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新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计微专题一概率与函数综合问题练习课件
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这是一份新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计微专题一概率与函数综合问题练习课件，共19页。
1.(2024湖南邵阳第二次联考,16)为了选拔创新型人才,某大学对高三年级学生的数学 学科和物理学科进行了检测(检测分为初试和复试),共有4万名学生参加初试.组织者 随机抽取了200名学生的初试成绩,绘制了频率分布直方图,如图所示.(1)根据频率分布直方图,求a的值及样本平均数的估计值;(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本平均数的估计值,σ =10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试,试估计能参加复试的人数;(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题,已知小明进入了复试,且在复试笔试 中答对每一道数学题的概率均为x,答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为 ,
答对两道题的概率为P,求概率P的最小值.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) ≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解析 (1)∵10×(0.012+0.026+0.032+a+0.010)=1,∴a=0.02.样本平均数的估计值为50×0.12+60×0.26+70×0.32+80×0.2+90×0.1=69.(2)∵μ=69,σ=10.5,∴P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)≈ =0.022 75.∴能参加复试的人数约为40 000×0.022 75=910.(3)由题意有x2y= .答对两道题的概率P=x2(1-y)+ x(1-x)y=x2+2xy-3x2y=x2+ - .
令f(x)=x2+ - (00, f(x)在 内单调递增.∴当x= 时, f(x)min= .故概率P的最小值为 .
2.(2024湖北武汉汉阳部分学校一模,17)某校为了丰富课余活动,同时训练学生的逻辑 思维能力,在高中三个年级举办中国象棋比赛,经过各年级初赛,高一、高二、高三分 别有3人,4人,5人进入决赛,决赛采取单循环方式,即每名队员与其他队员都要进行1场 比赛(每场比赛都采取5局3胜制,初赛、决赛的赛制相同,记分方式相同),最后根据积分 选出冠军,积分规则如下:比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分,失败的队员积0分;而 在比赛中以3∶2取胜的队员积2分,失败的队员积1分.(1)从进入决赛的12人中随机抽取2人进行表演赛,这2人恰好来自不同年级的概率是多少?(2)初赛时,高三甲、乙两同学对局,设每局比赛甲取胜的概率均为p(00,即f(p)单调递增,则p= 时, f(p)取得最大值.由题意可知X的可能取值为3,2,1,0,
则P(X=3)= + × × = ,P(X=2)= × × × = ,P(X=1)= × × × = ,P(X=0)= + × × × = ,则X的分布列为
所以E(X)=0× +1× +2× +3× = .
3.(2024浙江杭州二模,19)在概率统计中,常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球 和白球,有放回地随机摸球n次,红球出现m次.假设每次摸出红球的概率为p,根据频率 估计概率的思想,则每次摸出红球的概率p的估计值为 = .(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸 取3个球,设摸出的球为红球的次数为Y,则Y~B(3,p).(注:Pp(Y=k)表示当每次摸出红球的概率为p时,摸出红球次数为k的概率)(i)完成下表:
(ii)在统计理论中,把使得Pp(Y=k)的取值达到最大时的p,作为p的估计值,记为 ,请写出 的值.(2)把(1)中“使得Pp(Y=k)的取值达到最大时的p作为p的估计值 ”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤:先对参数θ构建对数似然函数l(θ),再对其关于参数θ求导,得到似然方程l'(θ)= 0,最后求解参数θ的估计值.已知Y~B(n,p)的参数p的对数似然函数为l(p)= Xiln p+ (1-Xi)ln(1-p),其中Xi= 求参数p的估计值,并且说明频率估计概率的合理性.
解析 (1)因为袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3,且Y~B(3,p),所以p的值为 或 .(i)当p= 时, (Y=1)= p1(1-p)2= , (Y=2)= p2(1-p)= ,当p= 时, (Y=0)= p0(1-p)3= , (Y=2)= p2·(1-p)= ,
(ii)由(i)中表可知Pp(Y=k)= pk(1-p)3-k.当Y=0或1时,参数p= 的概率最大;当Y=2或3时,参数p= 的概率最大.所以 = (2)对l(p)= Xiln p+ (1-Xi)ln(1-p)求导得l'(p)= Xi- (1-Xi),令 Xi- (1-Xi)=0,即 = = = -1,
故p= Xi,即当p∈ 时,l'(p)>0,当p∈ 时,l'(p)<0,故l(p)在 上单调递增,在 上单调递减,即当p= Xi时,l(p)取最大值,故 = Xi.因此,用最大似然估计的参数 与频率估计概率的 是一致的,故用频率估计概率是合理的.
