新高考数学一轮复习专题六数列6-2等差数列练习课件

这是一份新高考数学一轮复习专题六数列6-2等差数列练习课件，共53页。

1.(2024全国甲理,4,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1= (        )A. 　    B. 　    C.- 　    D.- 
2.(2024新课标Ⅱ,12,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10= 　    95　    .
考点1　等差数列及其前n项和
1.(2022新高考Ⅱ,3,5分,中)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相 邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中 DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为 =0.5, =k1, =k2, =k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3= (　    )
　    B.0.8　    　    D.0.9
2.(2020课标Ⅱ理,4,5分,中)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层. 上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向 外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增 加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)  (　    ) A.3 699块　    B.3 474块　    C.3 402块　    D.3 339块
3.(2023全国乙理,10,5分,中)已知等差数列{an}的公差为 ,集合S={cs an|n∈N*}.若S={a,b},则ab= (　    )A.-1　    B.- 　    C.0　    D. 
4.(2022全国乙文,13,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=　    2　    .
5.(2020课标Ⅱ文,14,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=　    25　    .
6.(2020新高考Ⅰ,14,5分,易)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列 {an},则{an}的前n项和为　    3n2-2n　    .
7.(2023全国乙文,18,12分,中)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
  解析    (1)设等差数列{an}的公差为d,则 解得 ∴an=13-2(n-1)=15-2n.(2)由an=15-2n知,当n≤7,n∈N*时,an>0,当n≥8,n∈N*时,an<0,∴当n≤7,n∈N*时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn= =-n2+14n,当n≥8,n∈N*时,Tn=(a1+a2+…+a7)-(a8+a9+…+an)=2S7-Sn=98-(-n2+14n)=n2-14n+98.∴Tn= 
8.(2023新课标Ⅰ,20,12分,中)设等差数列{an}的公差为d,且d>1,令bn= ,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
  解析    (1)∵3a2=3a1+a3,∴3(a1+d)=3a1+a1+2d,∴a1=d>1,∴S3=a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=6a1,又∵bn= ,∴b1= ,b2= = = ,b3= = = ,∴T3=b1+b2+b3= ,∴S3+T3=6a1+ =21,解得a1=3或a1= (舍),∴an=3n.(2)∵{bn}为等差数列,∴2b2=b1+b3,即 = + ,
即 = + ,即 -3a1d+2d2=0,∴a1=2d或a1=d.当a1=2d时,an=(n+1)d,bn= ,∴S99= =99×51d,T99= · = ,又∵S99-T99=99,∴99×51d-99×50· =99,∴51d- =1,解得d=1或d=- ,又∵d>1,∴a1≠2d.
当a1=d时,an=nd,bn= ,∴S99= =50×99d,T99= · = ,又∵S99-T99=99,∴50×99d- =99,∴50d- =1,解得d= 或d=-1,又∵d>1,∴d= .综上,d= .
考点2　等差数列的性质及应用
1.(2023全国甲文,5,5分,易)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=(        )A.25　    B.22　    C.20　    D.15
2.(2020北京,8,4分,难)在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列 {Tn} (　    )A.有最大项,有最小项　    B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项　    D.无最大项,无最小项
3.(2021新高考Ⅱ,17,10分,易)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2·a4 =S4.(1)求{an}的通项公式;(2)求使得Sn>an的n的最小值.
  解析    (1)解法一:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则a3=S5⇒a1+2d=5a1+10d⇒4a1+8d=0⇒a1+2d=0⇒a1=-2d,①a2·a4=S4⇒(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,②将①代入②得-d2=-2d⇒d=0(舍)或d=2,∴a1=-2d=-4,∴an=-4+(n-1)×2=2n-6.解法二:由等差数列的性质可得S5=5a3,则a3=5a3,∴a3=0,设等差数列的公差为d,从而有a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,
所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-6.(2)由(1)知an=2n-6,a1=2×1-6=-4.Sn=na1+ d=-4n+n(n-1)=n2-5n.Sn>an⇔n2-5n>2n-6⇔n2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0,解得n<1或n>6,又n∈N*,∴n的最小值为7.
