2,0)，则BP⋅AQ=2≠0，所以 A错误；
对于B：设平面ABP的法向量为n=(x,y,z)，AB=(0,2,0)，
n⋅AB=0n⋅BP=0⇒2y=0−2x+z=0，取x=1，则n=(1,0,2)，
同理可得平面A1B1Q的法向量为m=(2,0,−1)，
n⋅m=1×2+0×0+2×(−1)=0，则平面ABP⊥平面A1B1Q，故 B正确；
对于C：A1A=(0,0,−2)，点A1到平面ABP的距离为n⋅A1An=4 5=4 55，故 C正确；
对于D：该正方体的外接球的球心为O1,1,1，且外接球的半径为R= 122= 3，
AO=(−1,1,1)，点O到平面ABP的距离为d=n⋅AOn=1 5= 55，
则平面ABP截得的截面圆的半径为 R2−d2= 3−15= 705，
所以该正方体的外接球被平面ABP截得的截面圆的面积为π 7052=145π，故 D正确；
故选：BCD
13.13
【解析】因ξ∼B3,p，由Eξ=1可得3p=1，解得p=13．
故答案为：13．
14.2 2
【解析】由题意a2=4,c2=a2+b2=4+b2，
从而双曲线x24−y2b2=1(b>0)的离心率为e=ca= 4+b2 4= 1+b24= 3，
结合b>0，解得b=2 2>0满足题意．
故答案为：2 2．

【解析】依题意，事件Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3)，事件B=“零件为次品”；
所以PB=PA1PBA1+PA2PBA2+PA3PBA3
=20%×5%+30%×4%+50%×3%=0.037．
故答案为：0.037
16.1eln2,+∞
【解析】一方面，若a≤1eln2，设t为实数，由于对t<0有t⋅2t<0，对t≥0有t⋅2t≥0，故t<02t⋅2t−1<0或t≥02t⋅2t−1≥0，从而对任意实数t，都有t2t⋅2t−1≥0．
故f2a=a⋅2a⋅2a−lg22a=a2a⋅2a−1≥0，而我们还有
fe=a⋅2ae−lg2e=a⋅eln2ae−1ln2=a⋅eaeln2−1ln2≤1eln2⋅eaeln2−1ln2≤1eln2⋅e1eln2⋅eln2−1ln2=0，
故函数fx存在零点，不满足条件；
另一方面，若a>1eln2，设φt=t−lnt−1，则φ′t=1−1t=t−1t．
故对01有φ′t=t−1t>0，所以φt在0,1上递减，在1,+∞上递增．
从而对任意t>0都有φt≥φ1，即t−lnt−1≥0，此即t≥1+lnt．
对x>0，在不等式t≥1+lnt中令t=xe，得xe≥1+lnxe=lnx；在不等式t≥1+lnt中令t=exe−1，得exe−1≥1+lnexe−1=1+xe−1=xe．
从而将exe−1≥xe和xe≥lnx二者结合就有exe−1≥lnx．
故由a>1eln2>0，知对任意x>0都有
a⋅2ax>1eln2⋅2ax>1eln2⋅2xeln2=1eln2⋅2lg2e⋅xe=1eln2⋅exe=1ln2⋅exe−1≥1ln2⋅lnx=lg2x．
这表明对任意x∈0,+∞都有fx=a⋅2ax−lg2x>0，故函数fx无零点，满足条件．
综上，a的取值范围是1eln2,+∞．
故答案为：1eln2,+∞．
17.【小问1详解】
因为点a,n,an+1在直线y=x+3，所以an+1=an+3，即an+1−an=3．
所以an是等差数列，且首项为a1=3，公差为3．
于是，an=a1+n−1d=3+n−1×3=3n．
【小问2详解】
因为bn=an+3n=3n+3n．
所以Sn=b1+b2+⋯+bn=3+6+9+⋯+3n+3+32+33+⋯+3n=n3+3n2+31−3n1−3=3n2+3n+3n+1−32
【解析】(1)根据等差数列定义求通项公式；
(2)分组求和法求前n项和Sn．
18.【小问1详解】
由题知，剔除城市D，E的数据后，广告费的平均值为：x′=5×6−6+84=4,
销售额的平均值为：y′=8×6−8+144=6.5．
【小问2详解】
依题意，i=14xiyi=336−(6×8+8×14)=176．
∑i=14xi2=214−62+82=114．
所以b=i=14xiyi−4x′⋅y′i=14xi2−4x′2=176−4×4×6.5114−4×42=1.44．
a=y−bx=6.5−1.44×4=0.74
即得：y=bx+a=1.44x+0.74
当x=20时，y=1.44×20+0.74=29.54．
所以，估计当广告费为20万元时，销售额为29.54百万元．
【解析】(1)由残差图可知城市D，E的 数据异常，故应剔除广告费中的6和8，剔除销售额中的8和14，利用平均数计算公式即得；
