2024年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学模拟测试题（三）

这是一份2024年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学模拟测试题（三），共16页。试卷主要包含了5B， 《九章算术》中有一题， 计算等内容，欢迎下载使用。

中考预测卷（数学） 密押卷（三）
注意事项：
1. 全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟.
2. 在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回.
3. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4. 请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效.
5. 保持答题卡清洁，不得有折叠、污染、破损等.
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，把序号涂在答题卡上）
1. 的倒数是（ ）
A. B. －2.5C. D.
2. 天府绿道位于四川省成都市境内，规划总长约16900000m，建成后将是世界上规模最大的绿道系统，也是天府文化底蕴的现代展示.将数据“16900000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在四边形ABCD中，，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 为了解学生的体质健康水平，国家每年都会进行中小学生体质健康测试和抽测复核.在某次抽测复核中，某校九（1）班10名男生引体向上测试的成绩（单位：个）如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9.这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 11，10.5B. 10.5，11C. 10，10.5D. 11，9
6. 在平面直角坐标系中，点，关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛.问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问：大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C.有下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y的值随x值的增大而减小；⑤（m为任意实数）.其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 计算：______.
10. 点，都在反比例函数的图象上，则______.（填“＞”或“＜”）
11. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，以原点O为位似中心将进行放缩.若放缩后点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为______.
12. 分式方程的解为______.
13. 如图，在中，按下列步骤作图：①以点D为圆心、适当的长为半径作弧，分别交DA，DC于点M，N；②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线DO，交AB于点E.若，，则的周长为______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14.（本小题满分12分，每题6分）
（1）计算：；
（2）解不等式组：.
15.（本小题满分8分）
6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛.该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题.
（1）这次抽样调查共抽取______人，并将条形统计图补充完整；
（2）该校有1500名学生，估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的总人数；
（3）学校要从答题成绩为A等级的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“环境知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率.
16.（本小题满分8分）
某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中，，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为，BP段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度PC.（结果精确到1m.参考数据：，，）
17.（本小题满分10分）
如图，在中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连接BD交CF于点G，连接AC，DC，过点C的切线交AB的延长线于点H.
（1）求证：；
（2）若的半径为6，，求AH的长.
18.（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，.将直线AB绕点A顺时针旋转交y轴于点M，连接BM.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若，求点M的坐标；
（3）当是以AM为腰的等腰三角形时，求的值.
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 若a是的小数部分，则的值为______.
20. 已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为______.
21. 如图，在中，，，D是AB的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形DEF，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径DE，DF分别与AC，BC相交于点G，H，则阴影部分的面积为______.
22. 如图，在菱形ABCD中，，将菱形折叠，使得点D落在边AB的中点M处，折痕为EF，则的值为______.
23. 定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b（）的平方差，即，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”.例如：，，36就是一个“双方数”.若将“双方数”从小到大排列，前3个“双方数”的和为______；第100个“双方数”为______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24.（本小题满分8分）
龙泉驿水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点，素有“天下第一桃”的美誉.某商家在龙泉驿以8元/kg的价格收购了一批水蜜桃后出售，售价不低于10元/kg，不超过30元/kg.该商家对销售情况进行统计后发现，日销售量y（kg）与售价x（元/kg）之间的函数关系如图所示.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设日销售利润为W元，当销售价格定为多少时，日销售利润最大？最大是多少？
25.（本小题满分10分）
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足.
图1 图2 备用图
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段MN的中点
①连接OD，CD，当取最小值时，求b的值；
②在坐标平面内，以线段MN为边向左侧作正方形MNQP，当正方形MNQP有三个顶点在抛物线上时，求正方形MNQP的面积.
26.（本小题满分12分）
如图1，在正方形ABCD中，，P是边AD上的一点，连接CP，过点D作于点H，在边DC上有一点E，连接HE，过点H作，交边BC于点F.
图1 图2 图3
（1）求证：；
（2）如图2，连接EF，交线段PC于点G，当为等边三角形时，求DE的长；
（3）如图3，设M是DC的中点，连接BM，分别交线段HF，EF于点K，N，当P是AD的中点时，在边DC上是否存在点E，使得？若存在，求此时DE的长；若不存在，请说明理由.
