第38练 两条直线的位置关系（精练：基础+重难点）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．直线的斜率与y轴上的截距分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线方程求出斜率及截距即可.
【详解】直线的斜率为，
令，则，
所以直线在y轴上的截距为.
故选：B.
2．过两点的直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由倾斜角与斜率及两点坐标的关系可求.
【详解】设直线斜率为，则，
故选：D.
3．直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据截距的定义计算即可.
【详解】令，解得，故；
令，解得，故．
故选：B
4．已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.
【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即，
将各个选项中的坐标代入直线方程，
可知点，，都在直线l上，点不在直线l上．
故选：D．
5．点，P在直线上，，则P点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由点到直线的距离，可判断满足条件的点的个数.
【详解】因为点到直线的距离为，
所以P点的个数是1个.
故选：B.
6．若两直线与互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据一般式直线方程垂直的公式，即可求解.
【详解】由题意可知，两直线垂直，则，得.
故选：A
7．一条光线从点射出，与轴相交于点，则反射光线所在直线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出点关于轴对称点坐标，直线即为反射光线所在直线，由直线方程中令得纵截距．
【详解】关于轴的对称点为，则反射光线所在直线为.
因为，所以反射光线所在直线的方程为.
令，得反射光线所在直线在轴上的截距为.
故选：C．
8．已知直线：，：，若，则（ ）
A．1B．－1或－3C．1或3D．3
【答案】D
【分析】利用两直线平行一般式方程的系数关系求解即可.
【详解】，，，
当，即时，，此时与不平行，
当，即时，有，解得，
经检验符合题意.
.
故选：D.
9．直线：，：，则“或”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】由充分条件和必要条件的定义
【详解】当时，直线：，：，两直线倾斜角分别为和，；
当时，直线的斜率为，的斜率为9，，.
充分性成立，
直线：，：，若，
则有，解得或.
必要性成立.
所以“或”是“”的充要条件.
故选：C
10．已知直线与平行，则与的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由两直线平行的充要条件先求出参数，即可求出直线的方程，然后由两平行线之间的距离公式即可求解.
【详解】由题意直线与平行，
因此，解得，
所以即为，
由两平行线之间的距离可知与的距离为.
故选：D.
11．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得到交点坐标为，从而得到，再解不等式组即可.
【详解】，即交点为.
因为交点在第一象限，所以.
故选：A
12．若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线的斜率与夹角的关系求解；
【详解】由题意知，，
解得：.
故选：A.
13．已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求得直线和直线的斜率，再利用数形结合法求解.
【详解】解：如图所示：

，
由图象知：当的斜率不存在时，直线与线段相交，
故的斜率的取值范围为.
故选：D.
14．直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可.
【详解】，
所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角，
设直线l的倾斜角为，则
因为，所以或舍去
设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，，
由，得，
故直线l的方程可能是，显然ABD不符合，
，或，
故选：C
15．已知点，，若直线：与线段有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线：过定点，求出，再根据直线：与线段有公共点，利用数形结合法求解.
【详解】解：如图所示：

直线：过定点，，
因为直线：与线段有公共点，
所以，
故选：D
16．如果，，那么直线不通过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】判断直线在x轴和y轴上截距的正负，作出直线的图象可得出结论．
【详解】如果，，则，
可知：直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，
如下图所示：

