素养拓展24 立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】高考数学高频考点题型归纳（新高考通用）

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一、知识点梳理
一、外接球
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．
二、内切球
球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．
【常用结论】
①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2)．)，秒杀公式：R2＝eq \f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：
②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝eq \f(x2＋y2＋z2,8)(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．

④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，．

⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋h－m 2，))解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－eq \f(l2,4)(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)

⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R＝eq \f(h2＋r2,2h)(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)

⑦内切球思路：以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．
方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·r＋eq \f(1,3)S△PAB·r＋eq \f(1,3)S△PAC·r＋eq \f(1,3)S△PBC·r＝eq \f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；
第三步：解出r＝eq \f(3VP－ABC,SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBC)＝eq \f(3V,S表)．
二、题型精讲精练
【典例1】（2023·浙江·高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是 ．
【答案】
【解析】如图所示：
因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为，
则正四面体为，
设球的半径为R，则，
解得，
所以则正方体的棱长为，
所以正四面体的棱长为，
故答案为：
【典例2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设四面体的外接球的半径为,
则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，
则故，
故四面体ABCD外接球的体积为，
故选：C
【典例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，因为，所以.
于是（是外接圆的半径），.
又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，
所以球的半径为.
所以球的表面积为，解得.
因此.
于是直三棱柱的表面积是
.
故选：D.
【典例4】（2023·安徽宣城·高三统考期末）在三棱锥中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且，则三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】根据已知，底面是边长为3的等边三角形，平面，
可得此三棱锥外接球，即以为底面以为高的正三棱柱的外接球．
设正三棱柱的上下底面的中心分别为，则外接球的球心为的中点，
的外接圆半径为，，
所以球的半径为，
所以四面体外接球的表面积为，
故答案为：．
【典例5】（2023·四川乐山·高三期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】如图，
取BC中点G，连接AG,DG，则，，
分别取与的外心E,F分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心，
由，
所以正方形OEGF的边长为，则，
所以四面体的外接球的半径，
球O的表面积为．
故答案为：．
【典例6】（2023·山东滨州·高三校考期中）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，是正四棱锥的高，而，则，
，显然正四棱锥的外接球的球心O在直线上，
令，则，
在中，，解得，
所以该四棱锥的外接球体积为.
故答案为：
【典例7】（2023·高三课时练习）边长为的正四面体内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为，
，
设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为，
由等体积法可得，解得，
因此，该正四面体的内切球的体积为.
故选：D.
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国·统考高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2023·全国·统考高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
【题型训练2-刷模拟】
一、单选题
1．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱中， ， ，则该直三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·四川眉山·高三校考阶段练习）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河南郑州·校联考二模）如图，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．B．C．D．
6．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知是边长为4的等边三角形，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·山西吕梁·统考二模）在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·四川成都·校联考二模）在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为（ ）
A．B．3C．D．4
9．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，侧棱平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥的底面是矩形，高为，，，，，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知在三棱锥中，，，平面，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球O内接三棱锥，平面，.若，球O表面积为.则三棱锥体积最大值为（ ）
A．1B．C．D．
14．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知四面体ABCD满足，，，且该四面体ABCD的外接球的球半径为，四面体的内切球的球半径为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·河南·统考三模）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为V1，它的内切球的体积为V2，则（ ）

A．B．C．D．
17．（2023·福建宁德·校考模拟预测）将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（ ）
A．B．
C．D．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）

A．B．
C．D．
19．（2023·全国·高三专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·湖北·统考二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
21．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知正三棱锥P—ABC的底面边长为3，高为，则三棱锥P—ABC的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，其内切球的半径为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
23．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知正三棱锥中，，其内切球半径为r，外接球半径为，则（ ）
A．B．C．D．
24．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
25．（2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，，平面，，四棱锥的外接球的表面积为 ．
26．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知正三棱柱的底面边长为6，三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的表面积为 .
27．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）正三棱锥底面边长为为的中点，且，则正三棱锥外接球的体积为 .
28．（2023·河南·统考模拟预测）在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
29．（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）三棱锥中，在底面的射影为的内心，若，，则四面体的外接球表面积为 .
30．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）在中，，，将绕着边BC逆时针旋转后得到，则三棱锥的外接球的表面积为 .
31．（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）四棱锥中，底面为菱形，底面，，若，，则三棱锥的外接球表面积为 .
32．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在边长为2的正方形中，分别为线段，的中点，连接，将分别沿折起，使三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球的表面积为 .

33．（2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）已知一个圆台内切球的半径为，圆台的表面积为，则这个圆台的体积为 .
34．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为 .
35．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的体积为
36．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，四边形为平行四边形，，，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球表面积为 ．

37．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 .
38．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积为，则该四棱锥体积的最大值是 ．