(2)先计算出剔除两组数据后，i=14xiyi和i=14xi2的值，代入b和a的计算公式，得到回归方程，即可估计出销售额．
19.【小问1详解】

过点C作CF⊥AD，所以CF=AF=2
在▵CFD中，因为cs∠FDC= 55，则tan∠FDC=2，所以DF=1
于是，AD=3，过点E作EG//AD交PA于点G，连接BG，
因为PE=2ED，所以EG=2，因AD//BC，则EG/​/BC且EG=BC，
于是，四边形BCGE是平行四边形
则CE//GB,CE⊄平面PAB,GB⊂平面PAB，
所以CE//平面PAB
【小问2详解】

法一：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC
因为BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，因BC⊂平面BCEG，
所以平面BCEG⊥平面PAB
过点P作PH⊥BG交直线BG于H，
因PH⊂平面PAB，平面BCEG∩平面PAB=BG，故PH⊥平面BCEG．
过点H作HK//BC交直线CE于点K，
因BC⊥平面PAB，BG⊂平面PAB，则BC⊥BG，得矩形BCEG，则BC⊥CE，
故HK⊥CE，连接PK，因PH⊥平面BCEG，CE⊂平面BCEG，则PH⊥CE，
因PH∩HK=H，故CE⊥平面PHK，PK⊂平面PHK，则CE⊥PK，
所以∠PKH为二面角P−CE−B的平面角．
易得▵ABG∼▵HPG，由AG=13AP=2 33，则BG= (2 33)2+22=4 33=PG，
即▵ABG≅▵HPG，故PH=AB=2．
在Rt△PHK中，HK=BC=2,则PK=2 2，所以cs∠PKH= 22，
即平面PCE与平面BCE夹角的余弦值为 22；
法二：
如图建系A−xyz，
因为A0,0,0,B2,0,0,C2,2,0,P0,0,2 3，D0,3,0,E0,2,2 33．
所以BE=−2,2,2 33,BC=0,2,0,PC=2,2,−2 3,PE=0,2,−4 33
设平面BCE的法向量m=x1,y1,z1，
所以m⋅BE=−2x1+2y1+2 33z1=0;m⋅BC=2y1=0，
不妨设x1= 3，于是，y1=0,z1=3，所以m= 3,0,3，
设平面PCE的法向量n=x2,y2,z2，所以n⋅PE=2y2−4 33z2=0，
n⋅PC=2x2+2y2−2 3z2=0，不妨设y2=2，于是，z2= 3,x2=1
所以n=1,2, 3，于是csm,n=m⋅nmn=4 32 3×2 2= 22>0，
所以平面PCE与平面BCE夹角的余弦值为 22．
【解析】(1)利用cs∠ADC= 55求出AD，过点E作EG//AD交PA于点G，连接BG，证明▱BCGE即得；
(2)法一：先证平面BCEG⊥平面PAB，过点P作PH⊥BG于H，证PH⊥平面BCEG，作HK//BC交CE于点K，连接PK，证明∠PKH为二面角P−CE−B的平面角即可求得；法二：建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得．
20.【小问1详解】
解：填表如下：
假设H0：体能测试成绩与性别无关．
χ2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d=20(7×8−3×2)210×10×9×11≈5.051>3.841．
假设H0不成立，认为体能测试成绩与性别有关．
【小问2详解】
解：由题知X∼H9,3,2且PX=k=C2kC73−kC93k=0,1,2．
PX=0=C20C73C93=3584
PX=1=C21C72C93=4284
PX=2=C22C71C93=784
于是，X的分布列为
所以X的数学期望EX=3×29=23．
【解析】(1)根据题意补充完整2×2列联表，然后根据K2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；
(2)这9名学生中，而X的可能取值为0，1，2，然后结合超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．
21.【小问1详解】

由题知，当点P在原点上时，PF的最小，所以p2=1，所以p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．
【小问2详解】
设AB方程为x=my+1.Ax1,y1,Bx2,y2
由x=my+1y2=4x联立得：y2−4my−4=0.于是，y1+y2=4m，
于是，x1+x2=my1+y2+2=4m2+2
AB=x1+x2+p=4m2+1.
