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新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计微专题二概率与数列综合问题练习课件
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这是一份新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计微专题二概率与数列综合问题练习课件，共17页。
1.(2024广东湛江一模,17)甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格,第2格,……,第25格,棋 子开始在第1格,盒中有5个大小相同的小球,其中3个红球,2个白球(5个球除颜色外都 相同).每次甲在盒中随机摸出两球,记下颜色后放回盒中,若两球颜色相同,棋子向前跳 1格;若两球颜色不同,棋子向前跳2格,直到棋子跳到第24格或第25格时,游戏结束.记棋 子跳到第n格的概率为Pn(n=1,2,3,…,25).(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望;(2)证明:数列{Pn-Pn-1}(n=2,3,…,24)为等比数列.
解析 (1)根据题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)= = ,P(X=1)= = = ,P(X=2)= = .可得X的分布列为
所以E(X)=0× +1× +2× = .(2)证明:由(1)知两球颜色相同的概率为 ,颜色不同的概率为 .棋子在第1格为必然事件,则P1=1,棋子跳到第2格的概率为P2= ,所以P2-P1=- ,当3≤n≤24时,Pn= Pn-1+ Pn-2,所以5(Pn-Pn-1)=-3(Pn-1-Pn-2),所以 =- ,所以数列{Pn-Pn-1}是以- 为首项,- 为公比的等比数列.
2.(2024甘肃二诊,18)民间谚语“杨柳儿活,抽陀螺;杨柳儿青,放空钟;杨柳儿死,踢毽 子”,体现随着季节变化,可以进行不同的健身活动,其中踢毽子在我国流传很广,有着 悠久的历史.据考证,踢毽子起源于中国汉代,盛行于六朝、隋、唐.某市高中学校为弘 扬传统文化,增强学生身体素质,在高一年级开展了“人人参与”“团队竞赛”的踢 毽子活动.在“人人参与”的环节中记录高一年级700名学生每人每分钟踢毽子的次 数,从中抽取100名学生的成绩进行统计,如图所示,得到样本的频率分布直方图.将踢 毽子每分钟次数样本数据第60百分位数(精确到1),记为“达标”的指标界值.(1)请根据样本数据,求高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值;(2)“团体竞赛”规则为,每班选出由3名选手组成的代表队参赛,上场的甲、乙、丙3
人,由甲将毽子等可能地踢给另外两人中的1人,接到毽子的人再等可能地踢向另外两 人中的1人,如此不停地传下去,直到有选手没有接到毽子则比赛结束,记录此时的传踢 个数作为团队成绩.记第i(i∈N*)次传踢之前毽子在甲的概率为ai,易知a1=1,a2=0.求第6 次传踢前,毽子传到甲的概率a6,并讨论第i次传踢前(i∈N*,且i≥3)毽子在甲、乙、丙三 人中哪一人的概率最大.
解析 (1)设高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值为x,分析得x∈[45,50),依题意有(x-45)×0.06=0.6-(0.01+0.024+0.036+0.040)×5,即x=45+ ≈46.(2)设第i次传踢之前毽子在乙、丙的概率为bi,ci,由传递的对称性知bi=ci,又ai+bi+ci=1,则有bi=ci= ,ai+1= × + × = ,所以ai+1=- + ,即有ai+1- =- (i∈N*),所以 为等比数列,其中首项为a1- = ,公比为- ,即ai- = ,
所以ai= + (i∈N*),a6= ,i为偶数时,ai< ,bi=ci> ,毽子在乙、丙的概率较大,i为奇数时,ai> ,bi=ci< ,毽子在甲的概率较大.
3.(2024安徽皖南八校联考,18)现有甲、乙两个不透明盒子,都装有1个红球和1个白球, 这些球的大小、形状、质地完全相同.(1)若从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中,n(n∈N*)次这样的操 作后,记甲盒子中红球的个数为Xn.求X1的分布列与数学期望;(2)现从甲中有放回地抽取n(n≥3)次,每次抽取1球,若在抽取次数不超过n次的情况下, 抽取到2次红球,则停止抽取,一直抽取不到2次红球,第n次抽取完也停止抽取,令抽取 停止时,抽取的次数为Y(Y=2,3,4,…,n),求Y的数学期望E(Y).并证明:E(Y)- ≤ .
解析 (1)由题意可知X1的所有可能取值为0,1,2,且P(X1=0)= × = ,P(X1=1)= × + × = ,P(X1=2)= × = ,X1的分布列如下:
E(X1)=0× +1× +2× =1.(2)当Y
(i)求P(X=k)(k∈N*)的表达式;(ii)推导该植物寿命的期望E(X).附:相关系数r= .
解析 (1)由 =45, =8 000, (xi- )(yi- )=480,
得相关系数r= = =0.8.(2)(i)依题意,P(X=1)=P(X=k+1|X>k)=0.1,又P(X=k+1|X>k)= ,则P(X=k+1)=0.1P(X>k)①,当k≥2时,把k换成k-1,得P(X=k)=0.1P(X>k-1)②,①-②,得P(X=k)-P(X=k+1)=0.1P(X=k),
即 =0.9(k≥2),又P(X=2)=0.1P(X>1)=0.1×(1-P(X=1))=0.9P(X=1),于是 =0.9对任意k∈N*都成立,从而{P(X=k)}是首项为0.1,公比为0.9的等比数列,所以P(X=k)=0.1×0.9k-1.(ii)由定义知,E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+…+kP(X=k)=0.1×0.90+0.2×0.91+…+0.1×(k-1)×0.9k-2+0.1×k×0.9k-1=0.1[0.90+2×0.91+…+(k-1)×0.9k-2+k×0.9k-1],
1.(2024广东湛江一模,17)甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格,第2格,……,第25格,棋 子开始在第1格,盒中有5个大小相同的小球,其中3个红球,2个白球(5个球除颜色外都 相同).每次甲在盒中随机摸出两球,记下颜色后放回盒中,若两球颜色相同,棋子向前跳 1格;若两球颜色不同,棋子向前跳2格,直到棋子跳到第24格或第25格时,游戏结束.记棋 子跳到第n格的概率为Pn(n=1,2,3,…,25).(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望;(2)证明:数列{Pn-Pn-1}(n=2,3,…,24)为等比数列.
