第32练 空间点、直线、平面间的位置关系（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．若直线是平面的一条斜线，则在平面内与垂直的直线（ ）
A．有且只有一条B．有无数条
C．有且只有两条D．不存在
2．下列命题错误的是（ ）
A．不共线的三点确定一个平面B．一条直线和直线外一点，可确定一个平面
C．梯形可确定一个平面D．圆心和圆上两点可确定一个平面
3．如图所示，用符号语言可表达为（ ）

A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
4．如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（ ）

A．B．C．D．
5．已知 表示不同的点， 表示直线， 表示不同的平面， 则下列推理中错误的是（ ）
A．
B．
C． 直线 与直线是异面直线
D．
6．三条直线两两相交，最多可以确定平面（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中，，，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．b与c是异面直线B．a与c没有公共点
C．D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面平行
B．和同一条直线都相交的两条直线一定相交
C．经过空间中三个点有且只有一个平面
D．经过两条相交直线有且只有一个平面
9．在以下四个图中，直线a与直线b平行的位置关系只能是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与 BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是（ ）
A．梯形B．空间四边形
C．正方形D．有一内角为60°的菱形
11．在正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
12．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
13．如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（ ）
A．点AB．点C．点但不过点D．点和点
14．已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ）
A．B．
C．D．
15．如图，在正三棱柱中，若则与所成角的大小为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
16．下列说法错误的有（ ）
A．三点确定一个平面
B．平面外两点A、B可确定一个平面与平面平行
C．三个平面相交，交线平行
D．棱台的侧棱延长后必交与一点
17．我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
18．如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱中点，则A、B、C、D四点共面的图形（ ）
A．B．
C．D．
19．已知直线a，b和平面，且，，则a与b的关系可以为（ ）
A．平行B．相交C．异面D．垂直
20．如图所示是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是
A．与平行B．与为异面直线
C．与成60°角D．与垂直
21．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是（ ）
A．B．与所成的角为60°
C．与是异面直线D．平面
22．在空间四面体中，如图，分别是的中点，则下列结论一定正确的为（ ）
A．B．
C．与相交D．
23．如图，在正方体中，P，Q分别是棱的中点，平面平面，则下列结论中不正确的有（ ）
A．l过点
B．l不一定过点
C．的延长线与的延长线的交点不在l上
D．的延长线与的延长线的交点在l上
三、填空题
24．如图，在长方体中，，，，是的中点，则异面直线与所成的角等于

25．在正方体中，为面的中心，则平面与平面的交线为 .
26．在空间四边形的边，，，上分别取点，，，，如果，相交于一点，那么一定在直线 上.
27．在如图所示的正方体中，下列说法中正确的是 ．
①点平面ABCD；②点平面；③点直线；④平面ABCD于点E；⑤平面于点F．
28．已知点，直线与平面，现有下列命题：
①∵，，∴；
②∵，，∴；
③∵，，∴；
④∵，，∴；
⑤∵，，且，，∴.
其中，符号表示和推理都正确的命题序号是 .
29．如图，在正方体中，下列说法正确的个数是 ．
①直线在平面上；
②由点A、O、C可以确定一个平面；
③直线与点D不能确定一个平面；
④由点A、、确定的平面与由点A、、D确定的平面是同一平面．
30．如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论：
①A、M、O三点共线； ②A、M、O、不共面：
③A、M、C、O共面； ④B、、O、M共面，
其中正确的序号为 ．
31．如图，已知AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且，若该圆柱的底面圆直径是其母线长的2倍，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为 ．
32．如图，在正四面体中，面，则在平面内过点与直线成角的直线共有
33．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为上一点，且，则异面直线与所成的角的大小为 ．
34．已知直三棱柱的侧棱与底面边长都相等，D，F分别是和的中点，那么异面直线BD和AF所成角的余弦值等于 ．
35．在正三棱锥中，异面直线PA与BC所成角的大小为 .
36．如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于 .
37．如图，直三棱柱所有棱长均为2，M为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .

38．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，，则异面直线BD与AC所成的角为 .

39．在正四棱锥中，若高为1，底面边长为2，E为BC的中点，则异面直线PE与DB所成角的大小为 ．
四、解答题
40．正方体 中， M，N ，Q ，P 分别是AB ，BC ， ， 的中点．
（1）证明：M，N ，Q ，P 四点共面．
（2） 证明：PQ，MN ，DC三线共点．
41．如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
42．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AA1，AB的中点．
(1)求证：四边形EFCD1是梯形；
(2)证明：直线D1E，DA，CF共点．
43．如图，在棱长为1的正方体中，G､M分别是棱､BC的中点.
(1)证明：A､M､G､共面；
(2)求四边形的周长.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交
B．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面
C．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线
D．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行
2．一封闭的正方体容器，P，Q，R分别是AB，BC和的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
3．在正四棱锥中，，M为棱PC的中点，则异面直线AC，BM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．一个正方体纸盒展开后如图所示，在关于原正方体纸盒的下列结论中正确的是（ ）