直线OC方程为y=−mx．
由y=−mxy2=4x联立得：m2x2−4x=0.解得x=0或x=4m2．
于是，点C4m2,−4m，所以OC= 1+m2⋅4m2
所以四边形OACB的面积S=12×AB⋅OC=8m2+1m2 m2+1=16 2
即m2+1 m2+1=2 2m2，令t= m2+1，则m2=t2−1>0，所以t2>1
于是，t3−2 2t2+2 2=0．
即t3− 2t2− 2t2+2 2=t2t− 2− 2t2−2=0
即t− 2t2− 2t−2=0(t>1)解得t1= 2或t2= 2+ 102
于是，m=±1或m=± 2+ 5
所以直线AB的方程为x=±y+1或x=± 2+ 5y+1
【解析】(1)根据抛物线定义即可求解；
(2)将两直线分别与抛物线方程联立成方程组，消元后，得到AB=4m2+1，OC= 1+m2⋅4m2，再结合四边形OACB的面积为16 2即可列等式求解．
22.【小问1详解】
当a=1时，fx=xlnx,f′x=lnx+1(x>0)
当x∈0,1e时，f′x<0，当x∈1e,+∞时，f′x>0．
所以fx的单调递减区间为0,1e；单调递增区间为1e,+∞
【小问2详解】
因为对任意x>1,xalnx−x+1<0恒成立．设φx=xalnx−x+1(x>1)．
所以φ′x=axa−1lnx+xa−1−1=xa−1alnx+1−1(x>1)．
分类：①当a≥1时，φ′x>0，知φx在1,+∞单调递增，
所以∀x>1,φx>φ1=0，不成立．
②当a≤0时，φ′x<0，知φx在1,+∞单调递减，所以∀x>1,φx<φ1=0成立．
③当01)．
所以p′x=xa−2a2−alnx+2a−1(x>1,0(ⅰ)若2a−1≤0即0所以φ′x<0，所以φx在1,+∞单调递减，所以对任意x∈1,+∞时，φx<φ1=0成立．
(ⅱ)若2a−1>0即121，所以当x∈1,e1−2aa2−a时，p′x>0，
于是，px在1,e1−2aa2−a单调递增，所以对任意x∈1,e1−2aa2−a时，px>p1=0，所以φ′x>0，
所以φx在1,e1−2aa2−a单调递增，所以对任意1,e1−2aa2−a时，φx>φ1=0恒成立．
综上所述：a的取值范围是−∞,12．
【解析】(1)利用导数即可判断函数的 单调区间；
(2)转化为恒成立问题，构造函数φx=xalnx−x+1(x>1)，求导φ′x=axa−1lnx+xa−1−1=xa−1alnx+1−1(x>1)，对a分类讨论，研究φ′x正负判断φx的单调性，即可求解．
城市
A
B
C
D
E
F
x
y
i=16xiyi
i=16xi2
广告费x/万元
3
6
8
10
5
8
336
214
销售额y/百万元
6
8
14
15
性别
成绩
合计
A等
B等
女生
10
男生
10
合计
20
α
0.05
0.005
xα
3.841
7.897
性别
成绩
合计
A等
B等
女生
3
7
10
男生
8
2
10
合计
11
9
20
X
0
1
2
P
3584
4284
784