素养拓展31 圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用（精讲+精练）-【一轮复习讲义】高考数学高频考点题型归纳（新高考通用）

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一、知识点梳理
一、椭圆的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算：
（1）；（2）（记忆：左加右减）
【焦半径形式2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦.
二、双曲线的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算：
（1）；（2）（记忆：左加右减）
【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）
三、抛物线的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】设点在抛物线上，、，是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表：
【焦半径形式2】直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角
（1）弦长AB＝eq \f(2p,sin2α)
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.
（3），， eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值eq \f(2,p).
二、题型精讲精练
【典例1】椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上，则的取值范围为_______.
【解析】由题意，，，，设，其中，
则，，所以
【典例2】双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的一点P满足，则点P的坐标为_______.
【解析】由题意，，，，，由焦半径公式，，，
因为，所以，解得：或（舍去）
代入双曲线的方程可求得，所以P的坐标为.
【典例3】过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，则_____.
【解析】设，则，所以，故.
【典例4】抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦长为______.
【解析】解法1：由题意，，设，代入整理得：，
设两根为和，则，故直线l被抛物线C截得的弦长.
解法2：直线l被抛物线C截得的弦长.
【题型训练-刷模拟】
1.椭圆的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，当取最大值时，三角形面积为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】根据椭圆的焦半径公式和椭圆中的的范围可求得取最大值时，点在椭圆的短轴上.
【详解】设点的坐标为，根据椭圆的焦半径公式可得：
则有：
根据椭圆的特点，可知：
可得：当时，取最大值
此时，点在椭圆的短轴上，则有：
故选：B
2．已知动点在椭圆：上，为椭圆的右焦点，若点满足，且，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．1
【答案】C
【分析】由已知可得，只需求出即可，再利用两点之间的距离公式计算即可得到答案.
【详解】由已知，，设，则，因在椭圆上，所以，
所以，
所以当时，，又，
所以，所以.
故选：C
【点睛】本题考查椭圆中的焦半径的最值问题，涉及到两点间的距离公式，考查学生的等价转化的思想，是一道中档题.
3．已知椭圆的右焦点为，若过的直线与椭圆交于两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先证明椭圆上的点的到右焦点的距离为，当分别为椭圆的顶点时取最值，进而可得结果.
【详解】在椭圆中，，
设为椭圆上任意一点，即，
解得，
由两点间距离公式可知：，
由上式可得当为椭圆的右顶点时，最小，此时，
当为椭圆的左顶点时，最大，此时，
此时的最小值为，
同理可得的最大值为3，
即的取值范围是，
故选：C.
4．已知为椭圆上任意一点，EF为圆的任意一条直径，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】用表示进行数量积运算后转化为求椭圆上点到焦点的最大值和最小值问题．
【详解】由题意椭圆的下焦点，是圆的直径，
则，
椭圆中，椭圆上的到焦点的距离的最大值为，最小值为，所以的最大值为24，最小值为8．
所以的取值范围．
故选：B．
5．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为第一象限内上一点．若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义结合已知条件求出，设点，其中，，根据两点间的距离公式求出点的坐标，进而可求得直线的斜率.
【详解】在椭圆中，，，则，所以，点、，
因为，可得，
设点，其中，且，
，
解得，则，可得，即点，
因此，直线的斜率为.
故选：C.
6．已知椭圆：的右焦点为，点，为第一象限内椭圆上的两个点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】设点，用椭圆的离心率e，半焦距c及a表示出，再由探求出的关系即可作答.
【详解】设点，右焦点为，椭圆的离心率为，，
，同理，
如图，过P，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
因，则，即，，
于是得，又，则，即，
因此得，即，整理得，而，则，
所以椭圆的离心率为.
故选：C
7．如图，椭圆的左､右焦点分别为，，过点，分别作弦，.若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况，当直线的斜率不存在，可求出点的坐标，从而可得，当直线的斜率存在，设直线的方程为，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，表示出，从而可表示出，， 进而可表示
【详解】由椭圆的对称性可知，，.设点，.
若直线的斜率不存在，则点，，所以，所以.
若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立消去整理得，，则.又，同理可得，所以，所以.
综上，的取值范围为，
故选:C.
8．已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则，由，
消去，得，
注意到，则.于是，
同理，. 因此.
的倾斜角为，∴直线的斜率，
根据弦长公式，可得.
由，可得，故.
