第七章 数列（综合检测）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．106B．53C．48D．36
【答案】D
【分析】由已知条件可得，再利用等差数列的求和公式及性质即可得解.
【详解】，，
，则.
故选：D
2．已知等比数列满足，，则公比
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】利用以及等比数列的通项公式，化简得到，由此求得的值.
【详解】由及，可得.故选A.
【点睛】本题考查等比数列的性质，考查化归与转化的思想.属于基础题.
3．设是等差数列的前项和.若，则
A．5B．6C．7D．9
【答案】A
【分析】首先根据等差数列的性质得到，再计算即可.
【详解】因为，所以，即.
所以.
故选：A
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查等差数列的前项和，属于简单题.
4．已知等比数列的公比为，前项的和为，且成等差数列，则（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】A
【分析】根据等差中项及等比数列前项和的定义，结合等比数列的通项公式即可求解.
【详解】因为成等差数列，
所以.
因为等比数列的前项的和为，
所以，即，解得，
又因为等比数列的公比为，
所以由得，即，解得或.
故选：A.
5．若等差数列的前项和为，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】推导出，，，由此能求出的最大值．
【详解】∵等差数列的前n项和为，，，，
∴，，
∴，，
的最大值为．
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列的前n项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，一般指冰雹猜想，它是指一个正整数，如果是奇数就乘3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次数，最终回到1．对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】推导出，，由，得，从而，进而或．由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的的值的个数．
【详解】解：由题意知，，
由，得，，或．
①当时，，，或，或．
②若，则，或，
当时，，此时，或，
当时，，此时，或，
综上，满足条件的的值共有6个．
故选：D
7．已知为数列的前项和，且，则下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由已知得， ，两式作差得，再求得 ，，得数列从第2项起构成以为公比的等比数列，求得时，，，代入判断可得选项.
【详解】解：因为，所以，两式作差得，
即，所以，
又，，解得，，
所以数列从第2项起构成以为公比的等比数列，
所以， ，
，
所以，故A不正确，B不正确；
，所以，故C不正确，D正确，
故选：D.
8．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【答案】B
【分析】首先根据累加法得到的通项公式进而得到，并对进行放缩得到.
【详解】由得，因此数列为公比为4，
首项为的等比数列，故，进而根据累加法
得，
，
，
又，
，
令
，
，
，
代入得，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新概念问题，重点是对的放缩.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则（ ）
A．数列第16项为144B．数列第16项为128
C．200是数列第20项D．200不是数列中的项
【答案】BC
【分析】由题意首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第16项及200是否是数列的项即可.
【详解】偶数项分别为2，8，18，32，50，
即，，，，，
即偶数项对应的通项公式为，
则数列的第16项为第8个偶数
即，
故选:BC．
10．数列的前项和为，则有（ ）
A．B．为等比数列C．D．
【答案】ABD
【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列.
【详解】由题得，
两式相减得，即，
当时，，
所以数列从第项起是等比数列，所以，
所以数列的通项为，，
当时，；当时，符合上式，
所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
11．数列的前项和为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．是周期数列C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意，分别求得，得到数列构成以为周期的周期数列，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，数列满足
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；，
归纳可得数列构成以为周期的周期数列，所以A不正确，B正确；
又由，所以C正确；
因为，所以，所以D错误．
故选：BC．
12．已知等比数列的前项积为，公比，且，则（ ）
A．当时，最小
B．
C．存在，使得
D．当时，最小
【答案】BD
【分析】根据题意结合等比数列的性质以及单调性逐项分析判断.
【详解】对于选项B：因为，所以，
又因为，所以，故B正确；
对于选项A、D：因为，
所以，则，
又因为，可得，
则，故，
且，可知数列是单调递增数列，
当时，；当时，；
所以当时，最小，故选项A错误，选项D正确；
对于选项C：因为数列是单调递增数列，且当时，，
所以，故C错误.
故选：BD.
【点睛】关键点睛：项数是关键：解题时特别关注条件中项的下标即项数的关系，寻找项与项之间、多项之间的关系选择恰当的性质解题.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知等差数列的首项，而，则 .
