第55练 二项分布、超几何分布与正态分布（精练）【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
2．（2021·全国·统考高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】D
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D.
3．（2021·全国·统考高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B
【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立
4．（2023·全国·统考高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4
【答案】A
【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】同时爱好两项的概率为，
记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，
则，
所以.
故选:.
二、多选题
5．（2023·全国·统考高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】ABD
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，
单次传输发送0，则译码为0的概率，而，
因此，即，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
三、填空题
6．（2022·全国·统考高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
【答案】
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为，所以，因此．
故答案为：．
四、双空题
7．（2023·天津·统考高考真题）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
【答案】 /
【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；
根据古典概型的概率公式可求出第二个空．
【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，
所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；
乙盒中黑球个数为，白球个数为；
丙盒中黑球个数为，白球个数为；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，
黑球总共有个，白球共有个，
所以，．
故答案为：；．
8．（2022·天津·统考高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为
【答案】
【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.
【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
则.
故答案为：；.
9．（2022·浙江·统考高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ．
【答案】 ， /
【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望.
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，
所以,
故答案为：，.
10．（2021·天津·统考高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ．
【答案】
【分析】根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.
【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.
故答案为：；.
11．（2021·浙江·统考高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则 ， .
【答案】 1
【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根据随机变量的分布列即可求出．
【详解】，所以，
, 所以, 则．
由于
．
故答案为：1；．
五、解答题
12．（2023·全国·统考高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；列联表见解析，（ii）能
【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【详解】（1）依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故.
（2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为，
所以，
故列联表为：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.
13．（2023·全国·统考高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．
14．（2023·北京·统考高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)不变
【分析】（1）计算表格中的的次数，然后根据古典概型进行计算；
（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；
（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第天的情况.
【详解】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：
（2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，，
于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是
（3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次，
因此估计第次不变的概率最大.
15．（2022·全国·统考高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】(1)岁；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
【详解】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以
．
（3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．
16．（2022·全国·统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii)；
【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.
【详解】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
17．（2021·全国·统考高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用公式计算可得.
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
18．（2021·北京·统考高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．
【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.
【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列:
所以；
（2）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
19．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
期望.
20．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
【详解】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列为
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
21．（2021·全国·统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．某校团委决定举办“鉴史知来”读书活动，经过选拔，共10名同学的作品被选为优秀作品，其中高一年级5名同学，高二年级5名同学，现从这10个优秀作品中随机抽7个，则高二年级5名同学的作品全被抽出的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用表示抽到高二年级同学的作品数，，即可得到答案.
【详解】从10个作品中抽7个，用表示抽到高二年级同学的作品数，
则．
故选：A．
2．若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用描述一次试验的成功次数，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】设失败率为，则成功率为，利用概率之和为列方程，先求得，然后求得
【详解】据题意知，“”表示一次试验试验失败，“”表示一次试验试验成功.
设一次试验失败率为，则成功率为，所以，所以，
所以.
故选：C
【点睛】本小题主要考查概率的有关概念，属于基础题.
3．红心猕猴桃是六盘水市著名特产之一，富含维生素C及多种矿物质和18种氨基酸，特别是微量元素中的含钙量为果中之首，被誉为“人间仙果”“果中之王”“维C之王”．据统计，六盘水市某种植基地红心猕猴桃的单果重量（单位：克）近似服从正态分布，则单果重量在的概率约为（ ）（附：若，则，，）
A．0.9545B．0.6827C．0.2718D．0.1359
【答案】D
【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.
【详解】根据正态分布可知，
所以,
故选：D
4．甲、乙两人各加工一个零件，若甲、乙加工的零件为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用独立事件乘法公式及对立事件概率求法，结合互斥事件加法求目标概率.
【详解】由题意，这两个零件中恰有一个一等品的概率为.
故选：C
5．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查两点分布的理解，以及，，的计算运用．
【详解】因为随机变量服从两点分布，且，所以，故A正确；
，故B正确；
，故C不正确；
，故D正确，
故选：C.
6．某学校有2000人参加模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到120分（含90分和120分）之间的人数约为（ ）．
A．400B．600C．800D．1200
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性求出成绩在90分到120分的概率，即可求解作答.
【详解】依题意，随机变量，有，即正态曲线的对称轴为，
由，得，
所以此次数学考试成绩在90分到120分之间的人数约为.
故选：D
7．有件产品，其中件是次品，从中任取两件，若表示取得次品的个数，则 等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别算出X=0和X=1时的概率，最后相加即可
【详解】因为，所以.
故选：D.
8．甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．水果的质量服从的正态分布的参数
D．甲类水果的平均质量
【答案】D
【分析】根据正态分布的曲线特征可判断出的值以及的大小关系，结合曲线表示的含义，一一判断各选项，即可得答案.
【详解】由图象可知甲类水果的平均质量为，D正确，
乙类水果的平均质量为，
故甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小，A错误；
由于甲曲线比乙曲线更“高瘦”，故
故甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，B，C错误；
故选：D
9．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意甲班最终获胜分三种情况进行讨论，进而求出结果.
【详解】甲班最终获胜有三种情况：
①甲班前两场获胜；
②甲班第1场和第3场获胜，第2场输；
③甲班第1场输，第2场和第3场获胜.
故甲班最终获胜的概率为.
故选：D.
10．50个乒乓球中，合格品为45个，次品为5个，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率是（ ）
A．B．C．1－D．
【答案】C
【分析】先求都是合格品的概率，再根据对立事件的概率求解即可.
【详解】出现次品，可以是一个，两个或是三个，与其对立的是都是合格品，
这50个乒乓球中任取3个，出现都是合格品的概率是，
故有次品的概率是.
故选：C
11．“石头､剪刀､布"，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本､朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界游戏规则是：“石头"胜"剪刀”､“剪刀”胜“布”､“布”胜“石头”，若所出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头､剪刀､布”游戏比赛，则小华经过三局获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设知小华经过三局获胜的基本事件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，概率乘法公式求概率即可.
【详解】由题设知：小华经过三局获胜的基本事件为前两局一胜一不胜，第三局获胜，
∴小华经过三局获胜的概率为.
故选：C.
12．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二项分布概率公式计算即得.
【详解】由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以．
故选：C．
13．设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
【答案】D
【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出
【详解】由题意得，
因为，
所以解得，
所以，
故选：D
14．若，则取得最大值时，（ ）
A．4或5B．6或7C．8D．10
【答案】D
【分析】求得的表达式，结合组合数的性质求得正确答案.
【详解】因为，所以，
由组合数的性质可知，当时最大，此时取得最大值.
故选：D
15．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中随机抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】抽取的正品数比次品数少，有两种情况：抽取到0个正品和4个次品；抽取到1个正品和3个次品.分别求概率再相加即可.
【详解】抽取的正品数比次品数少，有两种情况：抽取到0个正品和4个次品；抽取到1个正品和3个次品.
当抽取到0个正品和4个次品时，；
当抽取到1个正品和3个次品时，，
所以抽取的正品数比次品数少的概率为.
故选：A.
16．李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”､“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”､“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设两家店铺都不能正常营业为事件A，则应该包括四人休假或三人休假分别计算概率再求和，最后求事件A的对立事件的概率可得答案.
