新高考数学一轮复习专题三导数及其应用微专题一隐零点问题练习含答案

这是一份新高考数学一轮复习专题三导数及其应用微专题一隐零点问题练习含答案，共5页。试卷主要包含了已知函数f=ex-1-ln x等内容，欢迎下载使用。
(1)若曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为x+y=0,求实数a的值;
(2)若a=32,求函数f(x)在区间0,π2上的最大值.
解析 (1)因为f(x)=exsin x-ax,
所以f '(x)=ex(sin x+cs x)-a,所以f '(0)=1-a.
因为曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为x+y=0,
所以f '(0)=-1,所以1-a=-1,所以a=2.
(2)当a=32时,令h(x)=f '(x)=ex(sin x+cs x)-32,
h'(x)=ex(sin x+cs x+cs x-sin x)=2excs x,
当x∈0,π2时,h'(x)≥0,h(x)单调递增,
又h(0)=1-32=-12e-32>0,
所以存在唯一的x0∈0,π2,使得h(x0)=0,
当x∈[0,x0)时,h(x)0, f(x)单调递增.
又f(0)=0, fπ2=eπ2-3π4>e-104=e-2.5>0,
所以f(x)max=fπ2=eπ2-3π4.
2.(2024辽宁抚顺一模,19)已知函数f(x)=xex+1-ax2-2ax.
(1)当a=12时,判断f(x)的单调性;
(2)若x∈(0,+∞)时, f '(x-1)≥1+ln x-x恒成立,求实数a的取值范围.
解析 (1)函数f(x)的定义域为R, f '(x)=ex+1+xex+1-2ax-2a=(x+1)(ex+1-2a),
当a=12时, f '(x)=(x+1)(ex+1-1).
当x+1≥0时,有ex+1-1≥0,得f '(x)≥0,函数f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增;
当x+10,则g'(x)=x2ex+lnxx2.
令h(x)=x2ex+ln x,x>0,则h'(x)=(x2+2x)ex+1x>0,
所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
因为h(1)=e>0,h12=14e12-ln 20,函数g(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.
又因为h(x0)=x02ex0+ln x0=0,
即x0ex0=-lnx0x0=-1x0ln x0=−e−lnx0ln x0.(*)
设m(x)=xex,当x>0时,m'(x)=(x+1)ex>0,所以m(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为x0∈12,1,所以x0>0,-ln x0>0,
由(*)知m(x0)=m(-ln x0),所以x0=-ln x0,即ex0=1x0.
所以g(x)min=g(x0)=x0ex0−1−lnx0+x0x0=1−1+x0+x0x0=2.
所以2a≤2,即a≤1,故实数a的取值范围为(-∞,1].
3.(2024江西赣州一模,19)已知函数f(x)=ex-1-ln x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)已知m>0.若函数g(x)=f(x)-m(x-1)有唯一的零点x0.证明:10,
∴当x>0时,l(x)即f '(x)为增函数,
又∵f '(1)=0,
∴当x∈(0,1)时, f '(x)0,m>0),
由(1)可知g'(x)在(0,+∞)上单调递增,且g'(1)=-m0,g(x)单调递增,
∴g(x)min=g(t)=et-1-ln t-mt+m.
若g(x)=ex-1-ln x-mx+m=0有唯一的实数解x0,则x0=t>1,∴g'(t)=et−1−1t−m=0,g(t)=et−1−lnt−mt+m=0,
消去m可得(2-t)et-1-ln t+1-1t=0(t>1),
令h(t)=(2-t)et-1-ln t+1-1t(t>1),
则h'(t)=(1-t)et-1-1t+1t2=(1-t)et−1+1t20,h(2)=12-ln 20,所以x+1x3>0,
设φ(x)=x−2x+1ex+m,x>0,由(1)得φ(x)=x−2x+1ex+m在(0,+∞)上单调递增,
又0≤m