1.(2024安徽合肥一六八中学适应性测试,3)数列{an}中,an=an+1+2,a5=18,则a1+a2+…+a10=  (　    )A.210　    B.190　    C.170　    D.150
2.(2024山东济宁一模,3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=2,S6=9,则S10= (　    )A.14　    B.16　    C.18　    D.20
3.(2024北京人大附中检测,5)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则“Sn≥nan”是“{an} 是递减数列”的 (　    )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.(2024广东汕头一模,2)在3与15之间插入3个数,使这5个数成等差数列,则插入的3个 数之和为 (　    )A.21　    B.24　    C.27　    D.30
5.(2024山东潍坊一模,4)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,S7=5a4+10,则S4= (        )A.6　    B.7　    C.8　    D.10
6.(2024福建厦门第二次质检,2)已知正项等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且4S3= (a3+1)2,4S4=(a4+1)2,则d= (　    )A.1　    B.2　    C.3　    D.4
7.(2024浙江金华十校联考,5)等差数列{an}的首项为正数,公差为d,Sn为{an}的前n项和, 若a2=3,且S2,S1+S3,S5成等比数列,则d= (　    )A.1　    B.2　    C. 　    D.2或 
8.(2024湖北七市州调研,6)已知公差为负数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3,a4,a7是 等比数列,则当Sn取最大值时,n= (　    )A.2或3　    B.2　    C.3　    D.4
9.(多选)(2024东北三省三校第一次联考,9)等差数列{an}中,a1>0,则下列命题正确的是  (　     )A.若a3+a7=4,则S9=18B.若S15>0,S16<0,则 > C.若a1+a2=5,a3+a4=9,则a7+a8=17D.若a8=S10,则S9>0,S10<0
10.(2024河北邯郸调研,15)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=17, 是公差为 的等差数列.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn.
  解析    (1)因为S2=17,所以 =1,所以 =1+(n-2)× = ,即Sn= (5n+7).当n≥2时,an=Sn-Sn-1= (5n+7)- (5n+2)=5n+1,又a1=S1= ×(5+7)=6符合上式(易错提醒:不要忘记验证n=1),所以an=5n+1,n∈N*.(2)由(1)知bn= =  ,故Tn=   - + - +…+ -  =  = .
1.(2024安徽淮北第一次质量检测,4)记Sn是等差数列{an}的前n项和,则“{an}是递增数 列”是“ 是递增数列”的 (　    )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.(2024河南五市联考,6)一款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上,纸筒直径为20 mm, 卫生纸厚度约为0.1 mm,若未使用时直径为80 mm,则这个卷筒卫生纸总长度大约为 (参考数据π≈3.14) (　    )A.47 m　    B.51 m　    C.94 m　    D.102 m
3.(2024重庆南开中学质检(八),8)已知等差数列{an}的公差为 ,且集合M={x|x=sin an,n∈N*}中有且只有4个元素,则M中的所有元素之积为 (　    )A. 　    B.- 　    C. 　    D. 
4.(2024广东佛山教学质量检测(一),8)2023年中央金融工作会议于10月30日至31日在 北京举行,会议强调坚持把金融服务实体经济作为根本宗旨.现有某高新企业向金融 机构申请到一笔800万元专项扶持贷款资金,该贷款资金分12期发放完毕,考虑到企业 盈利状况将逐步改善,前11期放款金额逐期等额递减发放,每期递减10万元,第12期资 金不超过10万元一次性发放.假设每期放款金额均为以万元为单位的正整数,则第1期 和第12期放款金额之和为 (　    )A.128万元　    B.130万元　    C.132万元　    D.134万元
5.(多选)(2024福建福州质量检测,9)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=4,S5=35,则 (　     )A.nan的最小值为1　    B.nSn的最小值为1C. 为递增数列　    D. 为递减数列
6.(多选)(2024安徽芜湖质量检测,10)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正 确的有 (　    )A.若k=15,则Sk=15a8B.若S4=2,S8=8,则S16=20C.若{an}为常数列,则{an}一定为等比数列D.若07.(2024湖北十一校联考,14)已知在数列{an}中,a1,a11∈N*,数列{an}的前n和为Sn, 为等差数列,S14=77,则S100=　　-3 750　    .
8.(2024福建九地市质量检测,14)设Tn为数列{an}的前n项积,若Tn+an=m,其中常数m>0. 则a2=　     　    (结果用m表示);若数列 为等差数列,则m=　    1或2　    .