所以直线不通过第二象限．
故选：B．
二、多选题
17．已知直线：，下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线的倾斜角为B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则
C．，原点到直线的距离为5D．直线与直线垂直，则
【答案】AD
【分析】求出直线方程，即可求出斜率与倾斜角，即可判断A，分直线经过原点和不过原点，即可判断B，求出直线过定点坐标，即可判断C，由两直线垂直斜率之积为，求出直线的斜率，即可判断D.
【详解】对于A，若，直线的方程为，即，
则斜率为，所以其倾斜角，故A正确；
对于B，当直线经过原点时，即，解得，则直线方程为，在两坐标轴上截距相等，都为，
当直线不经过原点时，则，即，
若直线的在两坐标轴的截距相等，必有，解可得，符合题意，
故或，即B错误；
对于C，直线，即，
令，解得，直线恒过点，
设，则，
所以原点到直线的距离，不存在满足条件，故C错误；
对于D，若直线与直线垂直，则直线的斜率，则有，解可得，故D正确；
故选：AD．
18．已知直线，其中，则（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【分析】对于A，求出直线方程，根据斜率的关系判断，对于B，由两直线平行直接列方程求解判断，对于C，由求出的值可得直线过的定点，对于D，当时，求出直线方程，然后求出直线在两坐标轴上的截距进行判断.
【详解】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为－1，
所以当时，直线与直线垂直，所以A正确；
对于B，若直线与直线平行，则，解得或，所以B错误；
对于C，当时，，与无关，故直线过定点，所以C正确；
对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，
故选：AC．
19．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．点关于直线的对称点为
C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
D．直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为
【答案】ABD
【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系、关于直线对称的性质、方向向量的定义逐一判断即可.
【详解】对A：直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故A正确；
对B：点和的中点在直线上，且连线的斜率为，
可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确；
对C：设直线与轴交点为，则与轴交点为，
当时，直线过原点，斜率为，故方程为；
当时，直线的斜率，故直线方程为，
即，故C错误；
对D：设直线的倾斜角为，则，
又因为，故，故D正确，
故选：ABD.
20．下列结论错误的是（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．过两点的直线方程为
【答案】ACD
【分析】对A，利用斜率得到角度；对B，根据斜率乘积为-1，计算可得；对C，利用平行线之间的距离公式计算可判断；对D，直线方程两点式成立条件即可判断.
【详解】对A，设直线倾斜角为，则，所以倾斜角不是，故错误；
对B，由两条直线垂直，则，故正确；
对C，直线，即，
所以与直线之间的距离是，故错误；
对D，过两点的直线方程为，故错误.
故选：ACD
三、填空题
21．请写出直线的一个方向向量 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据直线方向向量的定义运算求解.
【详解】令，则，解得，可得点，
令，则，解得，可得点，
所以直线的一个方向向量.
故答案为：.
22．若直线与直线垂直，则实数 .
【答案】
【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得，
故答案为：.
23．使三条直线，，不能围成三角形的实数m的值为 ．
【答案】或或
【分析】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形，由此求出m的值，即得答案.
【详解】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形．
若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为，
把代入到直线，得；
若有两条直线平行或重合时，有两条直线的斜率相等，这三条直线的斜率分别为，
所以或．
综上，或或时，直线，，不能围成三角形,
故答案为：或或
24．直线与直线平行，则 .
【答案】－2
【分析】利用两直线平行：斜率相等，纵截距不等即可求出结果.
【详解】由，得到，
因为，所以，由，得到
所以，即，解得，
故答案为：.
25．已知点P，Q的坐标分别为，，直线l：与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求出的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答案.
【详解】如下图所示，

由题知，
直线过点.
当时，直线化为，一定与相交，所以，
当时，，考虑直线的两个极限位置.
（1）经过，即直线，则；
（2）与直线平行，即直线，则，
因为直线与的延长线相交，
所以，即，
故答案为：
26．已知点，，若直线与线段（含端点）相交，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，数形结合求得实数k的取值范围．
【详解】由可得，可知直线为过定点，斜率为的直线，
可得，
若直线与线段（含端点）相交，则或，
所以k的取值范围为.
故答案为：.

27．已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ．
【答案】
【分析】设直线的方程为，由题意可得，根据三角形的面积公式及基本不等式即可求解.
【详解】依题意，设直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
则直线的方程为，
直线过点，，
，
，
，即，
当且仅当， 即 时取等号，
面积最小值为.
故答案为：.
28．已知直线，则点关于l的对称点的坐标为 .
【答案】
【分析】设对称点，根据线段中点在直线上，所在直线与直线垂直，即斜率相乘为，代入坐标即可求解.
【详解】设对称点，线段中点为，
则，解得，
点关于直线的对称点坐标为.
故答案为：.
29．若，，点在线段（含端点）上移动，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由表示动点与定点之间的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】因为，，可得直线的方程为，
又由表示动点与定点之间的距离，
由点到直线的距离公式，可得，
又由，则过点与垂直的直线的斜率为，
此时直线方程为，即，
联立方程组，解得，满足题意，
所以的最小值为.
故答案为：.
30．已知直线，若直线的倾斜角，求实数的取值范围
【答案】
【分析】根据直线斜率与倾斜角的之间的关系，结合正切函数的性质进行求解即可.
【详解】由直线的方程可知该直线的斜率为，
所以有，
因为，
所以，
因此实数的取值范围为，
故答案为：
31．光线由点射到直线上，反射后过点，则反射光线所在直线的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】首先求点关于直线的对称点，再根据点也在反射光线上，即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点，
则，解得：，即，
点在反射光线上，则，
，整理为，
所以反射光线所在直线方程的一般式为.
故答案为：
32．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是
【答案】
【分析】由两直线垂直，可求出a的值，又垂足为两直线交点，列方程组求解可得b，c的值，从而即可得答案.
【详解】因为两直线互相垂直，所以，解得，
又垂足既在前一条直线上，也在后一条直线上，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
33．直线的方程为： ，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，分类讨论，当或时，根据直线不经过第二象限，列出不等式方程，计算可得答案.
【详解】（1），即时，直线为，满足不经过第二象限；
（2），即时，直线的方程化简为：，不经过第二象限，则有，解得；
综上，得时满足不经过第二象限.
故答案为：
34．如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点，若光线经过的重心，则 长为 .