．故选：A
9．已知椭圆和，椭圆的左右焦点分别为、，过椭圆上一点和原点的直线交圆于、两点.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，由椭圆的焦半径公式以及，求出，因为在椭圆上，则，由对称性可得，，代入即可得出答案.
【详解】设，椭圆的左、右焦点为，
，
同理：，
∵，∴，
即，
∵在椭圆上，∴x02a2+y02b2=1，则，
由圆的相交弦定理及对称性得：
.
故选：B．
10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长射线、分别与椭圆相交于、两点，由椭圆的对称性，则，若直线的斜率不存在易得；若直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立， 利用两点间的距离公式结合韦达定理建立求解.
【详解】如图，延长射线、分别与椭圆相交于、两点，

由椭圆的对称性可知，，
设点的坐标为，点的坐标为，显然
则点的坐标为.
①若直线的斜率不存在，则点、的坐标分别为、，
有
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程，消去后整理为，
有，，
，
，
，
，因为，所以，
则的取值范围为.
故选：B
二、填空题
11．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用焦半径公式把比值表示为的式子，然后由得出范围．
【详解】设，，且得：.
故答案为：.
12．已知椭圆，线段的两个端点在椭圆上移动，且是的中点，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】设，，为椭圆的右焦点，则，再根据代入数据即可求得答案．
【详解】解：设，，为椭圆的右焦点，
由题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
∴，
同理可得，，
而，
即，解得，
故答案为：．
13．设、分别为椭圆：的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则
【答案】
【分析】由椭圆的标准方程，求出焦点的坐标，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长，利用定义可得，进而求出．
【详解】由知，焦点，所以直线：，代入得
，即，设，
，故
由定义有，，
所以．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，且，若第一象限的点、在上，，，，则直线的斜率为 .
【答案】
【分析】设点、，求得椭圆的离心率，利用椭圆的焦半径公式可求得的值，再利用弦长公式可求得直线的斜率.
【详解】椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，且，
所以，，
由椭圆的几何性质可知，，椭圆的离心率为，
设点、，则，，
则
，
同理可得，
所以，，解得，
设直线的斜率为，由弦长公式可得，
解得，
因为点、都在第一象限，则，故.
故答案为：.
15．若直线：（其中）与圆相切，与椭圆：交于点，，为其右焦点，则的周长为 .
【答案】4
【分析】先根据直线与圆相切求得的关系，设切点为，利用勾股定理分别求出，再根据两点间的距离公式分别求出，从而可得出答案.
【详解】解：由直线与圆相切，
可得，则，
联立，消得，
则，故，
，
因为，所以，
所以，
设切点为，则，，
，
同理，
，
因为，所以，
同理，
则的周长为.
故答案为：4.
16．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围.
【详解】
设，则.显然当靠近右顶点时，，
所以存在点使等价于，
在中由余弦定理得，
即，解得 ，
同理可得，所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
由得，所以.
故答案为：
2.双曲线的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设点，求出点到双曲线焦点距离的最小值为，再利用直线与双曲线无公共点可得出，可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围.
【详解】设双曲线上一点，设点双曲线的右焦点为，
若取最小值，则点在双曲线的右支上，则，
则
，
当且仅当时，等号成立，
联立可得，
因为与直线无交点，则，
即，因为，解得.故选：B.
2．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据得，，再换元利用函数的单调性求解.
【详解】解：由双曲线的第二定义可知，，
右支上的点，满足，
由，解得，
在右支上，可得，可得，即，则，
令，，可得
而在，单调递减，，，，
故选：B
3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可
【详解】
如图所示，设双曲线实轴长为，则，
所以，
又M在第一象限，即，故，
因为，过M作MD⊥轴于D，，
由条件故，
即，故，
解之得（负值舍去）.
故选：A
4．已知动点P在双曲线C：上，双曲线C的左、右焦点分别为，，则下列结论：
①C的离心率为2；
②C的焦点弦最短为6；
③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；
④当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可.
【详解】由题意可得，即①正确；
显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2＜6，即②错误；
易知双曲线的渐近线方程为，设点，则，且到两条双曲线的距离之积为是定值，故③正确；
对于④，先推下双曲线的焦半径公式：
对双曲线上任意一点及双曲线的左右焦点，
则，
同理，
所以，此即为双曲线的焦半径公式.
设点，由双曲线的焦半径公式可得，
故，
其中，则，
由二次函数的性质可得其最大值为，当且仅当，即时取得，故④错误；
综上正确的是①③两个.
故选：B
二、填空题
5．已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，先求出，，由条件可得，再根据，根据建立不等式从而可得答案.