9.(2024浙江丽水、湖州、衢州二模,15)设等差数列{an}的公差为d,记Sn是数列{an}的 前n项和,若S5=a3+20,S15=a2a3a8.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若d>0,bn= (n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn  解析    (1)由S5=a3+20得5a3=a3+20,故a3=5. (1分)由S15=a2a3a8得15a8=a2a3a8=5a2a8,所以a8=0或a2=3, (3分)当a8=0时,d= =-1,此时an=a3+(n-3)×d=8-n;当a2=3时,d=a3-a2=2,此时an=a3+(n-3)×d=2n-1.综上,数列{an}的通项公式为an=8-n或an=2n-1. (5分)(2)证明:因为d>0,所以an=2n-1,所以Sn=n2. (7分)则bn= = = =1+ 
=1+  . (10分)所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=1+  +1+  +1+  +…+1+  =n+  =n+  =n+ . (12分)故Tn=n+ =n+ - 10.(2024大湾区二模,16)已知数列{an}为等差数列,a1=-4,前n项和为Sn,满足:当n∈N*且n <9时,S1+ +…+ =S1+ +…+ .(1)求{an}的通项公式;(2)定义集合Mn={ai+aj|i,j∈N*且i,j≤n},记Mn的元素个数为bn,数列{bn}的前n项和为Tn,求 T10.
  解析    (1)设{an}的公差为d,在S1+ +…+ =S1+ +…+ 中,令n=5,得 =0.所以 =0,所以a1+a5=0,即2a1+4d=0,所以d=2,又a1=-4,所以an=2n-6.(2)记Cn={i+j|i,j∈N*且i,j≤n},由于ai+aj=2(i+j)-12,所以Mn的元素个数即为Cn的元素个 数,而Cn={2,3,4,…,2n},共2n-1个元素,所以bn=2n-1,所以T10= =100.
11.(2024江西新八校联考,16)若数列{an}满足条件:存在正整数k,使得an+k+an-k=2an对一 切n∈N*,n>k都成立,则称数列{an}为k级等差数列.(1)若数列{an}为2级等差数列,且前四项分别为2,0,2,4,求数列{an}的前2n项和S2n;(2)若bn=3n+sin ωn(0<ω<π),且{bn}是3级等差数列,求数列{bn}的前3n项和T3n.
  解析    (1)由数列{an}为2级等差数列,且前四项分别为2,0,2,4,可得an+2+an-2=2an对一切n∈N*,n>2都成立,且数列{an}的奇数项是首项为2,公差为0的等差数列,偶数项是首项为0,公差为4的等差数列, (4分)则S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=2×n+ ×4=2n2. (7分)(2)∵{bn}是3级等差数列,∴bn+3+bn-3=2bn对一切n∈N*,n>3都成立,即3(n+3)+sin(ωn+3ω) +3(n-3)+sin(ωn-3ω)=2(3n+sin ωn),∴sin ωn=sin ωncs 3ω,∴sin ωn=0或cs 3ω=1. (9分)当sin ωn=0对n∈N*恒成立时,ω=kπ(k∈Z).
当cs 3ω=1时,3ω=2kπ(k∈Z),则ω= (k∈Z),又因为0<ω<π,所以ω= ,所以bn=3n+sin  , (12分)又因为sin +sin +sin  ×(3n+2) =0,所以T3n= = n2+ n. (15分)
(2024辽宁二模,19)如果数列{xn},{yn},其中yn∈Z,对任意正整数n都有|xn-yn|< ,则称数列{yn}为数列{xn}的“接近数列”.已知数列{bn}为数列{an}的“接近数列”.(1)若an=2n+ (n∈N*),求b1,b2,b3的值;(2)若数列{an}是等差数列,且公差为d(d∈Z),求证:数列{bn}是等差数列;(3)若数列{an}满足a1= ,且an+1=- an+ ,记数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,试判断是否存在正整数n,使得Sn由. 参考数据:l  ≈16.7 
  解析    (1)由题:令n=1,则|a1-b1|< ,即 < ,故- < -b1< ,解得 (3)因为an+1=- an+ ,所以令an+1+λ=- (an+λ),解得λ=- ,又a1- = ≠0,故 是以 为首项,- 为公比的等比数列,则an- = · ,即an= + ,当n为奇数时,an= + ,易知an= + 递减,故 当n为偶数时,an=- + ,易知an=- + 递增,故a2≤an< ,即 ≤an< ,得an-1∈ ,进一步有bn=1.综上,bn= 易知Sn= n+  ,当n为偶数时,Tn= n;由Sn1,无解;