【答案】
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，得到直线的方程和的重心，设分别是点关于直线和轴的对称点，设，求得，结合，求得的值，即可求解.
【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则，
所以直线的方程为，且的重心，
设分别是点关于直线和轴的对称点， 设，
设，可得，解得，即，
又由，根据光的反射原理，可知四点共线，
所以，即，解得，即长为，所以长为.
故答案为：.

【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．已知直线，互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】A
【分析】根据两一般式直线相互垂直求的值，注意验证求得的值是否满足直线方程.
【详解】因为直线，互相垂直，
所以，所以 或，
当，直线不存在，故.
故选：A
2．已知点到直线l：的距离为d，则d的可能取值是（ ）
A．0B．1C．D．4
【答案】AB
【分析】根据直线过定点求出点P到直线的最大距离即可判断选项.
【详解】由，
解方程组，
即直线过定点，则，
显然，即C、D错误，A、B正确.
故选：AB
3．一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解.
【详解】入射光线所在的直线方程为，即，
联立方程组解得即入射点的坐标为．
设关于直线对称的点为，
则解得，即．
因为反射光线所在直线经过入射点和，
所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，即．
故选：D.
4．汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后的光线所在的直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．B．或1C．1D．2
【答案】C
【分析】由对称性可知反射光线过且又在该圆上，即可得为切点，再由斜率乘积为即可求出答案.
【详解】易知关于轴的对称点为，
由平面镜反射原理，反射光线所在的直线过且与该圆相切，
将圆化简后可得，所以圆心，
易知在该圆上，所以即为切点，
因此圆心与切点连线与反射光线垂直，设反射光线所在直线的斜率为，
即，解得
故选：C．
5．已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线所过定点，再由及直线系表示的直线可求出结果.
【详解】当时，直线过点，到的距离为；
由直线，可得，
由，可解得，
即直线过定点，
则，，
当直线与直线垂直时，最大，
令，m的值不存在，即这样的直线l不存在，
所以．
故选：B．
6．不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案.
【详解】由可得：，
令，解得：，
所以，设直线关于点的对称直线方程为：，
则到直线与的距离相等，
所以，解得：，即（舍去）或.
故直线关于点的对称直线方程为：.
故选：D.
7．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出直线过的定点，利用数形结合方法求出直线的斜率范围，进而求出倾斜角范围.
【详解】直线，由，解得，即直线过定点，
设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，
显然直线的斜率为，直线的斜率为，
由于直线经过点，且与线段总有公共点，则，即，
又，于是，因此或，
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D
8．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】直线的方程可得，所以，直线过定点，
设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，即，因为，所以或，
故直线的倾斜角的取值范围是．
故选：D．
9．直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程.
【详解】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为，
而，，又由二倍角公式，
所以有，整理得，解得或（舍去），
所以设直线的方程为，
则直线与坐标轴分别交于，
所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，
解得，所以设直线的方程为，
当时，它可以变形为.
故选：C.
10．已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线系所过定点，再由及直线系表示的直线可求出结果.
【详解】由直线，可得，
由可解的，
即直线过定点，
则,
当与直线垂直时，，当直线过点，即时，，
又直线无论取何值，不能表示直线，
所以，
故选：B
11．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出直线过的定点，利用数形结合方法求出直线的斜率范围，进而求出倾斜角范围.
【详解】直线，由，解得，即直线过定点，
设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，
显然直线的斜率为，直线的斜率为，
由于直线经过点，且与线段总有公共点，则，即，

