2023-2024学年内蒙古自治区锡林郭勒盟高一下学期末学业质量抽测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古自治区锡林郭勒盟高一下学期末学业质量抽测数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设复数z满足z=2−i，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.sin35∘cs65∘−cs35∘sin65∘=( )
A. − 32B. −12C. 12D. 32
3.设D为ΔABC所在平面内一点，若BC⇀=3CD⇀，则下列关系中正确的是( )
A. AD⇀=−13AB⇀+43AC⇀B. AD⇀=13AB⇀−43AC⇀
C. AD⇀=43AB⇀+13AC⇀D. AD⇀=43AB⇀−13AC
4.平面向量a=sinα,−csα，b=1,−1，若a⊥b，则tanα=( )
A. −1B. −2C. 1D. 2
5.如图，已知长方体ABCD−A′B′C′D′，AB=AD=2，AA′=1，则直线BD′与DC所成角的余弦值为( )
A. 53B. 52C. 34D. 23
6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为( )．
A. 2 3πB. 3 3πC. 6 3πD. 9 3π
7.如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC(包括端点)上一点，则AP⋅AB的取值范围是( )
A. 1,4+ 24B. 1,2+ 22C. 1,1+ 22D. 24,1
8.小明去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？(单位：米)已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处( )
A. 2B. 3C. 5D. 6
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两条直线l，m与两个平面α，β，下列命题不正确的是( )
A. 若l//α，l⊥m，则m⊥αB. 若α//β，m//α，则m//β
C. 若l//α，m//α，则l//mD. 若l⊥α，l//β，则α⊥β
10.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ0上单调递增；求a的最大值．
19.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=120∘,PA=2,PB=PC=PD,E是PB的中点．
(1)证明：PD//平面AEC；
(2)设F是线段DC上的动点，当点E到平面PAF距离最大时，求三棱锥P−AFE的体积．
答案解析
1.D
【解析】由题意可知，复数z在复平面内对应的点(2,−1)位于第四象限．
故选：D．
2.B
【解析】解： sin35∘cs65∘−cs35∘sin65∘=sin35∘−65∘=sin−30∘
=−sin30∘=−12 ．
故选：B．
3.A
【解析】∵BC⇀=3CD⇀
∴AC⇀−AB⇀=3(AD⇀−AC⇀)；
∴AD⇀=43AC⇀−13AB⇀．
故选A．
4.A
【解析】向量a=sinα,−csα，b=1,−1，
若a⊥b，则sinα+csα=0，所以tanα=sinαcsα=−1．
故选：A
5.D
【解析】解：连接 AD′ ，如图
因为CD//AB，
所以直线 BD′ 与 DC 所成的角为 ∠ABD′
由题可知： AB⊥AD′ ，
由 AB=AD=2 ， AA′=1
得 BD′= 22+12+22=3 ，所以 cs∠ABD′=ABBD′=23
故选：D
6.B
【解析】解：如图所示：
设它们的底面半径均为r，圆锥的母线长为l，则2πr· 3=πrl，
解得l=2 3，
在圆锥中，r= l2− 32= 2 32−3=3，
则圆锥的体积为13π·32× 3=3 3π．
7.C
【解析】方法一：如图1，以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(1,0)).
设P(x,y)，则AP=(x,y).因为AB=(1,0)，所以AP⋅AB=x．
由题意知，圆O的半径r= 22.因为点P在弧BC(包括端点)上，
所以1≤x≤12+ 22，所以AP⋅AB的取值范围是1,1+ 22．
方法二：如图2，连接AC,CP.易知∠BAC=π4，
设∠PAB=θ,0≤θ≤π4，则∠PAC=π4−θ．
由已知可得|AB|=1,|AC|= 2,∠APC=π2，所以|AP|=|AC|cs∠PAC= 2csπ4−θ，
所以AP⋅AB=|AP||AB|csθ= 2csπ4−θcsθ= 2 22csθ+ 22sinθcsθ
=csθ+sinθcsθ=cs2θ+sinθcsθ=1+cs2θ2+sin2θ2=12+ 22sin2θ+π4．
因为0≤θ≤π4，所以π4≤2θ+π4≤3π4，所以 22≤sin2θ+π4≤1，
所以1≤12+ 22sin2θ+π4≤1+ 22，即AP⋅AB的取值范围是1,1+ 22．
故选：C．
8.B
【解析】如图所示，设观赏者眼睛出为点C，画的上沿为点A，下沿为点B，
过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，则∠ADC=90∘，
当▵ABC的外接圆(即为圆⊙O)与CD切于点C时，观赏者观赏的角度最大，即∠ACB最大，
线段CD的长度为警戒线距墙的长度，
由题设知：AD=3m,BD=1m，则AB=3−1=2m，
过点O作OE⊥AB于点E，连接OC,OB，
如图所示，则∠OEB=90∘，且BE=12AB=1m，
所以DE=BD+BE=1+1=2m，所以⊙O与CD切于点C，所以OC⊥CD，
所以∠OCD=90∘=∠ADC=∠OEB，所以四边形OCDE为矩形，
可得OC=DE=2m，且CD=OE，所以OB=OC=2m，
在直角▵OBE中，由勾股定理得OE= OB2−BE2= 22−12= 3m，
所以CD=OE= 3m，即警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙 3米远处最合适．
故选：B．
9.ABC
【解析】对于A选项，如图所示，l//α，l⊥m，此时l//α，故 A错误；
对于B选项，如图所示，α//β，m//α，此时m⊂β，故 B错误；
对于C选项，如图所示，l//α，m//α，此时l⊥m，故 C错误；
对于D选项，l//β，则面β内一定可以找一条直线n，使得l//n，又l⊥α，则n⊥α,n⊂β，则α⊥β，故 D正确．
故选：ABC．
10.BD
【解析】由图象得A=2，π3−π12=T4，解得T=π，所以fx的最小正周期为π，故 A错；
T=2πω=π，则ω=2，将π12,2代入fx=2sin2x+φ中得2=2sinπ6+φ，
则π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，解得φ=π3+2kπ，k∈Z，
因为φ