【详解】设两家店铺都不能正常营业为事件A，若有四人休假概率为，有三个人休假的概率为，所以两家店铺都不能正常营业的概率为，所以两家店铺该节假日能正常开业的概率为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：含有或者词语中体现出“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较烦琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质进一步求解.
二、多选题
17．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果．
【详解】随机变量服从两点分布，其中，，
，
，
在A中，，故A正确；
在B中，，故B正确；
在C中，，故C错误；
在D中，，故D正确．
故选：ABD．
18．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．若越大，则越大
【答案】AC
【分析】根据正态分布曲线的对称性和正态分布曲线的形状，逐项判定，即可求解.
【详解】由正态分布，可得对称轴为，
对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确；
对于B中，根据正态分布区间的对称性，可得，
所以，所以B不正确；
对于C中，根据正态分布区间的对称性，可得，
所以，所以C正确；
对于D中，根据正态分布曲线，越大，正态分布曲线越扁平，所以越小，所以D不正确.
故选：AC.
19．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．随机变量服从二项分布，若，，则
B．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关
成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为
C．设随机变量服从正态分布，若，
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当且仅当 时概率最大
【答案】BCD
【分析】利用二项分布的期望方差公式计算，求得p,q的值，从而判断A；
利用间接法计算，可以判定B；
利用正态分布的对称性计算，可以判定C；
利用二项分布的性质可以判定D.
【详解】A：，可得，A错；
B：利用间接法有，B对；
C：，C对；
D：，所以，当时概率最大，所以D对.
故选 BCD.
20．袋子中有3个黑球2个白球现从袋子中有放回地随机取球4次取到白球记1分，黑球记0分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A．B．
C．的期望D．的方差
【答案】AD
【分析】分析题意知随机变量服从二项分布，再计算概率，期望与方差，即可得解.
【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到白球的概率相等，又取到白球记1分，取4次球的总分数，即为取到白球的个数，
对于A，每次取球取到白球的概率为，随机变量服从二项分布，故A正确；
对于B，，即4次取到2次白球，概率，故B错误；
对于C，因为，所以的期望，故C错误；
对于D，因为，所以的方差，故D正确．
故选：AD．
21．一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，下列说法正确的是（ ）
A．这2台电脑中A品牌台数为1的概率是
B．这2台电脑中A品牌台数为2的概率是
C．这2台电脑中至多有1台A品牌电脑的概率是
D．这2台电脑中至少有1台B品牌电脑的概率是
【答案】AC
【分析】利用超几何分步的概率计算公式逐一判断即可.
【详解】设挑选的2台电脑中A品牌的台数为，
的取值范围为，
则，，
，A正确，B错误．
这2台电脑中至多有1台A品牌电脑的概率是，C正确．
这2台电脑中至少有1台B品牌电脑的概率为，D错误．
故选：AC．
22．在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中成肉粽的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．随机变量X服从超几何分布 D．
【答案】ACD
【分析】根据题意得到随机变量的超几何分布，求得期望可判定B错误，C正确，再求得和，可判定A，D正确.
【详解】由题意，随机变量服从参数为的超几何分布，则，所以
故B错误，C正确；
又由，，
所以，所以A，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
23．若随机变量服从正态分布，且，则的值为 ．
【答案】0.72
【分析】根据已知，利用正态曲线的性质计算求解.
【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴为，
因为，所以，所以.
故答案为：0.72.
24．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ．
【答案】
【分析】根据两点分布得基本性质即可求解
【详解】由题意得，当时，即，
所以
故答案为：
25．已知随机变量X服从两点分布，且，则 ．
【答案】
【分析】根据随机变量X服从两点分布，得到，再结合条件求解.
【详解】解：由随机变量X服从两点分布，得，
又因为，
所以．
故答案为：
26．某校高中三年级1600名学生参加了区第一次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩量服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为 人.
【答案】200
【分析】根据正态分布的对称性可求得，即可求得答案.
【详解】由题意可知，且,
则，
故此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为，
故答案为：200.
27．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局，甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为 ．
【答案】
【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率．
【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，
所以甲最后获胜的概率为.
故答案为：．
28．袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为 .
【答案】
【分析】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率，根据概率公式，即可得答案.
【详解】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率，
所以.
故答案为：
29．弘扬中学有一支篮球队，甲、乙为该球队队员，已知甲、乙两名队员投篮命中的概率分别为和.现两人各进行一次投篮比赛，假定两人是否投中互不影响，则甲、乙两人至少有一人投中的概率为 .
【答案】
【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率计算公式即可.
【详解】甲、乙两人投中的概率分别为，据相互独立事件的概率公式，
甲、乙两人都未投中的概率为，
所以甲、乙两人至少有一个投中的概率为1−=．
故答案为：．
30．假设苏州肯帝亚球队在某赛季的任一场比赛中输球的概率都等于，其中，且各场比赛互不影响.令X表示连续9场比赛中出现输球的场数，且令代表9场比赛中恰有k场出现输球的概率.已知，则该球队在这连续9场比赛中出现输球场数的期望为 .
【答案】
【分析】，由求得，再由期望公式得期望．
【详解】由题意，由于，
则，解得，
．
故答案为：．
31．为了提高学生的数学应用能力和创造力，某学校组织了“数学建模”知识竞赛活动，学生的竞赛成绩服从正态分布，且．现有参加了竞赛活动的3名学生，则恰有1名学生的竞赛成绩超过90分的概率为 .
【答案】
【分析】借助正态分布的性质求出，进而求解恰有一名学生的竞赛成绩超过90分的概率.
【详解】由学生的竞赛成绩服从正态分布，正态曲线关于对称，
由，得，
所以，
记“恰有一名学生的竞赛成绩超过90分”，则.
故答案为：.
32．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则 .
【答案】0.6
【分析】由题意知，，根据二项分布的概率、方差公式计算即可.
【详解】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，
所以，
所以或．
由，得，
即，
所以，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可．
33．《中国诗词大会》是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨.每一期的比赛包含以下环节：“个人追逐赛”、“攻擂资格争夺赛”和“擂主争霸赛”，其中“擂主争霸赛”由“攻擂资格争夺赛”获胜者与上一场擂主进行比拼.“擂主争霸赛”共有九道抢答题，抢到并答对者得一分，答错则对方得一分，率先获得五分者即为该场擂主.在《中国诗词大会》的某一期节目中，若进行“擂主争霸赛”的甲乙两位选手每道抢答题得到一分的概率都是为0.5，则抢答完七道题后甲成为擂主的概率为 .
【答案】
【分析】抢答完七道题后甲成为擂主，是指前六道题中甲四胜两负，第七题甲胜，由此能求出抢答完七道题后甲成为擂主的概率．
【详解】抢答完七道题后甲成为擂主，则第7题甲得1分，前6题甲得4分乙得2分，
甲最后以获胜，概率为.
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
34．袋中装有大小和质地相同的5个白球，3个黑球.现在依次不放回地摸5个球，则摸出至少3个白球的概率为 .（结果用最简分数表示）
【答案】
【分析】至少摸出3个白球，即摸出白球的数量为3,4,5，根据超几何分布的概率公式进行求解即可.
【详解】由题，不放回地摸5个球，摸出至少3个白球，即白球数量为3,4,5，
则概率为，
故答案为：
35．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为，假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为 .
