2023-2024学年河南省开封市高一下学期7月期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省开封市高一下学期7月期末数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z满足(z−1)i=−1，则z=( )
A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i
2.设α，β为两个平面，则α//β的充要条件是( )
A. α内有无数条直线与β平行B. α内有两条相交直线与β平行
C. α，β平行于同一条直线D. α，β垂直于同一平面
3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差
4.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.现采用随机模拟的方法估计甲获得冠军的概率.先由计算机模拟产生1∼5之间的整数随机数，当出现随机数1，2或3时表示甲获胜，出现4，5时表示乙获胜.因为比赛采用了3局2胜制，所以每3个随机数为一组，代表3局的结果，经随机模拟产生以下20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计所求概率的值为( )
A. 0.3B. 0.35C. 0.6D. 0.65
5.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角θ=2π3，则|a−b|=( )
A. 13B. 13C. 37D. 37
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsB=bcsA，且a=2，c=3，则csC=( )
A. −34B. −18C. 34D. 18
7.▱ABCD中，E为CD的中点，BE与对角线AC相交于点F，记AB=a，AD=b，用a，b表示BF=( )
A. 13a+23bB. −13a−23bC. −13a+23bD. −23a+13b
8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.已知四面体P−ABC为鳖臑，且PA=AB，AC=BC，记二面角A−PB−C的平面角为θ，则sinθ=( )
A. 22B. 33C. 63D. 36
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3，则下列说法中正确的是( )
A. 如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.5
B. 如果B⊆A，那么P(AB)=0.3
C. 如果A，B互斥，那么P(A∪B)=0.8
D. 如果A，B互斥，那么P(AB)=0.15
10.已知复数z=csθ+isinθ，则( )
A. z·z=1B. |z|=1C. z2=1D. z2+z2≤2
11.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走am到达B处，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高ℎ=( )
A. asinαsin(γ−β)sin(γ−α)B. asin αsin (γ−α)sin (γ−β)
C. asinγsin(α−β)sin(γ−α)+asinβD. asinγsin(α−β)sin(γ−β)+asinβ
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b，c在网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则(a−b)⋅c= ;a⋅b= ．
13.已知正方体的内切球体积为1，则该正方体的外接球体积为 ．
14.已知复数z1=m+(4−m2)i(m∈R)，z2=2csθ+(λ+2sinθ)i(λ,θ∈R)，且z1=z2，则λ的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在一个不透明的盒子中有大小质地完全相同的1个红球和1个白球，从中随机地摸出一个球，观察其颜色后放回.设事件A=“摸球2次出现1次红球”，B=“摸球4次出现2次红球”．
(1)分别写出“摸球2次”和“摸球4次”这两个试验的样本空间;
(2)猜想P(A)和P(B)的大小关系，并验证你的猜想是否正确．
16.(本小题12分)
在平面直角坐标系Oxy中，已知向量OA=(1,0)，OB=(2,2)，OC=(−2x+1,x)，其中x≠0.
(1)求∠BAC;
(2)若|BC|=5，求向量BC在向量OA上的投影向量的坐标．
17.(本小题12分)
有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.00×10−6的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在一批该鱼中随机抽取30条作为样本，检测其汞含量(乘以百万分之一)如下：
0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02
1.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.68
1.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 1.65 1.31
(1)依据样本数据，补充完成下列频率分布直方图，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点;
(2)分别依据样本数据和(1)中频率分布直方图估计这批鱼的汞含量的第60百分位数，得到的结果完全一致吗?为什么?
(3)将样本中汞含量最低的两条鱼分别放入相互连通的A、B水池，若这两条鱼的游动相互独立，均有14的概率游入另一个水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AP=PD=2，AB= 11，∠ADC=∠APD=90∘，平面PAD⊥平面ABCD．
(1)证明：AP⊥平面PCD;
(2)若E是棱PA的中点，且BE//平面PCD，求异面直线BE与PD所成角的余弦值．
19.(本小题12分)
当△ABC内一点P满足条件∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ时，称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ．
(1)证明：2S=(a⋅PB+b⋅PC+c⋅PA)⋅sinθ
(2)证明：a2+b2+c2=4Stanθ;
(3)若a=c，且PC= 2PB，求A及tanθ．
答案解析
1.A
【解析】解：由题意可得 z=−1i+1=i−i2+1=1+i．
2.B
【解析】解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α与β相交或α//β；
对于B，α内有两条相交直线与β平行，则α//β；
对于C，α，β平行于同一条直线，α与β相交或α//β；
对于D，α，β垂直于同一平面，α与β相交或α//β．
故选B．
3.A
【解析】解：设9位评委的评分按从小到大排列为x1