新高考数学一轮复习专题七立体几何与空间向量7-1空间几何体的结构特征、表面积和体积课件

这是一份新高考数学一轮复习专题七立体几何与空间向量7-1空间几何体的结构特征、表面积和体积课件，共20页。
题型一　空间几何体表面积与体积的求解方法1.空间几何体表面积的求解方法(1)求多面体的表面积时,把各个面的面积相加即可.(2)求简单旋转体的表面积时,代入公式直接求解.(3)求组合体的表面积时,注意重合部分的处理.
2.空间几何体体积的求解方法(1)公式法:当所给几何体是常见的柱、锥、台等规则的几何体时,可以直接代入各自 几何体的体积公式中进行计算.(2)割补法:求不规则几何体的体积时,可以将所给几何体分割(补)成若干个常见的几何体,然后利用求和(作差)的方法得出所求几何体的体积.(3)等体积转化法:利用三棱锥的特性,即任意一个面都可以作为底面,从而进行换底换 高计算,此种方法充分体现了数学的转化思想.
例1    (多选)(2024新高考协作体2月收心卷,9)中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记 载了一种称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是 指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,AA1⊥底面,AA1=5,底面扇环所对 的圆心角为 ,弧AD的长度是弧BC长度的3倍,CD=2,则下列说法正确的是 (　    )A.弧AD的长度为 π
B.曲池的体积为 C.曲池的表面积为20+14πD.三棱锥A-CC1D的体积为5
  解析    设弧AD所在圆的半径为R,弧BC所在圆的半径为r,由弧AD的长度是弧BC长度的3倍及弧长公式可得 R=3× r,即R=3r,∴CD=R-r=2r=2,∴r=1,R=3,∴弧AD的长度为 π,故A正确;曲池的体积为V= ×AA1=10π, 注意:底面扇环所对的圆心角为  故B错误;曲池的表面积为 ×2+ (2πR+2πr)×5+2×5×2=20+14π,故C正确; = ,∵CC1⊥平面ABCD,∴CC1即为三棱锥C1-ACD的高,
又S△ACD= ×2×3=3,∴三棱锥C1-ACD的体积为 ×3×5=5,即三棱锥A-CC1D的体积为5.故D正确.故选ACD.
题型二　与球有关的切、接问题1.几何体外接球的处理办法(1)公式法:正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长 的一半.(2)补形法(补形为长方体或正方体)①垂直模型
②对棱相等模型 (3)双面定球心法如图,在三棱锥P-ABC中,①选定底面△ABC,定△ABC外接圆圆心O1,
②选定侧面△PAB,定△PAB外接圆圆心O2,③分别过O1作面ABC的垂线,和O2作面PAB的垂线,两垂线交点即为外接球球心O. 2.几何体内切球问题的处理技巧(1)球心在过切点且与切面垂直的直线上;
(2)球心到各面的距离相等;(3)若三棱锥存在内切球,则可采用公式r= 求解内切球半径;(4)作出轴截面(截面中含切点,球心等元素),利用三角形的相似关系求解内切球的半 径.3.球的切、接问题的常用结论(1)棱长为a的正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球.(i)外接球:球心是正方体的中心,半径r= a;(ii)内切球:球心是正方体的中心,半径r= ;
(iii)与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心,半径r= a.(2)棱长为a的正四面体的外接球、内切球以及各条棱都相切的球.(i)外接球:球心是正四面体的中心,半径r= a;(ii)内切球:球心是正四面体的中心,半径r= a;(iii)与各条棱都相切的球:球心是正四面体的中心,半径r= a.
例2    (多选)(2024广东惠州第一次调研考试,12)已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1, 以正方体中心O为球心的球与正方体的各条棱都相切,点P为球面上的动点,则下列说 法正确的是     (　    )A.球O的半径为R= B.球O在正方体外的部分的体积大于 π-1C.若点P在球O位于正方体外的部分(含正方体表面)上运动,则 · ∈ D.若点P在球O位于正方体外的部分(含正方体表面)上运动,则 · ∈ 
  解析    对于A,正方体的棱切球O的半径为R= = (面对角线长的一半),故A错误;对于B,由图易知球O在正方体外的部分的体积V>V球-V正方体= π· -13= π-1,故B正确;对于C,D,取棱AB的中点E,可知点E在球面上,且 =- ,连接PE,则 · =( + )·( + )= - =| |2- ,因为点P在球O位于正方体外的部分(含正方体表面)上运动,所以0≤|PE|≤ (当PE为球O的直径时,|PE|= ),所以 · ∈ ,所以C错误,D正确,故选BD.
例3    (2024广东广州调研考试)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上,PC ⊥平面ABC,PC=BC= ,AB=2 ,且PA与平面ABC所成角的正弦值为 ,则该球的表面积为　　　    .
  解析    因为PC⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以PC⊥AC,所以∠PAC为直线PA与平面ABC所成的角,(根据直线与平面所成角的定义找出PA与 平面ABC所成角是关键)所以sin∠PAC= = ,又PC= ,所以PA=6,则AC= = ,又BC= ,AB=2 ,所以AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,故三棱锥可补形为长方体,如图所示,
 长方体的体对角线为PA,其长为6,所以外接球半径= ×6=3,所以球的表面积=4π×9=36π.
例    (2024山西晋城一模,13)若一个正n棱台的棱数大于15,且各棱的长度构成的集合 为{2,3},则n的最小值为　　　    ,该棱台各棱的长度之和的最小值为　　　    .
  解析    根据正棱台的结构特征可知,正n棱台的总棱数为3n(n≥3,n∈N*),则3n>15,得n>5,所以n的最小值为6.要想各棱长之和最小,则棱数总和要最小,故n=6,又因为棱台的上、下底面边长不相 等,所以可取上底面边长为2,下底面边长为3,要使各棱长之和最小,则侧棱长取2,故该 棱台各棱的长度之和的最小值为2×12+3×6=42.