【答案】
【分析】根据题意，分第一局甲执黑子先下，第二局乙执黑子先下和第一局乙执黑子先下，第二局乙执黑子先下，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】若第一局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，
若第一局乙执黑子先下，则甲胜的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，
所以甲胜第一局，乙胜第二局的概率.
故答案为：
四、解答题
36．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．
【答案】分布列见解析
【分析】先列出随机变量的可能值，然后求出随机变量可能值随对应的概率即可.
【详解】抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有1和0两种情况．
，
则.
因此X的分布列为：
37．某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生．推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）利用对立事件求得高一至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）根据超几何分布的分布列的计算公式，计算出的分布列.
【详解】（1）高一高二共推荐名男生和名女生，
高一没有学生入选代表队的概率为，
所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为.
（2）根据题意得知，X的所有可能取值为1、2、3．
，，，
所以X的分布列为
38．某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(1)请将上述列联表补充完整；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；
(3)将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为，求随机变量的分布列和期望．
附：.
【答案】(1)列联表见解析
(2)认为是否喜欢游泳与性别无关
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据题中信息即可统计数据求解.
（2）根据独立性检验计算卡方值即可求解.
（3）根据二项分布求概率即可求解分布列和期望.
【详解】（1）
（2）零假设:假设是否喜欢游泳与性别无关，，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.
（3）X的可能取值为0，1，2，3，
，
.
的分布列为
.
39．为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了掷实心球测试，测试结果表明所有男生的成绩（单位：米）近似服从正态分布，且.
(1)若从高三男生中随机挑选1人，求他的成绩在内的概率.
(2)为争夺全省中学生运动会的比赛资格，甲､乙两位同学进行比赛.比赛采取“五局三胜制”，即两人轮流掷实心球一次为一局，成绩更好者获胜（假设没有平局）.一共进行五局比赛，先胜三局者将代表学校出战省运会.根据平时训练成绩预测，甲在一局比赛中战胜乙的概率为.
①求甲代表学校出战省运会的概率.
②丙､丁两位同学观赛前打赌，丙对丁说：“如果甲获胜，你给我100块，如果甲获胜，你给我50块，如果甲获胜，你给我10块，如果乙获胜，我给你200块”，如果你是丁，你愿意和他打赌吗？说明你的理由.
【答案】(1)0.15；
(2)①，②如果我是丁，我不会和他打赌，理由见解析.
【分析】（1）根据正态分布的性质结合条件即得；
（2）①根据独立重复事件概率公式及互斥事件概率公式即得；②根据条件可得丁获得奖金的期望值，进而即得.
【详解】（1）因为，，
∴；
（2）①由题可得甲获胜的概率为，
甲获胜的概率为，
甲获胜的概率为，
所以，甲代表学校出战省运会的概率为；
（2）由题可得丁获得奖金的期望值为：
，
所以如果我是丁，我不会和他打赌.
40．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者：
(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；
(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由题意易知，通过手机收看的概率为，则至少有1人通过手机收看的对立事件为3人都没有通过手机收看，即可较易得出结论；
（2）首先得出服从二项分布，然后求出对应取值的概率，即可得出分布列，同时也能得出期望.
【详解】（1）记事件为至少有1人通过手机收看，
由题意知，通过手机收看的概率为，没有通过手机收看的概率为，
则；
（2）由题意知：，则的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
；
所以的分布列为：
所以.
41．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到亿元，较2018年约增长．从全球应用北斗卫星的城市中选取了个城市进行调研，上图是这个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求产值小于万元的调研城市个数；
(2)在上述抽取的个城市中任取个，设为产值不超过万元的城市个数，求的分布列及期望和方差．
(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取个城市，求恰有个城市的产值超过万元的概率．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算；
（2）由（1）可知产值不超过万元的城市个数，利用超几何分布概率公式分别计算概率，可得分布列及期望与方差；
（3）由已知可得该分布满足，根据二项分布概率公式直接计算概率.
【详解】（1）由频率分布直方图可知产值小于万元的频率为，
所以产值小于万元的调研城市个数为（个）；
（2）由（1）得产值不超过万元的调研城市有个，超过万元的调研城市有（个），
所以随机变量的取值可能为，，，
所以，，，
所以可得分布列
期望；
方差；
（3）由频率分布直方图可知城市的产值超过万元的概率为，
设任取个城市中城市的产值超过万元的城市个数为，
可知随机变量满足，
所以.
42．天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱．这是中国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有1000名学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立．
(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．
参考数值：，，．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)估计符合该项指标的学生人数约有23人，的期望值为
【分析】（1）由题意得出X的所有可能取值及对应的概率，从而可得X的分布列及数学期望；
（2）利用正态分布，结合二项分布得出符合该项指标的学生人数，结合二项分布即可求解数学期望．
【详解】（1）易知学生甲参与的环节数量X的所有可能取值为1，2，3，4，
；；
；，
所以X的分布列为
所以．
（2）因为服从正态分布，
所以．
设1000名学生中该项指标合格的学生人数为Z，则，
所以，所以估计符合该项指标的学生人数约有23人，
且每位同学通过选拔的概率，则通过学校选拔的人数，
故．
43．2020年，由于新冠肺炎疫情的影响，2月底学生不能如期到学校上课，某校决定采用教育网络平台和老师钉钉教学相结合的方式进行授课，并制定了相应的网络学习规章制度，学生居家学习经过一段时间授课，学校教务处对高一学生能否严格遵守学校安排，完成居家学习的情况进行调查，现从高一年级随机抽取了两个班级，并得到如表数据：
(1)补全下面的列联表，并且根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系；
(2)网络授课结束后，高一年级800名学生进行了测试，学生的数学成绩近似服从正态分布，若90分以下都算不及格，问高一年级不及格的学生有多少人？
附1：参考公式：；
附2：若随机变量X服从正态分布，则，
【答案】(1)填表见解析；能
(2)18人
【分析】（1）根据已知条件补全列联表，计算的值，由此作出判断.
（2）结合正态分布的对称性来求得正确答案.
（1）
，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系；
（2）学生的数学成绩近似服从正态分布，，，所以高一年级不及格的学生18人.
44．甲､乙两人进行投篮比赛，每局比赛，甲先投，投两次，每次投中得1分，未投中不得分；接下来乙投两次，两次均投中得3分，恰有一次投中得1分，两次均末投中得分；已知甲､乙每次投篮投中的概率分别为和，且两人各次投篮是否投中相互独立.
(1)求一局比赛中，甲的得分低于乙的得分的概率；
(2)若进行两局比赛，求甲､乙的累计得分相同的概率.
【答案】(1)；
(2).
【分析】根据独立事件的概率公式，结合和事件的概率公式对（1）（2）分别进行求解即可；
【详解】（1）设一局比赛中，甲的得分为，乙的得分为，则，
，，，
，，，
则甲得分低于乙得分的概率为；
（2）两局比赛甲的累计得分可能为，乙的累计得分可能为，故两人累计得分相同的情况有：分､分､分，两人累计均得分的概率为，
两人累计均得分的概率为，两人累计均得分的概率为，故两人累计得分相同的概率为.
45．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.
(1)求n的值；
(2)若一次抽取4个城市，
①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率；
②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
【答案】(1)；
(2)①X的可能取值为0，1，2，3，4，相应概率见解析；
②.
