还剩7页未读，
继续阅读
所属成套资源：全套新高考数学一轮复习专题课时教学课件
成套系列资料，整套一键下载
新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计9-3离散型随机变量及其分布列、均值与方差课件
展开
这是一份新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计9-3离散型随机变量及其分布列、均值与方差课件，共13页。
题型 离散型随机变量及其分布列、均值与方差求解离散型随机变量及其分布列、均值与方差的一般步骤:1.明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义.2.利用概率的有关知识,求出随机变量取每个值的概率.3.按规范形式写出分布列,并用分布列的性质验证.4.根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.
说明 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在 求解时,要注意计数原理、排列组合的应用.
例1 (2024河北部分重点高中期末,16)为欢度春节,某商场组织了“文明迎新年”知 识竞赛活动,每名参赛者需要回答A、B、C三道题目,通过答题获得积分,进而获得相 应的礼品.每题答错得0分,答对A题目得1分,答对B、C题目分别得2分,每名参赛者的最 后得分为每题得分的累计得分,已知一名参赛者答对A题目的概率为 ,答对B、C题目的概率均为 ,并且每题答对与否相互独立.(1)求该名参赛者恰好答对两道题目的概率;(2)求该名参赛者最终累计得分的分布列和数学期望.
解析 (1)由题意可得:该名参赛者恰好答对两道题目的概率P= × × + × × + × × = .(2)设该名参赛者最终累计得分为X,可知X=0,1,2,3,4,5,则P(X=0)= × × = ;(全部答错)P(X=1)= × × = ;(答对A题)P(X=2)= × × + × × = ;(答对B题或C题)P(X=3)= × × + × × = ;(答对A,B题或A,C题)
P(X=4)= × × = ;(答对B,C题)P(X=5)= × × = ,(全部答对)可得该名参赛者最终累计得分的分布列为
(提醒:判断所求离散型随机变量的分布列是否正确,可用p1+p2+…+pn=1检验)所以数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× +4× +5× =2.
例2 (2024广东茂名第二次综合测试,18)在一场乒乓球赛中,甲、乙、丙、丁四人角 逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”,具体赛制为:首先,四人通过抽签两两对阵,胜者进入 “胜区”,败者进入“败区”;接下来,“胜区”的两人对阵,胜者进入最后决赛;“败 区”的两人对阵,败者直接淘汰出局获得第四名;紧接着,“败区”的胜者和“胜区” 的败者对阵,胜者晋级最后的决赛,败者获得第三名;最后,剩下的两人进行最后的冠军 决赛,胜者获得冠军,败者获得第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0(ii)求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望.(2)除“双败淘汰制”外,也经常采用“单败淘汰制”:抽签决定两两对阵,胜者晋级,败
者淘汰,直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利?请说明理由.
解析 (1)(i)记“甲获得第四名”为事件A,则P(A)=(1-0.6)2=0.16.(ii)记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X,则X的所有可能取值为2,3,4.连败两局:P(X=2)=(1-0.6)2=可分为连胜两局,第三局不管胜负;负胜负;胜负负,P(X=3)=0.62+(1-0.6)×0.6×(1-0.6)+0.6×(1-0.6)×(1-0.6)=0.552,P(X=4)=(1-0.6)×0.6×0.6+0.6×(1-0.6)×0.6=0.288,故X的分布列如下:
故数学期望E(X)=2×0.16+3×0.552+4×0.288=3.128.(2)“双败淘汰制”下,甲获胜的概率P=p3+p(1-p)p2+(1-p)p3=(3-2p)p3.在“单败淘汰制”下,甲获胜的概率为p2.因为(3-2p)p3-p2=p2(3p-2p2-1)=p2(2p-1)(1-p),且0p2,“双败淘汰制”对甲夺冠有利;p∈ 时,(3-2p)p3
解析 解法一(定量计算得结论):对于A,E(X)=1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.4=3,D(X)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1,所以σ(X)= =1,对于B,E(X)=1×0.4+2×0.3+3×0.2+4×0.1=2,D(X)=(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.3+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1,所以σ(X)= =1,对于C,E(X)=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5,D(X)=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.65,所以σ(X)= = ,
对于D,E(X)=1×0.4+2×0.1+3×0.1+4×0.4=2.5,D(X)=(1-2.5)2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.85,所以σ(X)= = .故选C.解法二(定性分析得结论):方差和标准差都反映的是数据波动情况,数据的波动越大,方 差和标准差越大,反之亦然.A,B选项的数据波动情况对称相同,故他们标准差是一样 的,C选项中间2,3出现的频率相同且较高,两边1,4出现的频率相同且较低,所以数据集 中程度高,故标准差应该最小,D选项的标准差应该是最大的,故选C.
