新高考数学一轮复习专题六数列6-1数列的概念及表示课件

这是一份新高考数学一轮复习专题六数列6-1数列的概念及表示课件，共17页。

题型一　利用Sn和an的关系求通项公式1.已知Sn求an的步骤:(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表 达式.(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,若符合,则数列的通项公式 合写;若不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
2.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求,将问题向不同的方向转化.(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn、Sn-1的关系式,再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an、an-1的关系式,再求解.
例1    (2024山东青岛一中第一次模考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn+an=n(n∈N*), 则lg2(1-a2 023)=　 　    .
  解析    因为Sn+an=n(n∈N*),所以当n=1时,2a1=1,即a1= ;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n-an-(n-1-an-1)=-an+an-1+1(提醒:由an=Sn-Sn-1,n≥2得到关于an与an-1的 关系式),所以2an=1+an-1,所以an-1= (an-1-1)(联想an+1=pan+q,p≠0,1且q≠0,构造等比数列).又a1-1=- ≠0,所以{an-1}是首项为- ,公比为 的等比数列,
所以an-1=- × =- ,所以an=1- ,所以lg2(1-a2 023)=lg2 =-2 023.
题型二　利用递推关系求数列的通项公式由数列的递推关系求通项公式的常用方法:1.累加法累加法适用于an+1-an=f(n)(n∈N*)型,数列{an}的首项a1已知,且数列{f(n)}的前n项和易 求.具体步骤:先给递推公式an+1-an=f(n)(n∈N*)中的n从1开始赋值,一直到n-1,一共得到(n- 1)个式子,即a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),a4-a3=f(3),……,an-an-1=f(n-1),再把这(n-1)个式子左、右 两边对应相加化简,即可得到数列{an}的通项公式.
2.累乘法累乘法适用于 =f(n)(n∈N*)型,数列{an}的首项a1已知,且数列{f(n)}的前n项积易求.具体步骤:先给递推公式 =f(n)(n∈N*)中的n从1开始赋值,一直到n-1,一共得到(n-1)个式子,即 =f(1), =f(2), =f(3),……, =f(n-1),再把这(n-1)个式子左、右两边对应相乘化简,即可得到数列{an}的通项公式.
例2    (2024广东江门第一中学月考)数列{an}中,n(an+1-an)=an(n∈N*),且a3=π,则an=　    　　    .
  解析    由题意可知 = ⇒ = ⇒ = (n≥2)(提醒:构建递推模型),显然有 =2, = ⇒a2= ,a1= ,由累乘法可得 × × × ×…× = × × × ×…× ,则 =n,an= (n≥2),当n=1时,a1= 适合上式,所以an= (n∈N*).
题型三　数列中的构造问题　　数列中的构造问题本质上考查了转化思想,通过构造,将一个陌生数列转化为熟 悉的等差数列或等比数列,利用等差数列或等比数列的性质解决陌生数列的问题.
常见构造数列的形式1.形如an+1=pan+q(p≠0,1且q≠0),转化为an+1+λ=p(an+λ),其中λ为待定系数,也可以转化为 an+1-an=p(an-an-1),先求得{an+1-an}的表达式,然后利用累加法求an.2.形如an+1= (bcd≠0,a1≠0),通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
3.形如an+1=pan+f(n)型的递推关系的解法对于形如an+1=pan+f(n)(p为非零常数)的递推关系一般讨论两种情况:(1)当f(n)为一次多项式时,即数列的递推关系为an+1=Aan+Bn+C型,可化为an+1+λ1(n+1)+λ2 =A(an+λ1n+λ2)的形式来求an.(2)当f(n)为指数幂时,即数列的递推关系为an+1=Aan+B·Cn型,可化为an+1+λ·Cn+1=A·(an+λ·
Cn)的形式,构造出一个新的等比数列{an+λ·Cn},然后求an.特别地,当A=C时,可将等式左、右两边同除以Cn+1,得 = + ,重新构造数列 来求an.
例3    (2024广东大联考,13)在数列{an}中,a1=3,且an+1=3an+4n-6(n∈N*),则{an}的通项公 式为　　　　　    .
an=3n-2(n-1)
  解析    因为an+1=3an+4n-6(n∈N*),(对照形如an+1=pan+f(n)型的递推关系的第一种情况求解)所以an+1+2n=3an+4n-6+2n=3[an+2(n-1)],因为a1=3,所以a1+2×(1-1)=3,所以{an+2(n- 1)}是首项为3,公比为3的等比数列,则an+2(n-1)=3·3n-1=3n,所以an=3n-2(n-1).
解题关键    解本题的关键是构造出等比数列.构造过程如下:设an+1+λ1(n+1)+λ2=3(an+λ1n+λ2),即an+1+λ1n+λ1+λ2=3an+3λ1n+3λ2,即an+1=3an+2λ1n+2λ2-λ1,又an+1=3an+4n-6,所以 即 所以an+1+2(n+1)-2=3(an+2n-2),即 =3.
例    (2024浙江温州期末,3)定义 为n个正数p1,p2,p3,…,pn的“均倒数”,若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为 ,则a10等于     (　    )A.85　    B.90　    C.95　    D.100