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    第28讲 等差数列(精讲)-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

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    第28讲 等差数列(精讲)-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

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    这是一份第28讲 等差数列(精讲)-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用),文件包含第28讲等差数列精讲原卷版docx、第28讲等差数列精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共57页, 欢迎下载使用。


    题型目录一览
    一、知识点梳理
    一、等差数列的有关概念
    1.等差数列的定义
    一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母表示,定义表达式为(常数).
    2.等差中项的概念
    若三个数,,成等差数列,则叫做与的等差中项,且有.
    二、等差数列的有关公式
    1.等差数列的通项公式
    如果等差数列的首项为,公差为,那么它的通项公式是.
    2.等差数列的前项和公式
    设等差数列的公差为,其前项和.
    三、等差数列的常用性质
    已知为等差数列,为公差,为该数列的前项和.
    1.通项公式的推广:.
    2.在等差数列中,当时,.
    3.,…仍是等差数列,公差为.
    4.,…也成等差数列,公差为.
    5.若,是等差数列,则也是等差数列.
    四、等差数列的前n项和公式与函数的关系
    .数列是等差数列⇔(为常数).
    【常用结论】
    1.等差数列中,若,则.
    2.等差数列中,若,则.
    3.等差数列中,若,则.
    4.若与为等差数列,且前项和为与,则.
    二、题型分类精讲
    题型一 等差数列基本量的计算
    策略方法 解决等差数列运算问题的思想方法
    (1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”.
    (2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
    (3)利用性质:运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.
    【典例1】在等差数列中,,,则201是数列的第几项( )
    A.59B.60C.61D.62
    【典例2】在等差数列中,,,则的值为( )
    A.2B.6C.8D.12
    【题型训练】
    一、单选题
    1.(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)已知为等差数列,,则( )
    A.1B.2C.3D.4
    2.(2023·江西赣州·统考二模)等差数列满足,,则( )
    A.5B.7C.9D.11
    3.(2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)在等差数列中,,,则=( )
    A.9B.11C.13D.15
    4.(2023·广西·统考模拟预测)设为等差数列,若,则公差( )
    A.-2B.-1C.1D.2
    5.(2023·四川凉山·三模)在等差数列中,,,则( ).
    A.3B.5C.7D.9
    6.(2023·西藏日喀则·统考一模)中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题:“今有七人差等均钱,甲乙均五十八文,戊己庚均六十文,问乙丁各若干?”,意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人,所分到的钱数成等差数列,甲、乙两人共分到58文,戊、己、庚三人共分到60文,问乙、丁两人各分到多少文钱?则下列说法正确的是( )
    A.乙分到28文,丁分到24文B.乙分到30文,丁分到26文
    C.乙分到24文,丁分到28文D.乙分到26文,丁分到30文
    7.(2023·全国·高三专题练习)等差数列满足,则( )
    A.B.C.D.
    8.(2023·陕西咸阳·统考模拟预测)已知等差数列满足,则的前20项和( )
    A.200B.300C.210D.320
    二、填空题
    9.(2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模)在等差数列中,,,则的公差是 .
    10.(2023·全国·模拟预测)已知等差数列的公差为,且满足,,则数列的通项公式 .
    11.(2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中)等差数列中,,则的值是 .
    12.(2023·全国·高三专题练习)已知等差数列中,,若,则 .
    13.(2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测)已知数列满足:,若为等差数列,则通项公式为 .
    14.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)已知等差数列中,,若在数列每相邻两项之间插入三个数,使得新数列也是一个等差数列,则新数列的第43项为 .
    题型二 等差数列的性质及其应用
    策略方法 利用等差数列的性质解题的两个关注点
    (1)两项和的转换是最常用的性质,利用2am=am-n+am+n可实现项的合并与拆分,在Sn=eq \f(na1+an,2)中,Sn与a1+an可相互转化.
    (2)利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,可求S2m或S3m.
    【典例1】已知等差数列中,,则( )
    A.30B.40C.50D.45
    【典例2】已知和的等差中项是,和的等差中项是,则和的等差中项是
    A.B.C.D.
    【题型训练】
    一、单选题
    1.(2023·全国·高三专题练习)已知数列是等差数列,若,则等于( )
    A.7B.14C.21D.7(n-1)
    2.(2023·全国·高三专题练习)如果等差数列中,,那么( )
    A.14B.12C.28D.36
    3.(2023·全国·高三专题练习)已知等差数列中,,则( )
    A.30B.15C.5D.10
    4.(2023·青海西宁·统考二模)已知,均为等差数列,且,,,则数列的前5项和为( )
    A.35B.40C.45D.50
    5.(2023·全国·高三专题练习)现有茶壶九只,容积从小到大成等差数列,最小的三只茶壶容积之和为0.5升,最大的三只茶壶容积之和为2.5升,则从小到大第5只茶壶的容积为( )
    A.0.25升B.0.5升C.1升D.1.5升
    6.(2023·陕西榆林·统考三模)一个等差数列的前3项之和为12,第4项为0,则第6项为( )
    A.B.C.1D.2
    7.(2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)数列是等差数列,若,,则( )
    A.B.4C.D.