【分析】⑴利用古典概型求概率的公式把一次抽取2个城市全是小城市的概率表示出来，解方程即可；
⑵①的分布符合超几何分布，根据超几何分布的概率计算方法求概率即可；
②利用条件概率求概率的方法求概率即可.
【详解】（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况，
其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为，
解得（负值舍去）.
（2）①由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
相应的概率分别记为，
，，
，，
.
②若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况；
若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况，
所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为.
46．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量和样本平均值；
(2)由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值的概率；
(3)从该流水线上任取2件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列和数学期望.
附；若，则，，
【答案】(1)12（件），501.75
(2)0.97725
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解；（2）根据正态分布的对称性即可求解；（3）根据二项分布的概率公式即可求解分布列以及期望.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
∵质量超过505克的产品的频率为，
∴质量超过505克的产品数量为（件）
样本平均值
或者样本平均值
或者样本平均值
（2）由题意可得，
则，
则该批产品质量指标值的概率：
或者
（3）根据用样本估计总体的思想，从该流水线上任取一件产品，
该产品的质量超过505克的概率为
所以，从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看二项分布.
故，质量超过505克的件数Y可能的取值为0，1，2，且
∴，
∴，
，
，
∴的分布列为
的均值为
或者
47．某人参与一种答题游戏，需要解答三道题．已知他答对这三道题的概率分别为p，p，，且各题答对与否互不影响，若他全部答对的概率为．
(1)求p的值；
(2)若至少答对2道题才能获奖，求他获奖的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记解答三道题正确分别为事件，则，从而可求出p的值；
（2）记事件为至少答对2道题，则，然后利用独立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）记解答三道题正确分别为事件，则,
因为各题答对与否互不影响，且全部答对的概率为，
所以，解得
（2）记事件为至少答对2道题，则由题意得
所以他获奖的概率为
48．据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月13、14日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行.据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.
(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.
【答案】(1)甲进入决赛的可能性最大
(2)分布列见解析
【分析】（1）由题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，求解甲乙丙进入决赛的概率，即可得到结论；
（2）由（1）知甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为，，，得出随机变量的可能取值为0，1，2，3，求得相应的概率，列出分布列.
【详解】（1）解：由题意，甲队进入决赛的概率为，
乙队进入决赛的概率为，
丙队进入决赛的概率为，
显然甲队进入决赛的概率最大，所以甲进入决赛的可能性最大.
（2）解：由（1）可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为，，，
随机变量的可能取值为0，1，2，3，
可得，
，
，
所以的分布列为：
49．教师教学技能训练是高等师范学校学生的必修内容.某师范类高校为了在有限的课时内更好的训练学生的教学技能，制定了一套考核方案：学生从6个试讲内容中一次性随机抽取3个，并按照要求在规定时间内独立完成.规定：至少合格完成其中2个便可提交通过.已知6个试讲内容中学生甲有4个能合格完成，2个不能完成；学生乙每个内容合格完成的概率都是，且每个内容合格完成与否互不影响
(1)分别写出甲、乙两位学生在一起考核中合格完成试讲内容数量的概率分布列，并分别计算其数学期望；
(2)试从两位学生合格完成试讲内容的数学期望及至少合格完成2个试讲内容的概率分析比较两位学生的教学技能.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）求出甲合格完成试讲内容数量的可能取值及对应的概率，写出分布列及数学期望，得到乙合格完成试讲内容数量，求出对应的概率，写出分布列及数学期望；（2）分别计算出甲乙两人至少合格完成2个试讲内容的概率，结合第一问计算出的数学期望，比较后得到结论.
【详解】（1）设甲合格完成试讲内容数量为，则的可能取值为1,2,3，
则，，，
则的分布列为：
数学期望为，
设乙合格完成试讲内容数量为，则，
则，，
，，
所以的分布列为：
数学期望为
（2），，
则，
两位学生合格完成试讲内容的数学期望相等，两人水平相当，从至少合格完成2个试讲内容的概率分析，甲的教学能力较强.
50．在一个计算机网络服务器系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度.
(1)若该系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，该网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为0.9，它们之间相互不影响.求能正常工作的设备数X的分布和数学期望；
(2)若该网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能带来约50万的经济损失.为减少经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)应选择方案2
【分析】（1）由题意可知，根据二项分布求出所对应的概率，即可得到分布列，再根据二项分布的期望公式计算可得；
（2）分别计算两种方案的损失期望值，即可做出决策．
【详解】（1）解：为正常工作的设备数，由题意可知.
所以，
，
，
，
从而的分布列为：
由，则；
（2）解：设方案1、方案2的总损失分别为，，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到，由（1）可知计算机网络断掉的概率为，不断掉的概率为，
所以元；
采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在，
可知计算机网络断掉的概率为，
故元.
因此，从期望损失最小的角度，决策部门应选择方案2.
51．某中学为宣传《未成年人保护法》.特举行一次《未成年人保护法》知识竞赛.规则如下：两人一组.每一轮竞赛中.小组两人分别答两题.若小组答对题数不小于3.则获得“优秀小组”称号．已知甲、乙两位同学组成一组.且甲同学和乙同学答对每道题的概率分别为.．
(1)若..求在第一轮竞赛中.他们获得“优秀小组”称号的概率；
(2)若.且每轮竞赛结果互不影响.如果甲、乙同学想在此次竞赛活动中获得9次“优秀小组”称号.那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】(1)；
(2)19轮.
【分析】（1）根据分类加法计数原理，结合二项分布的性质进行求解即可；
（2）根据分类加法计数原理，结合二项分布的性质、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）甲答对1题.乙答对2题.其概率；
甲答对2题.乙答对1题.其概率；
甲答对2题.乙答对2题.其概率．
故所求概率；
（2）他们在每轮竞赛中获得“优秀小组”称号的概率.
因为，，.所以，.
所以，，.由基本不等式知.当且仅当时.等号成立．∴.
令，.则，.
所以当时，．
设他们小组在n轮竞赛中获得“优秀小组”称号的次数为，．
由..所以理论上至少要进行19轮竞赛．
52．在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活､新奋斗的起点.”某农户计划于2021年初开始种植某新型农作物，已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调查发现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：
(1)设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列.
(2)若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于30000元的概率.
【答案】(1)的分布列为：
(2)0.896
【分析】（1）的所有可能取值为：25000，34000，46000，分别求出相应的概率，即可求出的分布列；
（2）设表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于30000元”，则，设这三年中有年纯收入不少于30000元，则，从而即可求解．
【详解】（1）解：由题意，，，，，
所以的所有可能取值为：25000，34000，46000，
设表示事件“作物亩产量为”，则，
表示事件“作物市场价格为30元”，则，
则，
，
，
所以的分布列为：
（2）解：设表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于30000元”，
则，
设这三年中有年纯收入不少于30000元，则，
所以这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于3000元的概率为：
．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．中国的景观旅游资源相当丰富，5A级为中国旅游景区最高等级，代表着中国世界级精品的旅游风景区等级．某地7个旅游景区中有3个景区是5A级景区，现从中任意选3个景区，下列事件中概率等于的是（ ）
A．至少有1个5A级景区B．有1个或2个5A级景区
C．有2个或3个5A级景区D．恰有2个5A级景区
【答案】B
【分析】用X表示这3个旅游景区中5A级景区的个数，然后由X服从超几何分布求解判断.