2024年成都市高中阶段教育学校统一招生
暨初中学业水平考试
中考预测卷（数学） 密押卷（三）
1. C 【解析】，的倒数是.故选C.
2. B 【解析】.故选B.
3. D 【解析】与不是同类项，不能合并，A选项错误.，B选项错误.，C选项错误.，D选项正确.故选D.
4. D 【解析】由，，不能判定四边形ABCD为平行四边形，A选项不符合题意.由，，不能判定四边形ABCD为平行四边形，B选项不符合题意.∵，∴.∴不能判定四边形ABCD为平行四边形.C选项不符合题意.∵，∴.∵，∴.∴.又∵，∴四边形ABCD是平行四边形.D选项符合题意.故选D.
5. A 【解析】这组数据中，11出现的次数最多，故众数为11.把这组数据从小到大排列后是6，7，9，10，10，11，11，11，11，14，排在中间的数为10和11，故中位数为.故选A.
6. D 【解析】∵点，关于x轴对称，∴.∵将点B向左平移3个单位长度得到点C，∴.故选D.
7. C 【解析】根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，列出关于x，y的二元一次方程组，即.故选C.
8. B 【解析】∵抛物线开口向上，∴.∵抛物线与x轴交于点，，∴对称轴为直线.故②正确.∵.∴.∵抛物线与y轴的交点在负半轴上，∴.∴，故①错误.由图象可知，当时，，∴当时，，故③错误.由图象可知，当时，y的值随x值的增大而增大，故④错误.∵且抛物线的对称轴为直线，∴当时，函数有最小值.∴当m为任意实数时，.∴，故⑤正确.综上所述，说法正确的是②⑤，共2个.故选B.
9. 【解析】原式.故答案为.
10. ＞ 【解析】点，在反比例函数的第一象限图象上，y的值随x值的增大而减小，∵，∴.故答案为＞.
11. 【解析】从点A的变化可以看出，位似变换将点A的横、纵坐标都乘2，∴点B应发生相同的变化.∴点B的对应点的坐标为.故答案为.
12. 【解析】去分母，得.解得.经检验，是分式方程的解.故答案为.
13. 28 【解析】由题意可知，DE是的平分线，∴.在中，∵，∴.∴.∴.∵，∴.又∵，∴.∴的周长为.故答案为28.
14.（1）解：原式……（4分）
.……（6分）
（2）解：.
解不等式①，得.……（8分）
解不等式②，得.……（10分）
∴原不等式组的解集为.……（12分）
15.（1）50 【解析】由统计图可知，这次抽样调查共抽取（人）.故答案为50.……（1分）
解：等级为A的有（人），补充完整的条形统计图如图所示.
……（3分）
（2）解：（人），
即估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的共有840人.……（5分）
（3）解：根据题意，画树状图如下：
……（6分）
由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的结果有2种，…（7分）
∴P（抽出的两名学生恰好是甲和丁）.……（8分）
16. 解：如图，过点B作，垂足为D，过点B作，垂足为E，则四边形BDCE是矩形.∴.在中，，，∴.……（3分）
∴.……（4分）
在中，，，
∴.……（6分）
∴.……（7分）
∴垂直高度PC约为305m.……（8分）
17.（1）证明：如图，连接BC.∵C，D是的三等分点，∴.∴.∴C是的中点.又∵EC是的直径，∴.∴.∵，∴.
∴为等腰三角形.……（3分）
∵，∴.……（4分）
（2）解：如图，连接OB.∵，，∴.∴.∴.在中，，，∴.……（5分）
在中，，，∴.……（6分）
∵CH是的切线，∴.由（1）知，，∴.∵，∴BG是的中位线.∴，B是FH的中点.∴，.……（8分）
∵，∴.∵，∴.
又∵，∴.……（9分）
∴，即.∴.……（10分）
18. 解：（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴.∴反比例函数的表达式为.……（1分）
∵点在反比例函数的图象上，∴.∴.∴.
将，代入一次函数表达式，得.解得.
∴一次函数的表达式为.……（3分）
（2）如图1，设一次函数的图象与y轴相交于点C，∴.设点M的坐标为，∴.∴.解得.∴点M的坐标为.……（6分）
图1
（3）①当时，如图2，过点M作，垂足为G，则MG垂直平分AB.∵G为AB中点.∵，，∴.∴.由题意可设直线MG的函数表达式为.代入，得.∴.∴直线MG的函数表达式为.∴点M与坐标原点O重合，即.∴.