    8.(2023·全国·高三专题练习)从冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列,冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺,前九个节气日影长度之和为尺,则谷雨这一天的日影长度为( )
    A.尺B.尺C.尺D.尺
    9.(2023·全国·高三专题练习)“”是“数列为等差数列”的( ).
    A.充分不必要条件B.充要条件
    C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件
    10.(2023·全国·高三专题练习)公差不为零的等差数列中,,则下列各式一定成立的是( )
    A.B.C.D.
    二、填空题
    11.(2023·全国·高三专题练习)已知等差数列,,=
    12.(2023春·甘肃天水·高三校考开学考试)已知等差数列,, .
    13.(2023·全国·高三专题练习)在等差数列中,,,则 .
    14.(2023·全国·高三专题练习)在等差数列中,是方程的根,则= .
    15.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,且,则 .
    题型三 等差数列的前n项和
    策略方法
    在等差数列中,,…仍成等差数列;也成等差数列.
    【典例1】设是等差数列的前项和,已知,,则( )
    A.16B.18C.20D.22
    【典例2】已知为等差数列的前项和,,则的值为( )
    A.4B.7C.8D.9
    【题型训练】
    一、单选题
    1.(2023·江西赣州·统考二模)已知等差数列中,是其前项和,若,,则( )
    A.7B.10C.11D.13
    2.(2023·全国·高三专题练习)一百零八塔,位于宁夏吴忠青铜峡市,是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群,是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一,塔的排列顺序自上而下,第一层1座,第二层3座,第三层3座,第四层5座,第五层5座,从第五层开始,每一层塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列,总计一百零八座,则该塔共有( )
    A.八层B.十层C.十一层D.十二层
    3.(2023·江西新余·统考二模)记是公差不为0的等差数列的前项和,若,,则数列的公差为( )
    A.B.C.2D.4
    4.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状,后人称为“三角垛”,“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,······,则第十层有( )个球.

    A.12B.20C.55D.110
    5.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)《数书九章》有这样一个问题:有5位士兵按从低到高站成一排(从低到高依次为甲、乙、丙、丁、戊),身高依次成等差数列,已知乙士兵的身高为5尺1寸,这五位士兵身高之和为26尺(1尺为10寸),则丁士兵的身高为( )
    A.5尺2寸B.5尺3寸C.5尺4寸D.5尺5寸
    6.(2023·全国·高三专题练习)记为等差数列的前项和.若,则( )
    A.25B.22C.20D.15
    7.(2023·陕西安康·统考三模)已知等差数列的前项和为,,则( )
    A.6B.12C.18D.24
    8.(2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习)在等差数列{an}中,a3+2a5+a9=10,则数列{an}前10项的和为( )
    A.20B.24C.25D.28
    9.(2023·全国·高三专题练习)在项数为的等差数列中,其前项的和为,最后项的和为,所有项的和为,则( )
    A.B.C.D.
    10.(2023·广东东莞·校联考模拟预测)设为正项等差数列的前项和.若,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    11.(2023·陕西咸阳·统考三模)已知等差数列,的前n项和分别为,,若,则( )
    A.B.C.D.
    12.(2023·全国·高三专题练习)若两个等差数列,的前n项和满足,则( )
    A.B.C.D.
    二、多选题
    13.(2023·全国·高三专题练习)已知等差数列的前n项和为,若,则( )
    A.B.
    C.D.
    14.(2023·辽宁·校联考一模)设等差数列的前项和是,若,则( )
    A.B.C.D.
    三、填空题
    15.(2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习)已知等差数列的前n项和为,,,则公差为 .
    16.(2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测)记等差数列的前n项和为,若,则数列的公差 .
    17.(2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测)若等差数列前项和为,且,,数列的前10项的和为 .
    18.(2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)已知等差数列的前n项和为,且,则 .
    19.(2023·全国·高三专题练习)已知和均为等差数列,,,,则数列的前60项的和为 .
    20.(2023·全国·高三专题练习)设等差数列的前n项和为,若,,,则 .
    21.(2023·全国·高三专题练习)已知两个等差数列和的前n项和分别为,,且,则 .
    题型四 等差数列中与的关系
    策略方法 等差数列中与的关系
    数列的前项和和通项的关系:则
    【典例1】已知数列的前n项和为,满足,则( )
    A.B.C.D.