【答案】0
【分析】由，代入即可化简求值.
【详解】等差数列的首项，，则.
故答案为：0.
14．已知等比数列的前n项和为，，则数列的公比 ．
【答案】
【解析】由可得，从而可求公比.
【详解】由可得，故或，
若 故，若，则，
故答案为：.
15．数列满足，，则数列的前项和 ．
【答案】120
【分析】，利用是等比数列可得的通项公式，从而可得．
【详解】，，又，
，数列是首项为，公比为的等比数列，
，，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了等比数列的通项和数列求和，属中档题．
16．已知数列满足.且，设，则数列的前100项和为 ;
【答案】
【分析】根据递推关系，构造等差数列求出通项公式，进而求得的通项公式，再求和；
【详解】由，得，则，
所以数列是为首项，1为公差的等差数列，
则，所以，
则，
所以数列的前100项和为，
故答案为：.
【点睛】根据递推关系构造等差数列是求解本题的关键，同时数列求和时用到裂项相消法.
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知等差数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，求的最小值及取得最小值时的值．
【答案】(1)
(2)取6或7，最小值为
【分析】（1）根据递推公式,带入求得首项.由递推可得作差即可得等差数列的公差,即可得等差数列的通项公式
（2）先求得等差数列的前项和,可得的通项公式,即可求最小值.
【详解】（1）由已知为等差数列，记其公差为，
①当时，所以两式相减可得,
②当时，，所以．
所以，．
（2），
所以，当取与最接近的整数6或7时，最小，最小值为—21．
18．数列的前项和记为，,,,,.
（1）求的通项公式；
（2）求证：对,总有．
【答案】（1）（2）见解析
【分析】（1）根据,,得，两式相减，得出递推关系即可求解；
（2）利用累加法求出，利用裂项求和求出即可得证.
【详解】解：（1）由．可得，
两式相减得，∴，
又，．
故是首项为9，公比为3的等比数列，
∴
（2）
当时，
又符合上式，．
∴．
则
∵，
∴．
【点睛】此题考查求数列通项公式，结合裂项相消求和证明不等式，对常规解法的考查，对计算能及要求较高.
19．设数列的前项和为，已知，且.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）对已知式子化简可得，则，两式相减化简可得，从而可得是等差数列，进而可求出其通项公式，
（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求得.
【详解】（1）由，得，
，
两式相减得，，则有，
两式相减得，，
∴，
数列是等差数列，
当时，，
又，
.
（2），
，
两式相减得
，.
20．已知等差数列的前项和为，，为整数，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)首先根据，得到，，从而列出两个关于公差的不等式，解出公差的取值范围，又是整数，得到的值，最后写出数列的通项公式；
(2)由于前3项为正，从第4项开始为负，得到，所以在对数列前项和时要分情况讨论，分为和两种情况，再依次算出的值.
【详解】解：（1）由于，为整数，所以等差数列的公差为整数，
又，所以，，即：，解得，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）由得：，所以，
当时，；
当时，，
所以；
所以.
【点睛】对于有正负项的等差数列来说，在对其绝对值求和时要注意，要从发生正负改变的哪一项进行分段，再进行分类讨论求出结果.
21．若数列满足，则称数列为“平方递推数列".已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，
(1)证明:数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列;
(2)设，，求数列的前10项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)436
【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可；
（2）求出表达式，再分段求前10项和即可.
【详解】（1）点在函数的图象上，
，，
数列是“平方递推数列”，
因为，
对两边同时取对数得，
数列是以1为首项、2为公比的等比数列；
（2）由（1）知，
所以
所以.
22．已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，求证：.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)证明见解析.
【分析】（1）选择条件①②③，利用给定条件并作变形，再结合求解作答.
（2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助数列单调性推理作答.
【详解】（1）选择①：因为，则，
两式相减得，即，
而，，则，因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
选择②：因为，则，
于是当时，，即，由，得，
即有，因此，，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
选择③：因为，又，
则，即，
显然，于是，即是以1为首项，1为公差的等差数列，
从而，即，因此，而满足上式，
所以.
（2）由（1）知，，，
因此，
则，
显然数列单调递减，于是，则，
所以.