第01讲 集合（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
1.集合的有关概念
1．集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉．
4．五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集，记作AB.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
【常用结论】
（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
二、题型分类精讲
题型一 集合的含义与表示
策略方法 解决与集合中的元素有关问题的一般思路
【典例1】已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1B．3C．6D．9
【题型训练】
1．（2022·全国·统考高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
3．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合B中所含元素个数为（ ）
A．20B．21C．22D．23
5．（2023·全国·高三专题练习）设集合，，则的元素个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
6．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1B．3C．6D．9
填空题
7．（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．
8．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 _____．
9．（2022·全国·高三专题练习）设集合，则用列举法表示集合为______．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则的元素个数是______.
题型二 集合间的基本关系
策略方法 判断集合关系的三种方法
【典例1】已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】已知全集，，则集合B的真子集个数为（ ）
A．63个B．64个C．127个D．128个
【题型训练】
1．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）已知集合，若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·山东济南·一模）已知集合，，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏·统考一模）设，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·山西·校联考模拟预测）已知集合，，则的非空子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
7．（2023·广西桂林·校考模拟预测）设集合，则集合的真子集的个数为（ ）个
A．3B．4C．7D．15
8．（2022秋·四川·高三四川省岳池中学校考阶段练习）设集合，，则满足的集合的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，，则实数a的值是________
10．（2022·上海·统考模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值组成的集合是___________．
11．（2022秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考期中）已知集合，，若，则的取值集合为_______
12．（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）已知集合，，集合，则集合C的子集的个数为____________．
13．（2022秋·河南安阳·高三校联考阶段练习）集合且的所有非空真子集的个数为__________.
题型三 集合的基本运算
策略方法 集合运算三步骤
【典例1】已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2】已知集合，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·统考高考真题）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．（西藏拉萨市2023届高三一模数学（理）试题）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2023·北京朝阳·统考一模）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·浙江杭州·高二浙江大学附属中学期中）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知全集，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023春·湖南·高二浏阳一中校联考阶段练习）设集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
11．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023春·湖南·高一校联考期中）设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·广东·统考一模）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·贵州·校联考二模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
15．（2023·上海嘉定·统考二模）已知，，则__________．
16．（2023·上海松江·统考二模）已知集合，，则______．
17．（2023·高三课时练习）设集合，，则______.
18．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，，则___________．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则____________.
20．（2021秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期中）已知集合A＝{y|y＝2x}，全集U＝R，则________．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则________．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则______
23．（2022秋·广东湛江·高三校考阶段练习）如图，已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为___________.
24．（2022·全国·高三专题练习）建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中___________；___________；___________.
25．（2022秋·陕西·高三校联考阶段练习）某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有___________.
题型四 集合的新定义
策略方法 解决与集合的新定义有关问题的一般思路
1.集合的新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化。
2.集合的新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。
【典例1】1．若，，定义且（ ）
A．或B．或
C．D．
【题型训练】
1．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）设集合的全集为，定义一种运算，，若全集，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则真子集个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
3．（2023·全国·高三专题练习）定义，集合，，则（ ）
A．B．
C．或D．或
4．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·校联考模拟预测）对于集合，定义，且．若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列，则（ ）
A．55B．76C．110D．113
6．（2023·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（ ）
A．11B．10C．9D．8
7．（2023·全国·高三专题练习）定义集合运算，若集合，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）设集合X是实数集R的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合X的聚点，则在下列集合中：①；②；③；④，以0为聚点的集合有（ ）个.
A．1B．2C．3D．0
二、多选题
9．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A．是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
10．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）设数集满足下列两个条件：（1）；（2），若则. 则下论断正确的是（ ）
A．中必有一个为0
B．a，b，c，d中必有一个为1
C．若且，则
D．，使得
11．（2023·全国·高三专题练习）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）非空集合G关于运算满足：（1）对任意a，，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算，其中G关于运算为“融洽集”的是（ ）
A．，为实数的乘法B．，为整数的加法
C．，为整数的乘法D．，为多项式的加法
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①A；②，则称为的一个“保均值真子集”，据此，集合的“保均值真子集”有__个．
14．（2022·全国·高三专题练习）若集合中任意两个元素的和差积商的运算结果都在中，则称是封闭集合.下列集合：（1） （2） （3）（4）中.封闭集合的个数为_____.
15．（2023·全国·高三专题练习）给定数集 ，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______：
①集合是闭集合；
②正整数集是闭集合；
③集合是闭集合；
④若集合、为闭集合，则为闭集合．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， 设 整除或整除， 令 表示集合所含元素的个数，则_____.集合的含义及其表示
集合间的基本关系
集合的交并补运算及图的应用
集合新定义问题
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为CUA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x ∉A}