新高考数学一轮复习专题六数列6-1数列的概念及表示练习含答案

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五年高考
考点 数列的概念及表示
1.(2023天津,6,5分,易)已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N*),则a4= ( C )
A.16 B.32 C.54 D.162
2.(2022全国乙理,4,5分,中)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列{bn}:b1=1+1α1,b2=1+1α1+1α2,b3=1+1α1+1α2+1α3,…,依此类推,其中αk∈N*(k=1,2,…).则( D )
A.b13.(2021北京,10,4分,中)已知{an}是各项均为整数的递增数列,且a1≥3.若a1+a2+…+an=100,则n的最大值为( C )
A.9 B.10 C.11 D.12
4.(2021浙江,10,4分,难)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an1+an(n∈N*).记数列{an}的前n项和为Sn,则( A )
A.32C.45.(2020课标Ⅱ理,12,5分,难)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…an…,C(k)=1mi=1m aiai+k(k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是( C )
A.11010… B.11011…
C.10001… D.11001…
6.(2022北京,15,5分,难)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an·Sn=9(n=1,2,…).给出下列四个结论:
①{an}的第2项小于3;②{an}为等比数列;
③{an}为递减数列;④{an}中存在小于1100的项.
其中所有正确结论的序号是 ①③④ .
7.(2023全国甲理,17,12分,中)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列an+12n的前n项和Tn.
解析 (1)当n=1时,2a1=a1,即a1=0,
当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-1,①
又2Sn=nan,②
∴②-①得2an=nan-(n-1)an-1,
即(n-2)an=(n-1)an-1.
当n=2时,上式成立.
当n≥3时,anan−1=n−1n−2,∴an=a3a2·a4a3·a5a4·…·anan−1·a2=21×32×43·…·n−1n−2·1=n-1,即an=n-1(n≥3).
当n=1时,a1=0符合上式,当n=2时,a2=1符合上式.
综上,{an}的通项公式为an=n-1,n∈N*.
(2)由(1)知an+1=n,设bn=an+12n=n2n=n·12n.
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=1×121+2×122+3×123+…+n·12n,①
12Tn=1×122+2×123+3×124+…+n·12n+1.②
①-②得12Tn=121+122+123+…+12n-n·12n+1=121−12n1−12-n·12n+1
=1-12n-n·12n+1=1-12n1+12n,
∴Tn=2-(n+2)·12n.
故数列an+12n的前n项和Tn=2-(n+2)·12n.
三年模拟
练速度
1.(2024江西南昌二中适应性测试(一),3)若数列{an}满足a2=11,an+1=11−an,则a985=( D )
A.1110 B.11 C.-110 D.1011
2.(2024广东汕头金山中学调研,5)已知数列{an},a1=1,an+1-an=2n,则a10等于( C )
A.511 B.1 022 C.1 023 D.2 047
3.(2024浙江宁波二模,6)已知数列{an}满足an=λn2-n,对任意n∈{1,2,3}都有an>an+1,且对任意n∈{x|x≥7,x∈N}都有anA.114,18 B.114,17
C.115,17 D.115,18
4.(2024湖南长沙雅礼中学月考七,5)我们把由0和1组成的数列称为0-1数列,0-1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用,把斐波那契数列{Fn}(F1=F2=1,Fn+2=Fn+Fn+1)中的奇数换成0,偶数换成1可得到0-1数列{an},记数列{an}的前n项和为Sn,则S100的值为( B )
A.32 B.33 C.34 D.35
5.(2024河北沧州模考,4)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,(n-2)Sn+1+2an+1=nSn,n∈N*,下列说法不正确的是( C )
A.a2=4 B.ann为常数列
C.a7=15 D.Sn=n2+n
6.(2024山东青岛模考,4)在数列{an}中,a1=13,前n项和Sn=n(2n-1)an,则数列{an}的通项公式为( A )
A.an=1(2n−1)(2n+1) B.an=3n−22n+1
C.an=2-n+42n+1 D.an=2-n+32n
7.(2024江苏八市三模,6)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn+n=2an,则a7=( B )
A.65 B.127 C.129 D.255
8.(2024河北唐山二模,6)已知数列{an}满足an+1=an+a1+2n,a10=130,则a1=( D )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2024山东济南名校联盟模拟,7)已知数列{an}满足a1=1,对于任意的n∈N*且n≥2,都有an=an−1+1,n为奇数,2an−1,n为偶数,则a20=( B )
A.211 B.211-2 C.210 D.210-2
10.(2024浙江Z20联盟联考,5)已知数列{an}满足(2n-3)an-(2n-1)an-1=4n2-8n+3(n≥2,n∈N*),a1=1,则an=( B )
A.2n-2 B.2n2-n
C.2n-1 D.(2n-1)2
11.(2024广东广州一模,12)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,当Sn+9an取最小值时,n=3 .
练思维
1.(2024山东滨州期末,8)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…….记第n层球的个数为an,则数列1an的前20项和为( C )
A.1021 B.2021 C.4021 D.1910
2.(2024广东湛江联考,8)在数列{an}中,a1=1,且anan+1=n,当n≥2时,1a2+1a3+…+1an≤an+an+1-2λ,则实数λ的取值范围为( A )
A.(-∞,1] B.[1,+∞)
C.(0,1] D.(-∞,4]
3.(2024广东茂名一模,8)数列{an}满足a1=8,an+1=annan+1(n∈N*),bn=1an+λ·12n,若数列{bn}是递减数列,则实数λ的取值范围是( D )
A.−87,+∞ B.−78,+∞
C.87,+∞ D.78,+∞
4.(多选)(2024安徽池州期末)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+an2+12,则下列说法正确的是 ( ACD )
A.a2 024>a2 023 B.1an2为递增数列
C.4an+12-1=4an+1an D.a20242<1 013
5.(2024浙江杭州模拟,14)两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子排列的形状对数进行分类.如图中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作a1=1,第2个五角形数记作a2=5,第3个五角形数记作a3=12,第4个五角形数记作a4=22,……,若按此规律继续下去,则a5= 35 ,若an=145,则n= 10 .
练风向
1.(新定义理解)(2024河南高中毕业班适应性测试,8)对于数列{an},定义An=a1+3a2+…+3n-1an为数列{an}的“加权和”.设数列{an}的“加权和”An=n·3n,记数列{an+pn+1}的前n项和为Tn,若Tn≤T5对任意的n∈N*恒成立,则实数p的取值范围为( B )
A.−73,−167 B.−125,−73
C.−52,−125 D.−167,−94
2.(新定义理解)(2024安徽安庆联考,8)若项数均为n(n≥2,n∈N*)的两个数列{an},{bn}满足ak-bk=k(k=1,2,…,n),且集合{a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn}={1,2,3,…,2n},则称数列{an},{bn}是一对“n项紧密数列”.设数列{an},{bn}是一对“4项紧密数列”,则这样的“4项紧密数列”有( B )
A.5对 B.6对 C.7对 D.8对