【详解】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，则
则

同理可得
由，可得
，又
所以，即，即
所以，即，即，即
所以，即
故答案为：
6．设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且满足（是坐标原点），则直线的斜率为 .
【答案】或
【分析】利用双曲线的第二定义求出焦半径的表达式，再根据，得，再由列等式求解.
【详解】如图，设双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，
连接，过点作右准线的垂线，记，
则由双曲线的第二定义知，，其中.
即，整理得，.
由双曲线，得，
所以，，离心率，
由题设直线的倾斜角为，由，知，
，
所以，或，‘
解得或，
把代入，可求得或.
故直线的斜率为或.
故答案为：或.
3.抛物线的焦半径和焦点弦公式
一、单选题
1．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，且，则直线的斜率可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将代入抛物线焦半径公式求出倾斜角，再求斜率.
【详解】解：设的倾斜角为，由抛物线焦半径公式可得，
又，
解得，，
所以.
故选：C.
2．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，过，作轴的垂线，垂足分别为，，若，则直线的斜率等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】先将进行化简转化为，再利用直线的倾斜角的余弦值表示与，解出的值，然后根据求出斜率值.
【详解】
如图所示，,
设所在直线直线的倾斜角为，则，
，
所以，，解得，则.
故选：D.
3．过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】当A在第一象限时，化简即得直线l的斜率，再由对称性得解.
【详解】解：当A在第一象限时，
，
由对称性可知.
故选：D.
【点睛】结论点睛：抛物线的焦点为,点A在第一象限，点B在第四象限，弦AB是倾斜角为，则.在解答抛物线的有关问题时，利用这个结论可以提高解题效率.
4．过抛物线的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】分别过A，B两点作横轴的垂线，垂足分别为，
设直线AB的倾斜角为，
由题意可设，
因为，所以为钝角，如下图所示：

由，
因为，
所以有，
所以，
在直角三角形中中，，
所以．
故选：C
5．已知抛物线：（）的焦点为，直线的斜率为且经过点，与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则下列说法正确的是（ ）
①；②为的中点；③；④．
A．①②B．②③C．③④D．①②③
【答案】D
【分析】由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得的坐标，再由焦半径公式求，进一步求出，的值，逐一判断四个选项得答案．
【详解】解：如图，
则，直线的斜率为，则直线方程为，
联立，得．
解得：，，
由，解得．
抛物线方程为．
所以，则；
，，
，则为中点．
结论正确的是①②③．
故选：D．
6．已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且，抛物线的准线l与x轴交于点C，于点，若四边形的面积为，则准线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方法一：已知，求得，在利用直线方程和抛物线方程联立得到，解得，，再根据梯形面积公式即可求解出p，进而得到准线l的方程；
方法二：根据抛物线焦半径公式，，已知，解得，求出高为，再根据梯形面积公式即可求解出p，进而得到准线l的方程.
【详解】
解：方法一：由题意知，准线的方程为，设，，
则，
由，得，
即①
由题意知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
代入抛物线方程，消去，得,
所以②
联立①②，得，
解得或（舍去），所以，
因为，
将的值代入，解得，
所以准线的方程为，
故选：D.
方法二：设，，，
则，，
因为，所以，解得，则
因为四边形是直角梯形，其中，，高为，
所以四边形的面积为，
解得，所以抛物线的准线方程为，
故选：D.
7．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（ ）
A．B．3C．6D．12
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知，再利用数形结合表示的值，进而得，再根据焦半径公式得，，进而求解直线的方程并与抛物线联立得，再用焦半径公式求解即可.
【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，
所以，.
又，所以，
设，则.
因为，
所以，所以，
所以，即.
所以，抛物线为，焦点为，准线为，
由得，解得，
所以，，
所以，直线的方程为
所以，联立方程得，解得，
所以，，
所以，
故选：B
8．过抛物线的焦点F作直线交C于A，B，过A和原点的直线交于D，则面积的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得焦点，准线，设直线的倾斜角为，则直线的方程为；联立抛物线方程可得，联立直线和准线方程可得点坐标，即可得垂直于准线，再利用焦半径公式可得，，写出的面积的表达式，利用导函数和即可求得其最小值.