∴.……（8分）
图2
②当时，如图3，过点M作，垂足为H，过点A作轴，垂足为N，则，.∵，，∴.∴.在中，，，∴.∴.由题意可设直线MH的函数表达式为.代入，得.∴.∴直线MH的函数表达式为.联立.解得.∴.∴，.∴.……（10分）
综上所述，当是以AM为腰的等腰三角形时，的值为或.
图3
19. 【解析】∵，∴.∴.故答案为.
20. 【解析】∵m是一元二次方程的根，∴，即.将其代入，得，即.∵m，n是一元二次方程的两根，∴，.将其代入，得.解得.故答案为.
21. 【解析】如图，连接CD，过点D作于点M，过点D作于点N，则.∵，∴，，四边形DMCN是矩形.∵，D是AB的中点，∴.∴四边形DMCN是正方形.∴，.由题可知，，∴.在与中，，∴.∴.∵.∴.故答案为.
22. 【解析】如图，过点E作，交BA的延长线于点G，过点E作于点H，过点F作，交AB于点I，设菱形ABCD的边长为4a，.在菱形ABCD中，，.∴.∴，.由折叠的性质，得.∴.在中，由勾股定理，得，即.解得.∴.易证，∴.又∵，，∴.故答案为.
23. 140 158404 【解析】设，，n为大于0的自然数，则.要使M是“双方数”，则必须是一个正整数的平方.设.∵n为大于0的自然数，∴是一个奇数.∴k为奇数.∴.
∴当时，（第1个“双方数”）；
当时，（第2个“双方数”）；
当时，（第3个“双方数”）.
∴前3个“双方数”的和为.根据以上规律，当M是第100个“双方数”时，，此时.故答案为140，158404.
24. 解：（1）设y与x之间的函数关系式为.由所给函数图象可知，图象经过点，，∴.解得.∴y与x之间的函数关系式为.……（3分）
（2）∵，∴.……（5分）
∵，∴当时，W的值随x值的增大而增大.……（6分）
∴当时，W取得最大值，最大值为.……（7分）
∴当销售价格定为30元/kg时，日销售利润最大，最大是2640元.……（8分）
25. 解：（1）∵，∴，，.设抛物线的表达式为.将代入，得.……（2分）
∴抛物线的函数表达式为，即.……（3分）
（2）①联立.整理，得.设，.由根与系数的关系，得.∵点D是MN的中点，∴点D的横坐标为.将代入，得.∴点D在直线上运动，且.……（4分）
如图1，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长.设直线的函数表达式为，将，代入，得.解得.∴直线的函数表达式为，令，得.∴.将点代入，得.……（6分）
图1
②（ⅰ）当点P在抛物线上时，如图2，过点M作直线l平行于x轴，过点P，N分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H.设点M，N，P的横坐标分别为m，n，p.由①知，，∴.∴.同理可得，即.∴.易证，∴，.∵直线MN的函数表达式为，∴.∴，即.∴.∴，.∴.……（8分）
图2
（ⅱ）当点Q在抛物线上时，如图3，过点N作直线l平行于y轴，过点Q，M分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H.设点M，N，Q的横坐标分别为m，n，q.由①知，，，∴，.∴，.易证，∴，.∵直线MN的函数表达式为，∴.∴，即.∴.∴，.∴.……（10分）
综上所述，正方形MNQP有三个顶点在抛物线上时，正方形MNQP的面积为或.
图3
26.（1）证明：在正方形ABCD中，，即.又∵，∴.∴.∴.∵，∴.∴.∴.∴.∴.……（3分）
（2）解：设，则.∵是等边三角形，∴.∴.∴.由（1）可知，，∴.……（4分）
∴.在等边三角形FGC中，，∴.∴.∴.解得.∴.……（6分）
（3）解：如图，连接HM，HN.由（1）可知，，∴.∵P是AD的中点，且在正方形ABCD中，，∴.∴.设，则，∵M是DC的中点，∴.又∵，∴.∴，即.∵M是DC的中点，，∴.∴.∵，∴.又∵，，∴.∴H，E，M，N四点共圆.∴.∴.∴.……（8分）
在中，由勾股定理，得.∵，∴.∴.∴，即.∵H，E，M，N四点共圆，∴.∴.又∵，即，∴.∴.∵，∴.又∵，∴.∴.……（10分）
若，则，∴，即.∴.∵（已证），∴，即.∵，，∴在中，.在中，，∴.由，得.整理，得.解得，（舍去）.∴存在点E，使得，此时.……（12分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
D
A
D
C
B