又，于是，因此或，
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D
12．已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，由三角形相似得到，当三点共线时，取得最小值，利用两点间距离公式求出最小值.
【详解】取，连接，
则，又，
所以，
又，故∽，
故，从而，
所以，
当三点共线时，取得最小值，
最小值为.
故选：C
二、多选题
13．满足下列条件的直线与，其中的是（ ）
A．的倾斜角为，的斜率为
B．的斜率为，经过点，
C．经过点，，经过点，
D．的方向向量为，的方向向量为
【答案】BCD
【分析】根据直线斜率之积为判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D.
【详解】对A，，，，所以A不正确；
对B，，，故B正确；
对C，，，，故C正确；
对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确.
故选：BCD
14．已知直线：，：，则（ ）
A．若，则的一个方向向量为B．若，则或
C．若，则D．恒过定点
【答案】AC
【分析】将代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断选项B、C；将化简得，结合一次函数的性质可判断D.
【详解】对于A，当，直线：，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确；
对于B，若，当时，显然不符合题意，
当时，即直线的斜率为，直线的斜率为，则有，
所以，解得或；
当时，直线：，：，显然两直线重合，故B错误；
对于C，若，当时，显然不符合题意；
当时可得，解得，即C正确；
对于D，将化简得，可知当时，直线过，即不论为何值时，直线恒过定点，即D错误；
故选：AC
15．已知直线过直线和的交点，且原点到直线的距离为3，则的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】先求得和的交点坐标，然后根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合原点到直线的距离确定正确答案.
【详解】由解得，即交点为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时原点到直线的距离为，符合题意，A选项正确.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即，
由解得，
直线的方程为，C选项正确.
故选：AC
16．下列结论错误的是（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是6
【答案】ACD
【分析】求出斜率判断A；利用两直线垂直关系求出a判断B；求出平行线间距离判断C；利用对称思想求出最小值判断D作答.
【详解】对于A，直线的斜率，其倾斜角小于，A错误；
对于B，由直线与直线垂直，得，解得，B正确；
对于C，直线化为，因此两平行直线的距离，C错误；
对于D，点关于x轴的对称点为，连接交x轴于点，点是x轴上任意一点，