题型 离散型随机变量及其分布列、均值与方差求解离散型随机变量及其分布列、均值与方差的一般步骤:1.明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义.2.利用概率的有关知识,求出随机变量取每个值的概率.3.按规范形式写出分布列,并用分布列的性质验证.4.根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.
说明 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在 求解时,要注意计数原理、排列组合的应用.
例1 (2024河北部分重点高中期末,16)为欢度春节,某商场组织了“文明迎新年”知 识竞赛活动,每名参赛者需要回答A、B、C三道题目,通过答题获得积分,进而获得相 应的礼品.每题答错得0分,答对A题目得1分,答对B、C题目分别得2分,每名参赛者的最 后得分为每题得分的累计得分,已知一名参赛者答对A题目的概率为 ,答对B、C题目的概率均为 ,并且每题答对与否相互独立.(1)求该名参赛者恰好答对两道题目的概率;(2)求该名参赛者最终累计得分的分布列和数学期望.
解析 (1)由题意可得:该名参赛者恰好答对两道题目的概率P= × × + × × + × × = .(2)设该名参赛者最终累计得分为X,可知X=0,1,2,3,4,5,则P(X=0)= × × = ;(全部答错)P(X=1)= × × = ;(答对A题)P(X=2)= × × + × × = ;(答对B题或C题)P(X=3)= × × + × × = ;(答对A,B题或A,C题)
P(X=4)= × × = ;(答对B,C题)P(X=5)= × × = ,(全部答对)可得该名参赛者最终累计得分的分布列为
(提醒:判断所求离散型随机变量的分布列是否正确,可用p1+p2+…+pn=1检验)所以数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× +4× +5× =2.
例2 (2024广东茂名第二次综合测试,18)在一场乒乓球赛中,甲、乙、丙、丁四人角 逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”,具体赛制为:首先,四人通过抽签两两对阵,胜者进入 “胜区”,败者进入“败区”;接下来,“胜区”的两人对阵,胜者进入最后决赛;“败 区”的两人对阵,败者直接淘汰出局获得第四名;紧接着,“败区”的胜者和“胜区” 的败者对阵,胜者晋级最后的决赛,败者获得第三名;最后,剩下的两人进行最后的冠军 决赛,胜者获得冠军,败者获得第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0
解析 (1)(i)记“甲获得第四名”为事件A,则P(A)=(1-0.6)2=0.16.(ii)记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X,则X的所有可能取值为2,3,4.连败两局:P(X=2)=(1-0.6)2=可分为连胜两局,第三局不管胜负;负胜负;胜负负,P(X=3)=0.62+(1-0.6)×0.6×(1-0.6)+0.6×(1-0.6)×(1-0.6)=0.552,P(X=4)=(1-0.6)×0.6×0.6+0.6×(1-0.6)×0.6=0.288,故X的分布列如下:
故数学期望E(X)=2×0.16+3×0.552+4×0.288=3.128.(2)“双败淘汰制”下,甲获胜的概率P=p3+p(1-p)p2+(1-p)p3=(3-2p)p3.在“单败淘汰制”下,甲获胜的概率为p2.因为(3-2p)p3-p2=p2(3p-2p2-1)=p2(2p-1)(1-p),且0
解析 解法一(定量计算得结论):对于A,E(X)=1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.4=3,D(X)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1,所以σ(X)= =1,对于B,E(X)=1×0.4+2×0.3+3×0.2+4×0.1=2,D(X)=(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.3+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.1=1,所以σ(X)= =1,对于C,E(X)=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5,D(X)=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.65,所以σ(X)= = ,
对于D,E(X)=1×0.4+2×0.1+3×0.1+4×0.4=2.5,D(X)=(1-2.5)2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.85,所以σ(X)= = .故选C.解法二(定性分析得结论):方差和标准差都反映的是数据波动情况,数据的波动越大,方 差和标准差越大,反之亦然.A,B选项的数据波动情况对称相同,故他们标准差是一样 的,C选项中间2,3出现的频率相同且较高,两边1,4出现的频率相同且较低,所以数据集 中程度高,故标准差应该最小,D选项的标准差应该是最大的,故选C.
相关课件
新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计9-3离散型随机变量及其分布列、均值与方差练习课件： 这是一份新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计9-3离散型随机变量及其分布列、均值与方差练习课件，共48页。
新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计9-1计数原理练习课件： 这是一份新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计9-1计数原理练习课件，共41页。
新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计9-1计数原理练习课件： 这是一份新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计9-1计数原理练习课件，共41页。