    【典例2】已知数列的前项和,则
    A. B. C. D.
    【题型训练】
    一、单选题
    1.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和为,满足,则( )
    A.B.C.D.
    2.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和,若,则( )
    A.5B.6C.7D.8
    3.(2023·河南开封·统考一模)已知数列的前项和,若,则( )
    A.B.C.D.
    4.(2023·全国·高三专题练习)已知为数列的前项和,且满足,则( )
    A.27B.28C.29D.30
    5.(2023·全国·高三专题练习)设为数列的前项和.若,则“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    6.(2023·全国·高三专题练习)已知正项数列的前n项和为,且,则( )
    A.4045B.4042C.4041D.4040
    7.(2023·北京·高三专题练习)在无穷正项等差数列中,公差为,则“是等差数列”是“存在,使得”的( )
    A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    8.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前项和,则下列结论正确的是( )
    A.数列是等差数列
    B.数列是递增数列
    C.,,成等差数列
    D.,,成等差数列
    二、多选题
    9.(2023·山西阳泉·统考三模)设无穷数列为正项等差数列且其前n项和为,若,则下列判断正确的是( )
    A.B.C.D.
    10.(2023·全国·高三专题练习)等差数列与的前项和分别为与,且,则( )
    A.当时,
    B.
    C.
    D.
    三、填空题
    11.(2023·河南郑州·模拟预测)已知等差数列的前n项和为,且,则 .
    12.(2023·全国·高三专题练习)数列的前项和,则该数列的通项公式为 .
    13.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和为,且,则数列的通项公式为 .
    14.(2023·全国·高三专题练习)正项数列的前n项和满足,则数列的通项公式为 .
    15.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的前n项和为,且成等差数列,若,则使得,同时成立的k的值为 .
    题型五 等差数列的判定与证明
    策略方法 等差数列的判定与证明的方法
    【典例1】已知数列的前项和为.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)求证:数列是等差数列.
    【题型训练】
    一、单选题
    1.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,且,则( )
    A.B.C.D.
    2.(2023·全国·高三专题练习)记数列的前项和为,则“”是“为等差数列”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    3.(2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测)已知数列各项为正数,满足,,则( )
    A.是等差数列B.是等比数列
    C.是等差数列D.是等比数列
    4.(2023·全国·高三专题练习)已知数列中,,则( )
    A.B.C.D.
    5.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,且,,则( )
    A.B.C.D.
    6.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足:,,.若,则( )
    A.1B.2C.3D.2022
    7.(2023·全国·高三专题练习)已知数列中,,,若,则( )
    A.8B.9C.10D.11
    8.(2023·全国·高三专题练习)数列满足(,),,其前n项和为,若,则( )
    A.47B.46C.45D.44
    二、多选题
    9.(2023·全国·高三专题练习)设数列的前项和为,则下列能判断数列是等差数列的是( )
    A.B.C.D..
    10.(2023·全国·模拟预测)设是数列的前项和.下面几个条件中,能推出是等差数列的为( )
    A.当时,B.当时,
    C.当时,D.当时,
    三、填空题
    11.(2023·江苏南通·高三校联考阶段练习)甲、乙两个机器人分别从相距70的两处同时相向运动,甲第1分钟走2,以后每分钟比前1分钟多走1,乙每分钟走5.若甲、乙到达对方起点后立即返回,则它们第二次相遇需要经过 分钟.
    12.(2023·全国·高三专题练习)在数列中,,,若,则正整数 .
    13.(2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习)已知数列,都是等差数列,且,,则 .
    14.(2023·全国·高三专题练习)记数列的前项和为,若,且,则 .
    四、解答题
    15.(2023·全国·高三专题练习)记数列的前项和为,,,.证明数列为等差数列,并求通项公式;
    16.(2023·全国·高三专题练习)已知正项数列的前项和为,且和满足:.求的通项公式;
    17.(2023·全国·高三专题练习)已知各项均为正数的等差数列的首项为,前项和为,且满足,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)证明数列是等差数列.
    18.(2023·全国·高三专题练习)已知数列{}满足.
    (1)求证:数列是等差数列;
    (2)求数列{}的通项公式.
    ①等差数列基本量的计算
    ②等差数列的性质及其应用
    ③等差数列的前n项和
    ④等差数列中中与的关系
    ⑤等差数列的判定与证明
    方法
    解读
    适合题型
    定义法
    为同一常数 ⇔是等差数列
    解答题中的证明问题
    等差中项法
    成立⇔是等差数列
    通项公式法
    为常数)对任意的正整数都成立
    ⇔是等差数列
    选择、填空题中的判定问题
    前项和公式法
    验证为常数)对任意的正整数都成立⇔是等差数列
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