【详解】如下图所示，易知焦点，直线即为抛物线的准线；

设直线的倾斜角为，由对称性和交点个数可知，不妨取；
则直线的方程为；
联立抛物线的方程可得；
设，则满足；
则直线的斜率为，其直线方程为，
联立准线方程可得，又可得
可知两点纵坐标相同，所以直线于轴平行，即垂直于准线；
由抛物线定义可得；
因此可得，即，即；
同理可得；
所以的面积
化简可得
由可得，所以
令，
则，令，解得
所以当时，，函数在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，取最大值，
当取最大值时，面积取最小知，即.
即面积的最小值为.故选：A
二、填空题
9．已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，若为线段的中点，且，则 .
【答案】4
【详解】
如图，由题可知，为线段的中点，所以，，，再由抛物线第一定义可得，解得
故答案为：4
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于中档题
10．已知抛物线，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段的长是焦半径长的3倍，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】利用抛物线的焦半径公式列方程求得直线的倾斜角，即可求得直线的斜率
【详解】设直线的倾斜角为，则．
因为线段的长是焦半径长的3倍，所以，故，
当时，，，
则，解得，所以直线的斜率为
同理可得当时，，所以直线的斜率为．
综上，直线的斜率为
故答案为：
11．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点（A位于第一象限），且，则直线OA的斜率为 ．
【答案】1
【分析】设直线AB的方程，联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定，解得，，得到斜率.
【详解】解法一：，直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为，与抛物线C的方程联立，得，
整理得，则，
设，，所以，即．
因为，所以由抛物线的定义得，则，
整理得，得，（舍去负值），所以，（舍去负值），
故直线OA的斜率为．
解法二：设直线AB的倾斜角为，则，
由得，解得，所以，
则由抛物线的定义得，得，所以，（舍去负值），
故直线OA的斜率为．
故答案为：
12．已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则
【答案】
【详解】抛物线的焦点坐标，准线方程，
作垂直于准线于，准线与轴交于点，则，∴.
∵，∴，
由抛物线的定义得，∴.故答案为：.
13．已知抛物线，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，p的值为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线焦半径的性质，结合向量关系，即可求解直线倾斜角，根据面积公式即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为，过作轴，
则，所以，
同理可得，
因为，，则，
由于，所以，
同时可得，，
因此四边形的面积，解得．
故答案为：

14．已知双曲线：与抛物线：的焦点重合，过点作直线与抛物线交于、两点（点在轴上方）且满足，若直线只与双曲线右支相交于两点，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由推导可得抛物线的焦半径公式，进而可得，求得，由直线只与双曲线右支相交于两点，则,计算即可得解.
【详解】设直线的倾斜角，直线与抛物线交于、两点（点在轴上方），则为锐角，
焦点，准线，准线与轴交点记为，
过、分别向准线作垂线，垂足分别为、，过向作垂线，垂足为，
设直线与轴交点记为，过向轴作垂线，垂足为，
由抛物线的定义，
因为，所以，∴，
因为，
所以，
由，则，
由直线只与双曲线右支相交于两点，则，
则，
由，则．
故答案为：.
15．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则直线的斜率为 .
【答案】
【分析】法一：设出直线方程，，，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合，，求出直线斜率；
法二：设直线与轴的夹角为，作出辅助线，得到，，利用得到方程，求出直线斜率.
【详解】法一：设直线，，，，
由已知，联立，故，
故有，结合得：；
法二：角度焦半径公式：设直线与轴的夹角为，
得到抛物线的准线方程为，与y轴交于点T，
过点B作BM⊥准线交x轴于点N，作BE⊥y轴于点E，
则ET=BM，
由抛物线定义可得：，
其中，
故，解得：，
同理可得：，
因为，
所以，
设直线与轴夹角的正弦值为，正切值为，
由于在第一象限，，则.
故答案为：.
16．焦点为的抛物线上有不同的两点，且满足，若线段的中点到抛物线的准线的距离为，则 .
【答案】
【分析】抛物线的焦点，设，根据抛物线的定义可得，设直线方程为，与抛物线方程联立求出，转化为，建立的方程，进而求出，即可求解.
【详解】法一：抛物线的焦点，准线方程为，
设，又，
三点共线，设其方程为，，
线段的中点到抛物线的准线的距离为，
，
联立消去得，①
，
当时，方程①为，
解得或，，
同理.
法二：不妨设点在第一象限，作准线于点，
作准线于点，作准线于点，
∵，
∴.设直线的倾斜角为，
，
∴，∴.
故答案为：3
【点睛】本题考查抛物线方程和性质，以及直线与抛物线的位置关系，焦点弦要注意焦半径公式的灵活应用，考查计算求解能力，属于中档题.
标准方程
图形
焦半径公式
焦点弦公式