【详解】用X表示这3个旅游景区中5A级景区的个数，则X服从超几何分布，
且，，
，，
所以，
即有1个或2个5A级景区的概率为．
故选：B．
2．在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在分到分（含分和分）之间的人数为人，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正态分布的对称性有，即可求，结合已知即可估计参加本次联考的总人数.
【详解】由题设，若表示数学考试成绩，则，而，
所以，故参加本次联考的总人数约为人.
故选：C
3．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数对．从8个数对，，，，，，，中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据题意得随机变量服从超几何分布，进而根据超几何分布求概率，进而求期望.
【详解】解：由题知8个数对中有，，，共4对孪生素数对，
所以的可能取值为
故，，
，，
所以
故选：C
4．一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则白球个数的数学期望是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，白球个数X服从超几何分布，再借助超几何分布的期望公式计算作答.
【详解】依题意，取出3球中白球个数X为随机变量，，X服从超几何分布，
所以白球个数的数学期望是.
故选：B
5．已知随机变量服从正态分布，函数，则（ ）
（参考数据：；）
A．是偶函数B．的图象关于对称
C．的图象关于对称D．方程有解
【答案】B
【分析】利用正态密度曲线的对称性结合函数的对称性可判断ABC选项的正误；利用可判断D选项.
【详解】因为，则
，
故函数的图象关于直线对称，AC均错，B对；
由于正态密度曲线呈现中间高两边低的形状，且关于直线对称，
故，
因此，无解，D错.
故选：B.
6．技术员小李对自己培育的新品种蔬菜种子进行发芽率的试验，每个试验组3个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数平均数为，则每粒种子发芽的概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为X，根据题意得出，利用二项分布进而求解即可.
【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率为，
设每组不发芽的坑数为X，则，所以每组没有发芽的坑数的平均数为，
解得，所以每个种子的发芽率为.
故选：C.
7．如果随机变量，且，，则等于
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依据贝努力分布的数学期望、方差的计算公式可得方程组：，则，应选答案C．
点睛：贝努力分布是随机变量的概率分布中的重要分布，求解时充分借助题设条件和贝努力分布中数学期望和方差的计算公式，巧妙建立方程组，通过解方程组求出使得问题巧妙获解．
8．设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A．0.1587B．0.1359C．0.2718D．0.3413
【答案】B
【分析】根据函数没有零点得到的范围，然后结合正态曲线的对称性得到的值，结合正态曲线即可得到对应概率.
【详解】函数没有零点,即方程无实根，
，即，又函数没有零点的概率是0.5，
，由正态曲线的对称性可知，
即，，
所以
故选:B.
9．2021年10月16日0时23分，长征二号运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，直入苍穹，将神舟十三号载人飞船成功送入预定轨道，通常发射卫星的运载火箭可靠性要求约为0.9，发射载人飞船的运载火箭可靠性要求为0.97．为进一步提高宇航员的安全，使火箭安全性评估值达到0.99996这一国际先进水平，某载人飞船改进了逃逸系统（假设火箭安全性评估值由运载火箭的可靠性和逃逸系统的可靠性共同决定，它们的可靠性相互独立，并且当运载火箭和逃逸系统至少有一个正常工作时即认为火箭安全），则逃逸系统的可靠性至少应该是（ ）（精确到0.0001）
A．0.9996B．0.9997C．0.9987D．0.9986
【答案】C
【分析】先假设逃逸系统的可靠性为，再由题设建立不等关系，即可求出结果.
【详解】假设逃逸系统的可靠性为，
则由题有：，整理得到，
解得，
故选：C.
10．已知，两个盒子中均有除颜色外其它完全相同的3个红球和3个白球，甲从盒子中，乙从盒子中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子中.按上述规则重复两次后，盒子中恰有8个球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据取球规则分析得到两次取球后盒子中有8个球时，两次取球均为同色，然后分第一次取球甲、乙取到红球和白球两种情况求解得到.
【详解】若两次取球后，盒子中恰有8个球,则两次均为甲胜，
若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为：，
则第一次取球后盒子中有4个红球和3个白球，盒子中有2个红球和3个白球，
第二次取同色球为取到红球或取到白球，概率为，
盒子中有8个球的概率为，
同理若第一次取球甲、乙都取到白球，且两次取球后盒子中有8个球的概率为，
故盒子中恰有8个球的概率为，
故选：C
11．2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射任务取得圆满成功，开启了我国空间站应用发展的新阶段.在太空站内有甲，乙、丙三名航天员，按照一定顺序依次出仓进行同一试验、每次只派一人、每人最多出仓一次，且时间不超过10分钟.若第一次试验不成功，返仓后派下一人重复进行试验，若试验成功终止试验.已知甲，乙，丙10分钟内试验成功的概率分别为，，，每人试检能否成功相互独立，则试验成功的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】法一：利用对立事件的概率求解；法二：设试验任务成功的事件，甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成功的事件，由事件，，互斥求解.
【详解】解：法一：试验任务不成功的的概率是，
所以成功的概率是
法二：不妨设按照甲乙丙顺序依次出仓进行试验，设试验任务成功的事件，甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件，
，，，
因为事件，，互斥，
所以试验任务成功的概率.
故选：D.
12．设随机变量，满足：，，若，则（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】C
【分析】由，，求出值，利用二项分布的方差公式求出，再利用方差的线性性质，即可得到答案．
【详解】由于随机变量满足： ，，
，
解得：，即
，
又随机变量，满足：，
，
故选：C.
13．为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可求得该产品能销售的概率，写出的取值，设表示一箱产品中可以销售的件数，则服从二项分布，分别求出的取值对于得概率，从而可得答案.
【详解】由题意得该产品能销售的概率为，
易知的取值范围为，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，，
所以，
，
，
故.
故选：C.
14．排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.然后分别求出各种情况的概率，加起来即可；也可以构建二项分布模型解决.
【详解】解法一：乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.
乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为；
乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为；
乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为.
所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为.
解法二：采用五局三胜制，不妨设赛满5局，用表示5局比赛中乙胜的局数，则.乙最终获胜的概率为.
故选：C.
15．已知随机变量，则概率最大时，的取值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据二项分布的随机变量取值的概率公式建立不等关系，可得最大值时的．
【详解】依题意，
由，
即，解得或.
故选：C.
二、多选题
16．已知随机变量，则（ ）（附：随机变量服从正态分布，则，）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据正态分布的性质可判断AD；根据二项分布的期望、方差公式计算可判断AB.
【详解】因为，所以，则，故A错误；
，故D正确；
因为，所以，所以，故B错误；
，故C正确；
故选：CD.
17．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从二项分布，则
B．若随机变量服从正态分布，则
C．若随机变量服从两点分布，，则
D．若随机变量的方差，则
【答案】AB
【分析】根据二项分布的概率，正态曲线的对称性，两点分布的期望，方差的性质，即可分别求解.
【详解】对于A，若随机变量服从二项分布，则，故选项A正确.
对于B，若随机变量服从正态分布，则，
故，故选项B正确.
对于C，若，，，故选项C错误.
对于D，根据方差的计算公式，，则，故选项D错误.
故选：AB.
18．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则下列结论中正确的是（ ）
A．取出的白球个数X服从二项分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．取出球总得分最大的概率为
【答案】BD
【分析】A、B根据题设描述写出取出的白球个数X、黑球个数Y的可能情况，并求出对应情况的概率，易得它们都服从超几何分布；进而可判断C、D的正误.