连接，于是，
当且仅当点与重合时取等号，因此，D错误.故选：ACD
17．已知直线，则下列表述正确的是（ ）
A．当时，直线的倾斜角为45°
B．当实数变化时，直线恒过点
C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1
D．原点到直线的距离最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；B选项，将直线方程整理为，由此可得直线所过定点；C选项，由题可得，后由平行直线距离公式可判断选项；D选项，根据直线恒过点判断即可.
【详解】A选项，当时，直线方程为，可得直线斜率为1，则倾斜角为45°，故A正确；
B选项，由题可得，则直线过定点，故B正确；
C选项，因直线与直线平行，则，解得，则直线方程为：，即.
则与直线之间的距离为，故C错误；
D选项，因为直线恒过点，故原点到直线的距离，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ABD
18．已知点，，直线上存在点P满足，则直线l的倾斜角可能为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】BD
【分析】将、两点代入直线的方程，可知点、不可能同时在直线上，又，可判断出点的轨迹即为线段，把原问题转化为直线与线段恒有公共点问题，再求出两个临界值，即可判断.
【详解】将点代入直线得，再将点代入直线得，故点、不可能同时在直线上，
又，且，
点的轨迹为线段，即直线与线段恒有交点，
又直线，
直线恒过定点，作出示意图：
此时，，
故直线的斜率的取值范围为：，且直线的斜率存在，
故直线的倾斜角的取值范围为：，
故选：BD.
三、填空题
19．设不同直线，，则“”是“”的 条件.
【答案】充要
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行的判定推理作答.
【详解】当时，两直线方程为，，有，因此，
当直线时，显然，于是，解得，
所以“”是“”的充要条件.
故答案为：充要
20．将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则 ．
【答案】1
【分析】根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可.
【详解】设点为点，点为点，所以线段的中点为.
设点为点，设点为点，所以线段的中点为，
由题意可知，
于是有： ，
故答案为：1
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系.
21．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在直线方程为，则直线的方程为 .
【答案】.
【分析】由题意可知，点在上，可设点的坐标是，则由的中点在直线上，可求出，从而可得，然后设关于直线的对称点为，列方程组可求出的坐标，由题意可知在直线上，从而可求出直线的方程.
【详解】由题意可知，点在上，可设点的坐标是，
则的中点在直线上，
所以，解得，所以，
设关于直线的对称点为，则有，解得，即，
则由在直线上，得直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
故答案为：
22．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 .
【答案】
【分析】联立直线方程得交点坐标，再利用垂直关系及点斜式方程求解即可.
【详解】联立，解得，即交点坐标为.
因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为，
所以所求的直线方程是：，即.
故答案为：.
23．已知点、，在直线上，则的最小值等于 .
【答案】12
【分析】求出关于的对称点的坐标，则即为的最小值.
【详解】设关于的对称点为
则，解得，，
，则，所以的最小值是12.故答案为：.
24．设，则直线与围成的三角形的面积的最大值为 ．
【答案】2
【分析】由直线方程确定直线，且直线过定点，直线过定点，定点都在直线上，这样设直线交于，得出三条直线围成直角，利用基本不等式可得的最大值，从而得三角形面积最大值．
【详解】由题知直线，且直线过定点，直线过定点，点在直线上．
设直线交于，则三条直线围成的三角形为，且，
所以．
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以．
故答案为：2.
25．已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则的面积取最小值时直线的方程为 ．（答案写成一般式）
【答案】
【分析】把直线方程设出来，然后求出两点的坐标，进而写出的面积，然后通过基本不等式即可求出面积的最小值,进而得到答案.
【详解】因为直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，则可设直线的斜率为，且，
所以直线的方程为：即，
令，得到，所以；令，得到，所以.
由，则三角形AOB的面积为
,
当且仅当,即，因为，所以，
所以直线方程为.
故答案为：.
26．已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为 .
【答案】或
【分析】根据直线与直线的位置关系，分类讨论，可得其斜率之间的关系，求得斜率，可得答案.
【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为，
当直线时，显然点，到直线的距离相等，如下图：

则此时，由，且直线过，
则直线的方程为，整理可得；
当直线与直线相交时，作于，于，如下图：

若，由，，则，
可得，即为的中点，其坐标为，
此时直线的斜率，直线的方程为，整理可得.
故答案为：或.
27．是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，当面积最小时，点的坐标是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，设出点的坐标，并表示出点的横坐标，再列出三角形面积的关系式，利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，设，，则，
而，则有，显然，于是，
由点在x轴正半轴上，得，面积
，当且仅当，即时取等号，
所以当面积最小时，点的坐标是.
故答案为：

