新高考数学一轮复习专题四三角函数与解三角形4-3解三角形课件

这是一份新高考数学一轮复习专题四三角函数与解三角形4-3解三角形课件，共24页。

题型一　三角形中最值(范围)问题1.三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量:根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正弦、余弦定理求出相 关的边、角,并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围.(2)构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表示成函数形 式.(3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.
2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题,一定要搞清变量的范围;若已知边的范围,求角的范围可利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,0例1    (2024湖南长郡十八校第一次联考,15)如图,在△ABC中,有 -sin B=0.(1)求∠B的大小;(2)直线BC绕点C顺时针旋转 与AB的延长线交于点D,若△ABC为锐角三角形,AB=2,求CD长度的取值范围. 
  解析    (1)解法一(平方+同角三角函数基本关系):由 -sin B=0得 =sin B,两边平方得 =sin2B,将sin2B+cs2B=1代入整理得2cs2B+cs B-1=0,解得cs B= 或cs B=-1,因为B∈(0,π),所以B= .解法二(用正、余弦的二倍角公式):由 -sin B=0得 -2sin  ·cs  =0,则cs  -2sin  cs  =0,则cs  
=0或sin  = ,因为B∈(0,π),所以 = ,B= .(2)由(1)知∠ABC= ,则∠CBD= ,由题意可知∠BCD= ,则∠D= .设BC=a,则BD=BC=a.在△BCD中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BCcs∠DBC=a2+a2-2a·a· =3a2,则CD= a.在△ABC中,由正弦定理得 = ,所以a= = = = +1.
因为△ABC为锐角三角形,所以 即 解得 <∠ACB< ,所以tan∠ACB∈ ,则 ∈(0, ).所以CD= a= + ∈( ,4 ),即CD长度的取值范围是( ,4 ).
题型二　三角形中线及角平分线问题
一、中线问题1.中线长定理:在△ABC中,AD是边BC上的中线,则AB2+AC2=2(BD2+AD2). 推导过程:在△ABD中,cs B= ,在△ABC中,cs B= ,联立两个方程可得AB2+AC2=2(BD2+AD2).
2.向量表示:在△ABC中,D为BC的中点,则 = ( + +2| || |·cs∠BAC).推导过程:易知 = ( + ),则 = ( + )2=  +  + | |·| |cs∠BAC,所以 = ( + +2| || |·cs∠BAC).
例2    (2024山东潍坊模拟,15)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin B+cs B)=c.(1)求A;(2)若c= ,a= ,D为BC的中点,求AD.
  解析    (1)在△ABC中,由题意及正弦定理得,sin A(sin B+cs B)=sin C, (2分)由A+B+C=π,得sin C=sin(A+B),所以sin Asin B+sin Acs B=sin Acs B+sin Bcs A,化简得sin Asin B=sin Bcs A, (4分)因为sin B≠0,所以tan A=1, (5分)因为A∈(0,π),所以A= . (6分)(2)在△ABC中,由余弦定理得,5=b2+2-2b× × , (8分)所以b2-2b-3=0,
又b>0,所以b=3, (10分)因为D为BC的中点,所以 = ( + ), (11分)两边平方得| |2= (c2+b2+2bccs∠BAC)= ,所以| |= ,即中线AD的长度为 . (13分)
二、角平分线问题如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠BAC、B,C所对的边分别为a,b,c. 1.内角平分线定理:AD为△ABC的内角∠BAC的平分线,则 = .2.因为S△ABD+S△ACD=S△ABC,所以 c·ADsin + b·ADsin = bcsin∠BAC,
所以(b+c)AD=2bccs ,整理得AD= (角平分线长公式).
例3　已知AD是△ABC的角平分线,AB=3,AC=5,∠BAC=120°,则AD的长为　　　    . 
  解析    ∵AD是△ABC的角平分线,且∠BAC=120°,∴∠BAD=∠CAD=60°.∵S△ABD+S△CAD=S△ABC,∴ AB·ADsin∠BAD+ AC·ADsin∠CAD= AB·ACsin∠BAC,即 ×3AD× + ×5AD× = ×3×5× ,解得AD= .
题型三　解三角形的实际应用1.解三角形应用题的两种方法(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理 或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形,这时需作出 这些三角形,先解条件已知的三角形,然后逐步求出其他三角形的解,有时需设出未知 量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所求的解.
2.利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤
3.解三角形应用题应注意的问题(1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词,并能准确地找出这些角;(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来使用,这样可以优化解题过程;(3)注意题目中的隐含条件以及解的实际意义.
例4    (2024山东临沂一模,7)在同一平面上有相距14公里的A,B两座炮台,A在B的正东 方.某次演习时,A向西偏北θ方向发射炮弹,B向东偏北θ方向发射炮弹,其中θ为锐角,观 测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标,接着A改向向西偏北 方向发射炮弹,弹着点为18公里外的点M,则B炮台与弹着点M的距离为 (　    )A.7公里　    B.8公里　    C.9公里　    D.10公里
  解析    设炮弹第一次命中点为C,根据题意画出示意图,如图. 由题意知AC=BC=18公里,AB=14公里,AM=18公里,过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△ACD中,cs∠CAB=cs θ= ,则cs = = (注意:θ为锐角),在△ABM中,由余弦定理得BM= 
= =10,即B炮台与弹着点M的距离为10公里.
例    (多选)(2024甘肃兰州诊断考试,9)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动,学生 需通过建立模型、实地测量,迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方 案中,可计算出旗杆高度的方案有 (　    )A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角α,β,再测量A,B两点间距离B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆),测得建筑物的高度为h,在该建筑物底部和顶 部分别测得旗杆顶端的仰角α和βC.在地面上任意寻找一点A,测量旗杆顶端的仰角α,再测量A到旗杆底部的距离D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α,正对旗杆前行5 m到达B处(旗杆底部,A, B在一条直线上),再次测量旗杆顶端的仰角β
  解析    对于A,当A,B两点与旗杆底部不在一条直线上时,就不能测量出旗杆的高度,故A不正确;对于B,如图1,在△ABD中,由正弦定理求AD,则旗杆的高CD=h+ADsin β,故B正确;           对于C,如图2,在直角△ADC中,直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC=ACtan α,故C 正确;
对于D,如图3,在△ABD中,由正弦定理求AD,则旗杆的高CD=ADsin α,故D正确.故选BCD.