【详解】A：取出白球个数X可能为0、1、2、3、4，则，，，，，
所以，即取出的白球个数X服从超几何分布，错误；
B：同A，取出黑球个数Y可能为0、1、2、3、4，易得，即取出的黑球个数Y服从超几何分布，正确；
C：由A知取出2个白球的概率为，错误；
D：总得分最大，即取出的都是黑球，由A知：概率为，正确.
故选：BD
19．袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和8个红球，现从中随机取出3个，记其中黑球的数量为，红球的数量为，则以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据超几何分布计算概率可判断AB，再计算期望可判断C，根据方差的性质可判断D.
【详解】由题意，，故A错误；
因为，，，故B正确；
由题意知, ，则,
，，
所以，,
故，故C正确；
由知，，故D正确.
故选：BCD
20．一个盒子中装有3个黑球和1个白球，现从该盒子中有放回的随机取球3次，取到白球记1分，取到黑球记0分，记3次取球后的总得分为X，则（ ）
A．X服从二项分布B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据已知，即可判断A项正确；求出每次取球后得1分的概率，可得，进而根据二项分布求解，判断B、C、D.
【详解】对于A项，由题意知，每次取球的结果只有2个可能.取后放回，所以X服从二项分布，故A项正确；
对于B项，每次取球后得1分的概率，则.
所以，，故B项错误；
对于C项，因为，所以，故C项正确；
对于D项，因为，所以，故D项错误.
故选：AC.
21．下列说法正确的是（ ）
A．随机变量X服从两点分布，若，则
B．随机变量，若，，则
C．随机变量X服从正态分布，且，则
D．随机变量X服从正态分布，且满足，则随机变量Y服从正态分布
【答案】BD
【分析】计算两点分布的期望判断A；利用二项分布的期望、方差公式计算判断B；利用正态分布的对称性计算判断C；利用期望、方差的性质计算判断D作答.
【详解】对于A，随机变量X服从两点分布，由，得，则，A错误；
对于B，随机变量，有，，解得，B正确；
对于C,随机变量，则，
，C错误；
对于D，随机变量X，Y满足，则，，，因此，D正确．
故选：BD
22．在10件产品中，其中有3件一等品，4件二等品，3件三等品，现从这10件产品中任取3件， 记X为取出的3件产品中一等品件数，事件A为取出的3件产品中一等品件数等于一等品件数，事件B为取出的3件产品中一等品件数等于三等品件数，则下列命题正确的是（ ）
A．B．C．D．A，B相互独立
【答案】AC
【分析】写出随机变量的所有取值，求出对应随机变量的概率，再根据期望公式求出期望，即可判断ABC；再根据相互独立事件的定义即可判断D.
【详解】解：随机变量可取，
，
，
，
，
则，
，
故A正确，B错误，C正确；
因为事件A为取出的3件产品中一等品件数等于一等品件数，为必然事件
事件B为取出的3件产品中一等品件数等于三等品件数，包含事件于A，
所以事件A和事件B不是相互独立事件，故D错误.
故选：AC.
23．下列命题中，正确的有（ ）
A．服从，若，，则；
B．若已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等．若展开式的常数项为，则
C．设随机变量服从正态分布，若，则；
D．位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法有种．
【答案】BCD
【分析】根据二项分布、二项式定理、正态分布、排列组合等知识确定正确答案.
【详解】A选项，依题意，解得，所以A选项错误.
B选项，由于二项式的第三项和第八项的二项式系数相等，
所以，所以，二项式，
展开式的通项公式是，
令，解得，所以，所以B选项正确.
C选项，，所以C选项正确.
D选项，记另一个男生为乙，
若站法如下：
方法有种.
若站法如下：
方法有种.
若站法如下：
方法有种.
综上所述，方法数共有种，所以D选项正确.
故选：BCD
三、填空题
24．某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和的方差为 .
【答案】576
【分析】先分析可得的可能取值为190，150，110，然后根据超几何分布的概率计算公式求出概率，然后再根据均值和方差的计算公式进行计算即可得解.
【详解】由题意，可得的可能取值为190，150，110，
且，，，
则，
所以方差.
故答案为：576.
25．某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是 .
【答案】
【分析】根据正态分布的对称性求出学生的成绩高于120的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果.
【详解】因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，
则所求概率为.
故答案为：
26．在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ．
【答案】
【分析】计算基本事件总数，计算其中没有感兴趣的专业包含的基本事件数，利用对立事件解决所求的概率.
【详解】随机选择3个专业，基本事件总数为，
填报的专业中没有感兴趣的专业包含的基本事件数为，
由题可知，填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为．
故答案为：.
27．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 .
【答案】
【分析】该题属于独立重复实验，利用二项分布概率公式代入即可求解.
【详解】根据题意，该实验为独立重复实验，记6点向上的次数为，则，，故，
因此至少出现一次6点向上的概率为.
故答案为：.
28．若随机变量，若，则 ．
【答案】
【分析】根据二项分布的概率计算求得p的值，利用正态分布的对称性即可求得答案.
【详解】由题意知随机变量，，
所以，即，
即，
而，则，
故答案为：
29．一个口袋里装有大小相同的个小球，其中红色个，其余个颜色各不相同，现从中任意取出个小球，设变量为取出的个小球中红球的个数，则的数学期望 .
【答案】
【分析】首先确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由数学期望计算公式可求得期望.
【详解】由题意知：所有可能的取值为，
则，，，
.
故答案为：.
30．已知甲每次投掷飞镖中靶的概率为0.6，若甲连续投掷飞镖n次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%，至少需要投掷飞镖 次.（参考数据：）
【答案】3
【分析】设投掷飞镖n次中靶次，则且，利用二项分布概率公式及求n的范围，即可得结果.
【详解】若投掷飞镖n次中靶次，则，且，
所以，即，
两边取对数有，则次，，
所以至少需要投掷飞镖3次.
故答案为：3
31．长风工厂产品质量指标服从正态分布.质量指标介于98至102之间的产品为良品.为使这种产品的良品率达到，则需要调整生产工艺，使得至多为 .（若，则）
【答案】
【分析】由题设知，结合正态分布的性质求范围即可.
【详解】由，又，
而，所以，
故，即，则至多为.
故答案为：
32．为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛.参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为 .
【答案】
【分析】根据题意讨论先抽取2道题有几道多选题，结合超几何分布分析运算.
【详解】设先抽取2道题中多选题的题数为，则的可能取值为：0，1，2，
可得：，
所以最后抽取到的题为多选题的概率为.
故答案为：.
33．有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则 .
【答案】
【分析】设随机变量，可求得随机变量两个取值所对应的概率，由此得到分布列，从而计算得到，由可求得结果.
【详解】由题意知：大楼共层，
设随机变量，则，
，，
则的分布列如下：
，
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够明确当电梯不停时，无人能走出电梯，从而结合对立事件概率公式确定电梯在每层停与不停所对应的概率，进而得到分布列.
四、解答题
34．为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望、方差.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）根据条件概率公式即可求解.
（2）根据超几何分布，即可求出分布列，利用公式求解期望与方差.
【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动”为事件．
则，所以；
（2）依题意知服从超几何分布，且，
所以的分布列为：
.
