新高考数学一轮复习专题三导数及其应用微专题一隐零点问题课件

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　　导数的零点很多时候无法直接求解或者猜测出来,我们称之为“隐零点”(即能 确定零点存在,但无法用显性数字表达),这类问题对学生的综合能力要求比较高,往往 为考查的难点.解决“隐零点”问题的基本思路如下:(1)形式上虚设,变量为x时,设零点为x0;(2)运算上代换,对于含有隐零点x0的恒等式,根据需要通过移项将含有x0的一项或几项 移在等号一边代换到另外式子中;(3)数值上估算,估算零点所在的区间;
(4)策略上等价转化,运用充要条件等价转化或恒等变形;(5)方法上分离参数,零点x0用数学式子表示出来;(6)技巧上反客为主,零点x0作为主变量,其他变量作为参变量.
例1    (2024北京市广渠门中学开学考试,20)已知函数f(x)=x+aln x,g(x)=e-x-ln x-2x.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若g(x0)=0,求x0+ln x0的值;(3)证明:x-xln x≤e-x+x2.
  解析    (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),由f '(x)=1+ = ,当a≥0时, f '(x)>0,当a<0时,令f '(x)<0,则00,则x>-a.所以当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a<0时,函数f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增.(2)由g(x0)=0(虚设零点),得 -ln x0-2x0=0,即 -x0=ln x0+x0①,
令t= ,则-x0=ln t②,将②代入①可得ln t+t=ln x0+x0,由(1)可知,当a=1时, f(x)=x+ln x在(0,+∞)上单调递增,所以t= =x0,所以x0+ln x0=x0+ln  =x0-x0=0.(3)证明:第一步:构造函数求导,判断导函数的单调性.设m(x)=x-xln x-e-x-x2,则m'(x)=g(x)=e-x-ln x-2x,易判断g(x)在(0,+∞)上单调递减.
第二步:借助导函数“隐零点”判断函数的单调性.由(2)可知,g(x0)=0,则x0+ln x0=0,所以若x∈(0,x0),则m'(x)=g(x)>0,若x∈(x0,+∞),则m'(x)=g(x)<0,所以函数m(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.第三步:用代换法证明不等式.所以m(x)≤m(x0),m(x0)=x0-x0ln x0- - ,又ln x0=-x0, =x0,所以m(x0)=x0+ -x0- =0(用代换法解决隐零点问题),所以m(x)<0,即x-xln x≤e-x+x2.
例2　已知函数f(x)=ax- ,曲线y=f(x)在(0, f(0))处的切线为y=-x+1.(1)求a,b的值;(2)求证:函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增;(3)求函数f(x)的零点个数,并说明理由.
  解析    (1)f '(x)=a- ,由f(0)=-b=1, f '(0)=a-(1-b)=-1,解得a=1,b=-1.(2)证明:由(1)知f(x)=x- , f '(x)=1- = ,设g(x)=ex+x-2,因为g(x)在(1,+∞)上单调递增,则g(x)>g(1)=e-1>0,所以f '(x)>0在(1,+∞)上恒成立,所以函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
(3)第一步:求导构造函数.令f '(x)=0,得ex+x-2=0,第二步:运用单调性及零点存在定理估算隐零点的合适取值区间.易知g(x)在R上单调递增,且g(0)=-1<0,g(1)=e-1>0,故存在唯一零点x0∈(0,1)使得g(x0)=0.第三步:恒等移项进行等价转化.所以存在唯一零点x0∈(0,1)满足f '(x0)=0,得 +x0-2=0,则 =2-x0.第四步:用隐零点判断函数的单调性.当x∈(x0,+∞)时, f '(x)>0,此时f(x)单调递增,当x∈(-∞,x0)时, f '(x)<0,此时f(x)单调递减.
第五步:用隐零点求函数的最小值.所以f(x)min=f(x0)=x0- = = = .第六步:用第二步中估算隐零点判断最小值的符号得f(x)的零点个数.因为x0∈(0,1),所以2-x0>0,x0(1-x0)>0,则f(x)min>0,所以函数f(x)的零点个数为0.
例3    (2024广东百校联考)已知函数f(x)=ex-ln(x-m)(其中e为自然对数的底数).(1)当m=-1时,求f(x)的最小值;(2)若对定义域内的一切实数x,都有f(x)>4,求整数m的最小值.(参考数据: ≈3.49)
  解析    (1)m=-1时, f(x)=ex-ln(x+1),故f '(x)=ex- ,x>-1,因为y=ex,y=- 在(-1,+∞)上均为增函数,故f '(x)在(-1,+∞)上为增函数,而f '(0)=0,故当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,当x∈(-1,0)时, f '(x)<0,所以f(x)在(-1,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数,故f(x)min=f(0)=1.(2)f(x)的定义域为(m,+∞), f '(x)=ex- ,
因为y=ex,y=- 在(m,+∞)上均为增函数,故f '(x)在(m,+∞)上为增函数,而f '(|m|+1)=e|m|+1- >1- =0,当x→m(从m的右侧)时, f '(x)→-∞,故f '(x)在(m,+∞)上存在一个零点x0,且x∈(m,x0)时, f '(x)<0;x∈(x0,+∞)时, f '(x)>0,故f(x)在(m,x0)上为减函数,在(x0,+∞)上为增函数,故f(x)min=f(x0)= -ln(x0-m)>4,
而 = ,故x0=-ln(x0-m),且m=x0- ,故f(x0)= +x0,故 +x0>4,故x0>1,故m=x0- >1- >0,故m≥1.若m=1,则1=x0- ,即x0- -1=0,因为y=x-1,y=- 在(1,+∞)上均为增函数,故v(x)=x- -1在(1,+∞)上为增函数,而v = ,但e5<243<256=44,故 <4,即v <0,