第19练 三角恒等变换（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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刷真题 明导向
一、单选题
1．（2021·全国·统考高考真题）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.
2．（2021·北京·统考高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
3．（2022·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
4．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
5．（2021·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
6．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
7．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
二、填空题
8．（2022·浙江·统考高考真题）若，则__________，_________．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·安徽蚌埠·统考二模）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式，以及两角差的余弦公式直接化简，即可得出结果.
【详解】
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查利用两角差的余弦公式化简求值，涉及诱导公式，属于基础题型.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A．B．－C．－D．
【答案】B
【分析】根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据余弦的倍角公式，化简运算，即可求解.
【详解】由余弦的倍角公式，可得.
故选：D.
4．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，且，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由可求sinθ，由可求tanθ，再由正切二倍角公式可求tan2θ.
【详解】∵，且，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
5．（2023·全国·校联考模拟预测）已知，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用三角函数的基本关系式求得，再利用正切的倍角公式和两角差的正切公式，即可求解.
【详解】因为，其中，则，可得，
又因为，所以．
故选：C.
6．（2023·海南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式可得，由二倍角的余弦公式可得，结合诱导公式计算即可求解.
【详解】，
所以，
得.
故选：C.
7．（2023·高三课时练习）设且则
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】[方法一]：
.
故选：C.
[方法二]：
又.
故选：C.
[方法三]：
由已知得，，去分母得，，
所以，
又因为，，
所以，即，
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】利用诱导公式和降幂公式化简即得解.
【详解】解：由题得.
故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式化简，然后再化弦为切即可得解.
【详解】解：由得，,
所以,解得.
故选：A.
10．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知，，均为锐角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先根据已知条件求解，结合平方关系可得，然后利用倍角公式可得.
【详解】因为均为锐角，所以，
又因为，，
所以，.
因为，
所以，，所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值问题一般是先根据已知角与所求角的关系，结合相关公式可求，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出，代入两角差的余弦公式即可.
【详解】由题意可得，
即，，
故.
故选：A.
12．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知为锐角， ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用和差公式作恒等变换，再利用同角关系求解.
【详解】
；
，又 是锐角， ；
故选：D.
13．（2023·广东·高三专题练习）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意结合倍角公式求，再根据同角三角关系“知一求二”.
【详解】由题意可得：，
即，解得或，
∵，则，故，
可得，
所以.
故选：B.
二、多选题
14．（2023·全国·高三专题练习）下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】利用诱导公式、逆用差角正弦公式求值即可判断A；利用诱导公式、倍角正弦公式化简求值即可判断B；根据倍角余弦公式化简即可判断C；和角正切公式化简求值即可判断D．
【详解】对于A，由，故A正确；
对于B，由，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：ABC．
15．（2023·全国·高三专题练习）若∈[0，2π]，sinsincscs0，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可．
【详解】解：因为∈[0，2π]，sinsincscscs＝0，
则或，
故选：CD．
16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据条件求出，的值可得答案.
【详解】由条件，，所以，故A正确，B错误；
因为，所以，故C正确，错误，
故选：AC.
三、填空题
17．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中学校考阶段练习）函数的最小正周期为_______．
【答案】
【详解】试题分析：由，得函数的最小正周期为.
考点：三角函数的周期.
18．（2023·高三课时练习）若则tanβ=____．
【答案】
【解析】由，结合已知，应用正切的两角差公式即可求.
【详解】，故答案为：.
19．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）若，则___________.
【答案】
【分析】根据题中条件，由诱导公式以及二倍角公式，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为，
则.
故答案为：.
20．（2023·全国·高三专题练习）__________.
【答案】1
【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式及差角的正弦公式化简作答.
【详解】.
故答案为：1
21．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）已知为锐角，，，则______
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式求解即可.
【详解】因为为锐角，且，所以
所以联立，
解得，
，
，
故答案为: .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·江西·校联考二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用两角差的正弦公式展开再平方得到，从而求出，再由两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，即，
所以，则，
所以
.
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数B．为奇函数
C．为偶函数D．为偶函数
【答案】C
【分析】由题可得，然后逐项判断即得.