35．某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，已知每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为；乙机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为，已知两台机器生产芯片的质量互不影响. 现对某天生产的芯片进行抽样.
(1)从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；
(2)现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为，求的分布列以及数学期望.
【答案】(1)0.056
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据全概率公式即可求得答案；
（2）确定，由二项分布的概率计算可求得分布列，根据期望公式即可求得数学期望.
【详解】（1）记事件表示芯片来自甲机器生产，事件表示芯片来自乙机器生产，事件表示取到的是合格品；
则
.
（2）由题意得，，
故，
所以的分布列为
故.
36．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.
(1)若厂家库房中的每件产品合格率为，从中任意取出件进行检验，求至少有件是合格的概率.
(2)若厂家发给商家件产品，其中有件不合格，按合同规定该商家从中任意取件进行检验，只有件产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，概率为
【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知，随机变量的可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，利用对立事件的概率公式可求得商家拒收这批产品的概率.
【详解】（1）解：记“厂家任意取出件产品检验，其中至少有一件是合格品”为事件，
则.
（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值为、、，
，，，
因此，随机变量的概率分布列为
由题意可知，商家拒收这批产品的概率为.
37．为了引导人民强健体魄，某市组织了一系列活动，其中乒乓球比赛的冠军由A，B两队争夺，已知A，B两队之间的比赛采用5局3胜制，且本次比赛共设有3000元奖金，奖金分配规则如下：①若比赛进行3局即可决定胜负，则赢方获得全部奖金，输方没有奖金；②若比赛进行4局即可决定胜负，则赢方获得90%的奖金，输方获得10%的奖金；③若比赛打满5局才决定胜负，则赢方获得80%的奖金，输方获得20%的奖金．已知每局比赛A队，B队赢的概率分别为，，且每局比赛的结果相互独立．
(1)若比赛进行4局即可决定胜负，则A队赢得比赛的概率为多少？
(2)求A队获得奖金金额X的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由独立事件乘法公式、组合数公式直接计算即可.
（2）由独立事件乘法公式、组合数公式先求出随机变量的可能的值及其相应的概率值，然后再列出分布列，由期望公式直接计算即可.
【详解】（1）因为比赛进行了4局即可决定胜负，且A队赢得比赛，
所以第4局必然是A队赢，且前3局比赛中A队赢2局，
所以若比赛进行了4局即可决定胜负，则A队赢得比赛的概率为．
（2）由题意知X的所有可能取值为3000，2700，2400，600，300，0，
则，，
，，
，，
所以X的分布列为
所以．
38．据调查，目前对于已经近视的高中学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，某市从该地区高中学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）.
(1)若从样本中选一位学生，已知这位高中生戴眼镜，那么，其戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的分布列及期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据条件概率的概率公式计算可得；
（2）依题意的所有可能取值分别为，，，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望.
【详解】（1）根据题中样本数据，设“这位高中学生佩戴眼镜”为事件，则，
“这位高中学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位高中生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为，
所以从样本中选一位学生，已知这位高中学生戴眼镜，则其戴的是角膜塑形镜的概率是.
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽人，男生人数的所有可能取值分别为，，，
其中；
；
.
所以男生人数的分布列为：
所以.
39．学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是.
(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；
(2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）小明在投篮过程中直到第三次才投中说明前两次没有投中，第三次投中，由此根据独立事件的乘法公式求出概率；
（2）小明在4次投篮后的总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8，根据独立重复事件的概率公式得出各概率即可得出分布列.
【详解】（1）设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件，
事件说明小明前两次没有投中，第三次投中，
，
小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为.
（2）小明在4次投篮后的总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8，
，
，
，
，
，
则总得分的分布列为：
40．某医疗机构成立了一支研发小组负责某流感相关专题的研究.
(1)该研发小组研制了一种退烧药，经过大量临床试验发现流感患者使用该退烧药一天后的体温（单位：）近似服从正态分布，流感患者甲服用了该退烧药，设一天后他的体温为X，求；
(2)数据显示人群中每个人患有该流感的概率为1%，该医疗机构使用研发小组最新研制的试剂检测病人是否患有该流感，由于各种因素影响，该检测方法的准确率是80%，即一个患有该流感的病人有80%的可能检测结果为阳性，一个不患该流感的病人有80%的可能检测结果为阴性.
（i）若乙去该医疗机构检测是否患有该流感，求乙检测结果为阴性的概率；
（ii）若丙在该医疗机构检测结果为阴性，求丙患有该流感的概率.
附：，则，，.
【答案】(1)0.8186
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）由正态分布的对称性结合原则求解即可；
（2）（i）记“某人患有该流感”，“某人检测为阳性”，再由全概率公式求解即可；（ii）由条件概率公式求解即可；
【详解】（1）由题：,
，故,
.
（2）记“某人患有该流感”，“某人检测为阳性”
由题有：，，，则可得，，
（i），
（ii）.
41．为推动网球运动的发展，某网球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名．从这名运动员中随机选择人参加比赛．
(1)设事件为“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；
(2)设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及均值．
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，
【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）解：由题意可得.
（2）解：由题意可知，人中，种子选手共人，非种子选手共人，
从这人中随机抽取人，其中种子选手的人数为随机变量，
则的可能取值有、、、、，
则，，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，.
42．高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验（每次均种下一粒种子），求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；
(2)第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题设条件知，种下5粒种子至少有3次成功的概率相当于5次独立重复试验中恰好发三次、四次、五次的概率．至少有3次成功的概率等于3次、4次、5次发芽成功的概率之和．
（2）ξ的所有可能值为1，2，3，4，5，分别求其概率，列出分布列．
【详解】（1）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功．设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X.
则，
，
，
所以至少有3次发芽成功的概率为
（2）ξ的所有可能值为1，2，3，4，5，其概率为
，，
，，
，
所以的概率分布为
43．2022年第24届冬季奥林匹克运动会期间，为保障冬奥会顺利运行，组委会共招募约2.7万人参与赛会志愿服务.赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、文化展示服务等共12类志愿服务.
(1)甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务.求甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务的概率；
(2)已知来自某高校的每名志愿者被分配到文化展示服务的概率是，设来自该高校的2名志愿者被分配到文化展示服务的人数为X，求X的分布列与数学期望；
(3)已知在2.7万名志愿者中，18~35岁人群占比达到95%，为了解志愿者们对某一活动方案是否支持，通过分层随机抽样获得如下数据：
假设志愿者对活动方案是否支持相互独立.将志愿者支持方案的概率估计值记为，去掉其他人群后志愿者支持方案的概率估计值记为，试比较与的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）利用古典概型计算即可；
（2）根据离散型随机变量的分布列和期望公式计算即可；
（3）由表格可计算得判定大小即可.
【详解】（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务的基本事件空间有个基本事件，
记事件：“甲被分配到对外联络服务且乙被分配到竞赛运行服务”，即包含1个基本事件，则；
（2）由题知，，
，
，
，
则的分布列：
的数学期望；
（3）易知.
44．今年五一假期，上饶市游客接待再创历史新高，突破千万人次．三清山、婺源、龟峰、灵山、望仙谷等各景区纷纷推出了精彩纷呈的节目内容，各地游客欢聚上饶“打卡”，感受大美上饶自在山水的魅力．上饶市某中学一综合实践研究小组为了解上饶市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），五一期间对游览灵山的100名上饶市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
(1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于1万元的概率；
(2)若上饶市民的旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（ⅰ）上饶市常住人口约为640万人，试估计上饶市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上；
（ⅱ）若在上饶市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为，求随机变量的分布列和均值．
附：若，则，，．
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）14.56万；（ⅱ）分布列见解析；均值为.