4.(2024广东广州一模,19)某校开展科普知识团队接力闯关活动,该活动共有两关,每个 团队由n(n≥3,n∈N*)位成员组成,成员按预先安排的顺序依次上场,具体规则如下:若 某成员第一关闯关成功,则该成员继续闯第二关,否则该成员结束闯关并由下一位成 员接力去闯第一关;若某成员第二关闯关成功,则该团队接力闯关活动结束,否则该成 员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关;当第二关闯关成功或所有成员全部上场 参加了闯关,该团队接力闯关活动结束.已知某团队每位成员闯过第一关和第二关的 概率分别为 和 ,且每位成员闯关是否成功互不影响,每关结果也互不影响.(1)若n=3,用X表示该团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数,求X的均值;(2)记该团队第k(1≤k≤n-1,k∈N*)位成员上场且闯过第二关的概率为pk,集合 k∈N*
pk< 中元素的最小值为k0,规定团队人数n=k0+1,求n.
解析 (1)依题意,知X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)= × = ,P(X=2)= × + × × = ,P(X=3)=1- - = ,所以X的分布列为
数学期望E(X)=1× +2× +3× = .(2)由题意第k(1≤k≤n-1,k∈N*)位成员上场且闯过第二关的概率为pk.依据“哪位成员成功闯过第一关”对所求事件A:“团队第k位成员上场闯过第二关” 进行分类,记“第i(1≤i≤k)位成员成功闯过第一关且第k位成员闯过第二关”为事件 Ai,则A=Ak+Ak-1+…+A1,A1表示第1位成员成功闯过第一关,且第1~(k-1)位成员均没有闯 过第二关,最后由第k位成员闯过第二关,则P(A1)= · · = · ,同理,P(A2)= · · · = · ,
P(A3)= · · · = · ,……Ai表示第1~(i-1)位成员没有闯过第一关,由第i位成员闯过第一关,然后第i~(k-1)位成员 均没有闯过第二关,最后第k位成员闯过第二关,则P(Ai)= · · · = · ,……Ak-1表示第1~(k-2)位成员没有闯过第一关,然后第(k-1)位成员闯过第一关,没有闯过第 二关,最后第k位成员闯过第二关,则P(Ak-1)= · · · = · ,
Ak表示第1~(k-1)位成员没有闯过第一关,然后第k位成员接连闯过第一关和第二关,则P(Ak)= · · = · .因为A1,A2,…,Ak-1,Ak两两互斥,所以pk=P(A)= P(Ai)= · + · + · +…+ · +…+ · = = · ,
1.(2024湖南邵阳第二次联考,16)为了选拔创新型人才,某大学对高三年级学生的数学 学科和物理学科进行了检测(检测分为初试和复试),共有4万名学生参加初试.组织者 随机抽取了200名学生的初试成绩,绘制了频率分布直方图,如图所示.(1)根据频率分布直方图,求a的值及样本平均数的估计值;(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本平均数的估计值,σ =10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试,试估计能参加复试的人数;(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题,已知小明进入了复试,且在复试笔试 中答对每一道数学题的概率均为x,答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为 ,
答对两道题的概率为P,求概率P的最小值.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) ≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解析 (1)∵10×(0.012+0.026+0.032+a+0.010)=1,∴a=0.02.样本平均数的估计值为50×0.12+60×0.26+70×0.32+80×0.2+90×0.1=69.(2)∵μ=69,σ=10.5,∴P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)≈ =0.022 75.∴能参加复试的人数约为40 000×0.022 75=910.(3)由题意有x2y= .答对两道题的概率P=x2(1-y)+ x(1-x)y=x2+2xy-3x2y=x2+ - .
令f(x)=x2+ - (0
2.(2024湖北武汉汉阳部分学校一模,17)某校为了丰富课余活动,同时训练学生的逻辑 思维能力,在高中三个年级举办中国象棋比赛,经过各年级初赛,高一、高二、高三分 别有3人,4人,5人进入决赛,决赛采取单循环方式,即每名队员与其他队员都要进行1场 比赛(每场比赛都采取5局3胜制,初赛、决赛的赛制相同,记分方式相同),最后根据积分 选出冠军,积分规则如下:比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分,失败的队员积0分;而 在比赛中以3∶2取胜的队员积2分,失败的队员积1分.(1)从进入决赛的12人中随机抽取2人进行表演赛,这2人恰好来自不同年级的概率是多少?(2)初赛时,高三甲、乙两同学对局,设每局比赛甲取胜的概率均为p(0
则P(X=3)= + × × = ,P(X=2)= × × × = ,P(X=1)= × × × = ,P(X=0)= + × × × = ,则X的分布列为
所以E(X)=0× +1× +2× +3× = .