解析 (1)根据题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)= = ,P(X=1)= = = ,P(X=2)= = .可得X的分布列为
所以E(X)=0× +1× +2× = .(2)证明:由(1)知两球颜色相同的概率为 ,颜色不同的概率为 .棋子在第1格为必然事件,则P1=1,棋子跳到第2格的概率为P2= ,所以P2-P1=- ,当3≤n≤24时,Pn= Pn-1+ Pn-2,所以5(Pn-Pn-1)=-3(Pn-1-Pn-2),所以 =- ,所以数列{Pn-Pn-1}是以- 为首项,- 为公比的等比数列.
2.(2024甘肃二诊,18)民间谚语“杨柳儿活,抽陀螺;杨柳儿青,放空钟;杨柳儿死,踢毽 子”,体现随着季节变化,可以进行不同的健身活动,其中踢毽子在我国流传很广,有着 悠久的历史.据考证,踢毽子起源于中国汉代,盛行于六朝、隋、唐.某市高中学校为弘 扬传统文化,增强学生身体素质,在高一年级开展了“人人参与”“团队竞赛”的踢 毽子活动.在“人人参与”的环节中记录高一年级700名学生每人每分钟踢毽子的次 数,从中抽取100名学生的成绩进行统计,如图所示,得到样本的频率分布直方图.将踢 毽子每分钟次数样本数据第60百分位数(精确到1),记为“达标”的指标界值.(1)请根据样本数据,求高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值;(2)“团体竞赛”规则为,每班选出由3名选手组成的代表队参赛,上场的甲、乙、丙3
人,由甲将毽子等可能地踢给另外两人中的1人,接到毽子的人再等可能地踢向另外两 人中的1人,如此不停地传下去,直到有选手没有接到毽子则比赛结束,记录此时的传踢 个数作为团队成绩.记第i(i∈N*)次传踢之前毽子在甲的概率为ai,易知a1=1,a2=0.求第6 次传踢前,毽子传到甲的概率a6,并讨论第i次传踢前(i∈N*,且i≥3)毽子在甲、乙、丙三 人中哪一人的概率最大.
解析 (1)设高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值为x,分析得x∈[45,50),依题意有(x-45)×0.06=0.6-(0.01+0.024+0.036+0.040)×5,即x=45+ ≈46.(2)设第i次传踢之前毽子在乙、丙的概率为bi,ci,由传递的对称性知bi=ci,又ai+bi+ci=1,则有bi=ci= ,ai+1= × + × = ,所以ai+1=- + ,即有ai+1- =- (i∈N*),所以 为等比数列,其中首项为a1- = ,公比为- ,即ai- = ,
所以ai= + (i∈N*),a6= ,i为偶数时,ai< ,bi=ci> ,毽子在乙、丙的概率较大,i为奇数时,ai> ,bi=ci< ,毽子在甲的概率较大.
3.(2024安徽皖南八校联考,18)现有甲、乙两个不透明盒子,都装有1个红球和1个白球, 这些球的大小、形状、质地完全相同.(1)若从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中,n(n∈N*)次这样的操 作后,记甲盒子中红球的个数为Xn.求X1的分布列与数学期望;(2)现从甲中有放回地抽取n(n≥3)次,每次抽取1球,若在抽取次数不超过n次的情况下, 抽取到2次红球,则停止抽取,一直抽取不到2次红球,第n次抽取完也停止抽取,令抽取 停止时,抽取的次数为Y(Y=2,3,4,…,n),求Y的数学期望E(Y).并证明:E(Y)- ≤ .
解析 (1)由题意可知X1的所有可能取值为0,1,2,且P(X1=0)= × = ,P(X1=1)= × + × = ,P(X1=2)= × = ,X1的分布列如下:
E(X1)=0× +1× +2× =1.(2)当Y
(i)求P(X=k)(k∈N*)的表达式;(ii)推导该植物寿命的期望E(X).附:相关系数r= .
解析 (1)由 =45, =8 000, (xi- )(yi- )=480,
得相关系数r= = =0.8.(2)(i)依题意,P(X=1)=P(X=k+1|X>k)=0.1,又P(X=k+1|X>k)= ,则P(X=k+1)=0.1P(X>k)①,当k≥2时,把k换成k-1,得P(X=k)=0.1P(X>k-1)②,①-②,得P(X=k)-P(X=k+1)=0.1P(X=k),
即 =0.9(k≥2),又P(X=2)=0.1P(X>1)=0.1×(1-P(X=1))=0.9P(X=1),于是 =0.9对任意k∈N*都成立,从而{P(X=k)}是首项为0.1,公比为0.9的等比数列,所以P(X=k)=0.1×0.9k-1.(ii)由定义知,E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+…+kP(X=k)=0.1×0.90+0.2×0.91+…+0.1×(k-1)×0.9k-2+0.1×k×0.9k-1=0.1[0.90+2×0.91+…+(k-1)×0.9k-2+k×0.9k-1],
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