【详解】∵
，
∴为偶函数，故A错误；
既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
为偶函数，故C正确；
为奇函数，故D错误.
故选：C.
3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为锐角，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简，求，再求，再由两角差的正切公式求.
【详解】因为，所以，
所以，
又为锐角，，
所以，
解得，
因为为锐角，所以，
又
所以.
故选：A.
4．（2023·山东烟台·统考三模）已知满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两角和与差的正余弦公式和三角函数商数关系化简得，再利用两角和与差的正切公式即可得到答案.
【详解】因为，所以，
即，
显然，两边同除得：
，
，
即，易知，
则，
故选：A.
5．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）若，则（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】根据同角三角函数关系、二倍角公式先化简已知式子，再利用两角和差的正弦公式进行运算即可得答案.
【详解】因为，所以，
即，则
所以
则，即.
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）若，，且，，则的值是（ ）
A． B．
C．或D．或
【答案】A
【分析】先计算和的取值范围，根据取值范围解出和的值，再利用
求解的值.
【详解】∵，∴.
∵，∴，
∴，.
∵，∴，
∴，
∴
.
又∵，
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用，难度一般.解答时，要注意三角函数值的正负问题，注意目标式与条件式角度之间的关系，然后通过和差角公式求解.
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知，，其中，为锐角，则以下命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求解.
【详解】因为 ( 为锐角),
故 , 故 正确;
因为 ,
所以

,
故 B 错误;
由
,
故 ,
故 C 正确;
且 ,
所以 ,
故 D 错误.
故选: AC.
8．（2023·辽宁大连·统考一模）在中，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由化简得到，再逐项判断.
【详解】解：由，
因为，所以，
所以，
所以，不一定为1，A错；
因为，，
∴，
从而有，所以B正确，
又，所以也不一定等于1，C错；
而，D正确；
故选：BD
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）若，，则______．
【答案】
【分析】根据余弦的二倍角公式化简即可求值.
【详解】因为，
所以或，
又，
所以，
故答案为：
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的值是______.
【答案】
【解析】利用诱导公式可求得的值，结合同角三角函数的平方关系可求得的值，再利用两角差的正弦公式和二倍角公式可求得结果.
【详解】由于，且，则，
得，
则.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数值的计算，涉及诱导公式、二倍角公式以及两角差的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．（2023·山东泰安·统考二模）已知，则_______.
【答案】
【分析】利用辅助角公式求得，根据倍角公式和诱导公式化简目标式，即可求得结果.
【详解】因为，故可得，
则
故答案为：.
12．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知，则的值为___________.
【答案】
【分析】根据同角的基本关系可得，再根据正弦的二倍角公式，可得，再根据诱导公式可得，由此即可求出结果.
【详解】因为，，,又因为，
所以
所以,
所以,
.
故答案为：.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，求的值为_____．
【答案】
【分析】注意到，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意范围的确定.
【详解】，则，注意到
，于是
，不妨记
，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：
，而，于是
.
故答案为：.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.
【详解】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
【点睛】易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.
2．（2023秋·江苏南京·高三统考阶段练习）已知，且，则可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由得，化简后可求出，再利用同角三角函数的关系可求出.
【详解】由，得，
所以，
所以，
整理得，
，
所以或，
所以或，
①当时，，，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
②当时，，
因为，所以，
由于，所以解得，
③当时，，
因为，所以，
由于，所以解得，
综上，，或，或，
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
二、填空题
4．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）在中，若，则的最大值为______．
【答案】
【分析】先由题证明得，再化简得，再利用三角函数的图像和性质求出最大值.
【详解】首先证明：在△ABC中，有,
在△ABC中，由余弦定理得，
由正弦定理得，
令，
上述两式相加得
所以
=,
当即时取等.
故答案为：.
5．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知，，则的最大值为________.
【答案】
【分析】依题意利用和差角公式将其变形为，整理可得，再利用基本不等式计算可得.
【详解】解：，，
，，，
，
即，
，即，
所以，
当且，即，等号成立，取得最大值．
故答案为：
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则正常数p的值为________.
【答案】
【解析】设，，根据题意得到，，故，，，解得答案.
【详解】设，.
故，
，故，.
，且，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力，取，，是解题的关键.