3.(2024浙江杭州二模,19)在概率统计中,常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球 和白球,有放回地随机摸球n次,红球出现m次.假设每次摸出红球的概率为p,根据频率 估计概率的思想,则每次摸出红球的概率p的估计值为 = .(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸 取3个球,设摸出的球为红球的次数为Y,则Y~B(3,p).(注:Pp(Y=k)表示当每次摸出红球的概率为p时,摸出红球次数为k的概率)(i)完成下表:
(ii)在统计理论中,把使得Pp(Y=k)的取值达到最大时的p,作为p的估计值,记为 ,请写出 的值.(2)把(1)中“使得Pp(Y=k)的取值达到最大时的p作为p的估计值 ”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤:先对参数θ构建对数似然函数l(θ),再对其关于参数θ求导,得到似然方程l'(θ)= 0,最后求解参数θ的估计值.已知Y~B(n,p)的参数p的对数似然函数为l(p)= Xiln p+ (1-Xi)ln(1-p),其中Xi= 求参数p的估计值,并且说明频率估计概率的合理性.
解析 (1)因为袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3,且Y~B(3,p),所以p的值为 或 .(i)当p= 时, (Y=1)= p1(1-p)2= , (Y=2)= p2(1-p)= ,当p= 时, (Y=0)= p0(1-p)3= , (Y=2)= p2·(1-p)= ,
(ii)由(i)中表可知Pp(Y=k)= pk(1-p)3-k.当Y=0或1时,参数p= 的概率最大;当Y=2或3时,参数p= 的概率最大.所以 = (2)对l(p)= Xiln p+ (1-Xi)ln(1-p)求导得l'(p)= Xi- (1-Xi),令 Xi- (1-Xi)=0,即 = = = -1,
故p= Xi,即当p∈ 时,l'(p)>0,当p∈ 时,l'(p)<0,故l(p)在 上单调递增,在 上单调递减,即当p= Xi时,l(p)取最大值,故 = Xi.因此,用最大似然估计的参数 与频率估计概率的 是一致的,故用频率估计概率是合理的.
4.(2024广东广州一模,19)某校开展科普知识团队接力闯关活动,该活动共有两关,每个 团队由n(n≥3,n∈N*)位成员组成,成员按预先安排的顺序依次上场,具体规则如下:若 某成员第一关闯关成功,则该成员继续闯第二关,否则该成员结束闯关并由下一位成 员接力去闯第一关;若某成员第二关闯关成功,则该团队接力闯关活动结束,否则该成 员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关;当第二关闯关成功或所有成员全部上场 参加了闯关,该团队接力闯关活动结束.已知某团队每位成员闯过第一关和第二关的 概率分别为 和 ,且每位成员闯关是否成功互不影响,每关结果也互不影响.(1)若n=3,用X表示该团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数,求X的均值;(2)记该团队第k(1≤k≤n-1,k∈N*)位成员上场且闯过第二关的概率为pk,集合 k∈N*
pk< 中元素的最小值为k0,规定团队人数n=k0+1,求n.
解析 (1)依题意,知X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)= × = ,P(X=2)= × + × × = ,P(X=3)=1- - = ,所以X的分布列为
数学期望E(X)=1× +2× +3× = .(2)由题意第k(1≤k≤n-1,k∈N*)位成员上场且闯过第二关的概率为pk.依据“哪位成员成功闯过第一关”对所求事件A:“团队第k位成员上场闯过第二关” 进行分类,记“第i(1≤i≤k)位成员成功闯过第一关且第k位成员闯过第二关”为事件 Ai,则A=Ak+Ak-1+…+A1,A1表示第1位成员成功闯过第一关,且第1~(k-1)位成员均没有闯 过第二关,最后由第k位成员闯过第二关,则P(A1)= · · = · ,同理,P(A2)= · · · = · ,
P(A3)= · · · = · ,……Ai表示第1~(i-1)位成员没有闯过第一关,由第i位成员闯过第一关,然后第i~(k-1)位成员 均没有闯过第二关,最后第k位成员闯过第二关,则P(Ai)= · · · = · ,……Ak-1表示第1~(k-2)位成员没有闯过第一关,然后第(k-1)位成员闯过第一关,没有闯过第 二关,最后第k位成员闯过第二关,则P(Ak-1)= · · · = · ,
Ak表示第1~(k-1)位成员没有闯过第一关,然后第k位成员接连闯过第一关和第二关,则P(Ak)= · · = · .因为A1,A2,…,Ak-1,Ak两两互斥,所以pk=P(A)= P(Ai)= · + · + · +…+ · +…+ · = = · ,
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