A．B．C．D．
5．如图，在正方体中，为棱的中点．设与平面的交点为，则（ ）
A．三点 共线，且
B．三点不共线，且
C．三点共线，且
D．三点不共线，且
6．在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直三棱柱中，，，，D是的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知正四面体，为中点，为中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．－C．D．
9．如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形B．当时，为等腰梯形
C．当时，为六边形D．当时，的面积为
10．在正方体中，E为的中点，平面与平面的交线为l，则l与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．已知在正四面体中，、、、分别是棱，，，的中点，则（ ）
A．平面B．
C．平面D．、、、四点共面
12．如图，在正方体中，分别为的中点，则以下结论正确的是（ ）

A．
B．平面平面
C．平面
D．异面直线与所成角的余弦值是
13．如图，在棱长为2的正方体中，点为底面的中心，则（ ）

A．与异面的面对角线共有8条
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．若为正方体内的一个动点，且，则的最小值为
14．如图，在所有棱长均为2的正三棱柱中，点是棱的中点，，过点作平面与平面平行，则（ ）
A．当时，截正三棱柱的截面面积为
B．当时，截正三棱柱的截面面积为
C．截正三棱柱的截面为三角形，则的取值范围为
D．若，则截正三棱柱的截面为四边形
15．如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ）
A．直线AM与是相交直线
B．直线BN与是异面直线
C．AM与BN平行
D．直线与BN共面
16．如图，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．，，三点共线B．，，，四点共面
C．，，三点共线D．，，，四点共面
三、填空题
17．下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是 .
18．在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近点的三等分点，点Q为棱CD上一动点.若M为平面与平面ABCD的公共点，且点M在正方体的表面上，则所有满足条件的点M构成的区域面积为 .
19．如图，在直三棱柱中，D为的中点，，，则异面直线BD与AC所成的角的余弦值 ．
20．如图，在棱长为的正方体中，分别是正方形的中心，在线段上，，则过点的正方体的截面的面积是 ．
21．在三棱锥P­ABC中，和均为等边三角形，且二面角的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为 ．
22．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且所在的平面互相垂直.可以滚动的弹珠M，N分别从A，F出发沿对角线AC，FB匀速移动，已知弹珠N的速度是弹珠M的速度的3倍，且当弹珠N移动到B处时试验终止，则弹珠M，N间的最短距离是 .

23．在长方体中，，，则异面直线，所成的角的余弦值为 .
四、解答题
24．已知正方体的棱长为1，E、F分别为、的中点，
（1）求证∶直线与直线是异面直线
25．如图，在四面体ABCD中，E、H、F、G分别是边AB、AD、BC、CD的中点．
(1)求证：BC与AD是异面直线；
(2)求证：EG与FH相交．
26．如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，
(1)求证：四点共面；
(2)求证:EF，HG，DC三线共点.
27．如图所示，在正方体中，分别是的中点.求证：
(1)三线共点；
(2)直线和直线是异面直线.
28．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证：
(1)点E，F，G，H四点共面；
(2)直线EH，BD，FG相交于一点．
29．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.
30．如图，在长方体中，、分别是和的中点．
(1)证明：、、、四点共面；
(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；
(3)证明：、、三线共点．
31．已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）．
(1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线；
32．如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点．
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．设是正方体的对角面（含边界）内的点，若点到平面、平面、平面的距离相等，则符合条件的点
A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在
2．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，存在点P使得CPBA1
B．当时，不存在点P使得B，P，C1三点共线
C．当时，不存在点P使得A1，B1，C，P四点共面
D．当时，存在点P使得A1B⊥AP
3．如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）

①平面平面 ②与的夹角为定值
③三棱锥体积最大值为 ④点的轨迹的长度为
A．①②B．①②③C．①②④D．②③④
4．已知四面体的所有棱长都相等，其外接球的体积等于，则下列结论正确的个数为（ ）
①四面体的棱长均为2
②四面体的体积等于
③异面直线与所成角为
A．0B．1C．2D．3
5．如图，点M，N分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1，BB1的中点，以正方体的六个面的中心为顶点构成一个八面体，若平面D1MNC1将该八面体分割成上、下两部分的体积分别为V1、V2，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（ ）

A．
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到直线的距离为
7．已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，下列叙述正确的有（ ）
A．点、到正方体个表面的距离分别为、，则为定值
B．线段在正方体个表面的投影长度为，则为定值
C．正方体个顶点到直线的距离分别为，则为定值
D．直线与正方体条棱所成的夹角的，则为定值
8．在棱长为1的正方体 中， 为底面的中心，是棱 上一点，且，， 为线段 的中点，给出下列命题，其中正确的是（ ）
A． 与 共面；
B．三棱锥 的体积跟的取值无关；
C．当时， ；
D．当时，过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面的周长为．
三、填空题
9．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个
10．正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ．

11．已知异面直线所成角为，直线与均垂直，且垂足分别是点.若动点，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是 ;
12．在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近的三等分点，在平面上，且满足，在的边界上运动，则直线与所成角的余弦值的取值范围是 .
13．正三棱台，，D､E､F为棱､､中点，平面ABD､平面BCE､平面ACF交于点O，则 .（注：V代表几何体体积）
四、解答题
14．如图，在正方体中，是的中点，画出过点，的平面与平面的交线，并说明理由.
15．在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别是AB、BC边上的点，且.
(1)求证：E、F、G、H四点共面；
(2)若平面EFGH截四面体ABCD所得的五面体的体积占四面体ABCD的，求k的值.