【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知向量满足，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用直角坐标系将向量转化为坐标，进而转化为点关于直线对称，从而求出结果.
【详解】
建立如图所示直角坐标系，其中,
则令，
设，则，
，，
，
问题等价于当点在线段上运动时，求的最小值，
设点关于的对称点为，
则，解得，
,
当且仅当为直线与线段的交点时取得最小值.
这时由，得，符合题意.
故选：D.
2．若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题：
①若，则必存在两个“伴随角”；
②若，则必不存在“伴随角”；
则下列判断正确的是（ ）
A．①正确②正确；B．①正确②错误；
C．①错误②正确；D．①错误②错误.
【答案】B
【分析】将已知方程变形为，则为直线与单位圆的交点.用圆心到直线的距离解决问题
【详解】将已知方程变形为，
则为直线与单位圆的交点.
考虑圆心到直线的距离
，其中.
对于①，若，则，于是，即，
直线与圆必有两个不同交点，
为直线与单位圆的交点，
故必存在两个“伴随角”，即①正确；
对于②若，则，于是，
即直线与圆可能公共点，故可能存在“伴随角”，即②错误；
综上，①正确②错误，
故选:B.
【点睛】关键点点睛: 把转化为直线与单位圆的交点是解题的关键点.
3．已知函数，给出下列四个结论：
①函数的图像是轴对称图形； ②函数在上单调递减；
③函数的值域是； ④方程有4个不同的实数解．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据函数解析式的几何意义，数形结合判断选项正误.
【详解】表示x轴上的点到，和的距离之差的绝对值.
对于①，当点在左右对称位置时，到，和的距离之差的绝对值相等，所以的图象是轴对称图形，①正确；
对于②，时，点从左向右靠近，到，和的距离之差的绝对值变小，所以在上单调递减，②正确；
对于③，当点在时，，取最小值0，又因为，所以值域为，③正确；
对于④，由③得，当时，，所以在上有两个不同的解，，和各有两个解，故有4个实数解，④正确.
故选：D.
【点睛】④中方程解的个数问题，注意的值域为，所以的解需在上，才能有两个解.
4．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（ ）
A．点的坐标为B．
C．D．的最大值为5
【答案】D
【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.
【详解】因为可以转化为，
故直线恒过定点A，故A选项正确；
又因为：即恒过定点B，
由 和 , 满足 ，
所以 , 可得 , 故B选项正确；
所以 , 故C选项正确;
因为 , 设为锐角,
则,
所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误.
故选：D.
5．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先根据题意求得关于直线对称的点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，再数形结合得到点的变动范围，从而得到，由此得解.
【详解】设直线方程为，则，解得，即，即，
设关于直线对称的点为，则，解得，即，，
同理可得：
点关于直线的对称点为，
点关于直线的对称点为，
如图所示：
利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；
所以点之间为点的变动范围，
因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而，
所以，即.
故选：D
二、多选题
6．已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（ ）
A．周长的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为4
【答案】BCD
【分析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断.
【详解】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，
可知，
对于选项A： 可得周长，
当且仅当四点共线时，等号成立，
所以周长的最小值为，故A错误；
对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为，
则，
可得，
所以的最小值为，故B正确；
对于选项C：因为，
设到直线：的距离为，
可得，
所以的最小值为，故C正确；
对于选项D：作，垂足为，
因为直线的斜率，则，可得，
则，
可得，
所以的最小值为4，故D正确；
故选：BCD.
7．的三个顶点到直线l的距离分别为，则该三角形的重心到直线的距离可能为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】ABC
【分析】建立平面直角坐标系，利用重心坐标、点到直线的距离公式求得三角形的重心到直线的距离的范围，由此确定正确答案.
【详解】以平面内一点为原点，建立平面直角坐标系，
设，则，
设直线的方程为（不同时为），
不妨设，
则
，
则当同号时，取得最大值为，
当，
或时，
取得最小值为，也即过重心.
所以，所以ABC选项正确，D选项错误.
故选：ABC

三、填空题
8．若关于x的方程；在上有实数根，则的最小值是 .
【答案】
【分析】转化为点到原点的距离平方后由点到直线的距离公式求解．
【详解】由题意得存在，使得点在直线上
故点到原点的距离最小值为，
当时，取最小值，此时的最小值为，
故答案为：
9．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心作半径为1的圆，点，为圆上的动点，且，点为一定点，倍长至，则线段的最大值为 ．

【答案】
【分析】设，结合题目条件可表示D，C点坐标，后由两点间距离公式结合辅助角公式可得答案.
【详解】设，因，倍长至，则D，E中点为B，则.
又，圆半径为1，则，得，即.
则，
其中，则当时，.
故答案为：
10．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ．
【答案】9
【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可；
【详解】由题意，动直线过定点，
直线可化为，
令，可得，
又，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以，
因为，
所以，当且仅当时取等号．
【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点.
11．设x、，若向量，，满足，，，且向量与互相平行，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示可得，在坐标系中，，将按向量平移至，根据轨迹为直线，将问题化为最小，数形结合法求原点到直线距离即可得结果.
【详解】由，又向量与互相平行，
所以，故，
令，，则，
所以，将按向量平移至，
所以是直线上的动点，如下图示，
所以，故，
由图知：要使最小，只需三点共线且到直线距离最短，
故最小值为原点到直线的距离，最小值为，此时题设中的x=2，y=1.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：找到的，并将其平移至使，即有，问题化为求点到直线距离.
12．已知点， 直线，关于直线的对称点为点， 则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用对称将向量相乘转化为求点的运动轨迹问题，做出图像即可得到的取值范围.
【详解】解：由题意，
在中，，
∴直线过点
∵关于直线的对称点为点
∴直线l为线段的垂直平分线
∵直线为过点的任意直线，
∴，
∴点和点在以点为圆心4为半径的圆上，
由图可知
当点在时，最小，为：
当点在时，最大，为：
∴的取值范围为
故答案为：.
【点睛】本题考查数形结合的思想，考查学生的作图能力.