【分析】（1）利用组合结合古典概率求解作答.
（2）（i）利用频率分布表求出期望，再利用正态分布估计作答；（ii）利用二项分布求出分布列及期望作答.
【详解】（1）从频率分布表知，旅游支出不低于1万元的有33人，
从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，两人旅游支出均不低于1万元的概率为.
（2）（i）依题意，，
因此服从正态分布，
，
则(万)，
所以估计上饶市有14.56万市民每年旅游费用支出在15000元上.
（ii）由（i）知，，则，于是，
因此，
，
所以随机变量的分布列为：
均值为.
45．2022年，随着最低工资标准提高，商品价格上涨，每个家庭的日常消费也随着提高，某社会机构随机调查了200个家庭的日常消费金额并进行了统计整理，得到数据如下表：
以频率估计概率，如果家庭消费金额可视为服从正态分布，分别为这200个家庭消费金额的平均数及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）．
(1)求和的值；
(2)试估计这200个家庭消费金额为的概率（保留一位小数）；
(3)依据上面的统计结果，现要在10个家庭中随机抽取4个家庭进行更细致的消费调查，记消费金额为的家庭个数为，求的分布列及期望．
参考数据：；
若随机变量，则，，.
【答案】(1)4.3；2.06
(2)0.8
(3)分布列见解析，
【分析】（1）利用组中值和对应的频率可求和.
（2）利用正态分布的对称性可求消费金额为的概率.
（3）利用超几何分布可求的分布列及期望．
【详解】（1）由题意得

（2）由（1）得
所以
.
（3）由题意知这10个家庭中消费金额在范围内的有8个家庭，
故X的所有取值为2，3，4，
，，，
所以X的分布列为
所以．
46．某陶瓷厂准备烧制甲､乙､丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲､乙､丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲､乙､丙三件产品合格的概率依次为，，，
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)分别求甲､乙､丙三件产品经过两次烧制后合格的概率
(3)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的数学期望和方差.
【答案】(1)0.38
(2)0.3，0.3，0.3
(3)分布列见解析，0.9，0.63
【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式运算求解；
（2）根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（3）根据题意结合二项分布求分布列和期望.
【详解】（1）分别记甲､乙､丙经第一次烧制后合格的事件分别为，
设表示第一次烧制后恰有一件产品合格的事件，则
；
（2）分别记甲､乙､丙三件产品经过两次烧制后合格的为事件，
则，，.
（3）由（2）知，
随机变量的可能取值为0，1，2，3，且,
故；；
，.
所以随机变量的分布列为
故随机变量的数学期望，
.
47．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果显示，中国65岁及以上人口为19064万人，占总人口的．随着出生率和死亡率的下降，我国人口老龄化趋势日益加剧，与老年群体相关的疾病负担问题越来越受到社会关注，虚弱作为疾病前期的亚健康状态，多发于65岁以上人群.虚弱指数量表（frailty in—dex，FI，取值范围是）可以用来判定老年人是否虚弱，若FI分，则定义为“虚弱”.某研究团队随机调查了某地1170名男性与1300名女性65岁及以上老年人的身体状况，并采用虚弱指数量表分析后得出虚弱指数频数分布表如下：
(1)根据所调查的65岁及以上老年人的虚弱指数频数分布表作出65岁及以上老年人虚弱与性别的列联表，并分析能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关？
(2)以频率估计概率，现从该地区随机调查两位男性65岁以上老年人，这两位老人中身体虚弱的人数为随机变量，求随机变量的分布列、期望与方差？附表及公式：，．
【答案】(1)表格见解析，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关系
(2)分布列见解析，期望，方差．
【分析】（1）利用频率分布表可得是否虚弱与性别的列联表，代入计算即可求出的观测值明显大于，即可得出结论.
（2）以频率估计概率可知当地随机调查一名65岁以上男性老年人虚弱的概率为，即随机变量服从二项分布，代入公式即可得分布列、期望、方差.
【详解】（1）由频率分布表可得列联表如下：
所以的观测值，
因为，
故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关系．
（2）由频率估计概率知：从当地随机调查一名65岁以上男性老年人虚弱的概率为，
所以随机变量服从二项分布，
于是为，
，
，
所以随机变量的分布列为：
期望，
方差．
48．2023年4月23日第二届全民阅读大会在杭州举办，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国．某市响应号召，推进全体学生阅读，在全市100000名学生中抽取1000名学生调查每周阅读时间，得到频率分布直方图如下图：

由频率分布直方图可以认为该市学生每周阅读时间X服从正态分布，其中可以近似为1000名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），．
(1)试估计全市学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数；
(2)若从全市学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，均值与方差．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则P，，．
【答案】(1)（人）
(2)分布列见解析，均值为，方差为
【分析】（1）由正态分布求出概率，估计人数即可；
（2）由题意可知每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y服从二项分布，然后由二项分布求概率分布列及均值与方差即可.
【详解】（1）由题意知样本中1000名学生每周阅读时间的平均值为，所以，
又，所以，所以，
所以．
所以全市学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数估计为（人）．
（2）因为，所以，结合题意可得，
故，，，，，．
故随机变量Y的分布列如下：
故，．
49．国务院印发《新时期促进集成电路产业和软件产业高质量发展的若干政策》．某科技公司响应国家号召，加大了芯片研究投入力度．从2022年起，芯片的经济收入逐月攀升，该公司在2022年的第一月份至第六月份的月经济收入（单位：百万元）关于月份的数据如下表所示：
(1)请你根据提供数据，判断与（均为常数）哪一个适宜作为该公司月经济收入关于月份的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程；
(3)从这6个月中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为，求的分布列和数学期望．参考数据：
其中设
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）通过观察表中数据的变化即可选出结果；
（2）通过对函数两边取对数，得到，再通过换元，将非线性转化成线性，再利用表中数据和公式即可求出回归方程；
（3）根据题意知服从超几何分布，易知的所有取值为，利用超几何分布概率公式即可求出相应的概率，进而求出期望.
【详解】（1）根据数据判断知适宜作为该公司月经济收人关于月份的回归方程类型.
（2）由，得到，令，则，
所以，又，
所以，故，
即.
（3）易知在前6个月的收入中，月收入超过16佰万的有3个，
故服从的超几何分布，
又的所有取值为，
又，，
，，
所以的分布列为
则（或）.
50．甲，乙两学校进行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目胜方得分，负方得分，平局各得分．两个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为，，甲学校在两个项目中平局的概率分别为，．各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校两场比赛后获得冠军的概率；
(2)用表示甲学校两场比赛的总得分，求的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式结合互斥事件概率的加法公式直接计算；
（2）确定随机变量的可能情况，再根据独立事件的乘法公式结合互斥事件概率的加法公式计算概率，可得分布列与期望.
【详解】（1）甲获胜分三种情况：胜胜，胜平，平胜，
则甲获胜的概率为
（2）所有可能取值为，，，，，，
，
，
，
，
，
，
其分布列如下表
.
51．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩X近似服从正态分布．其中，近似为样本平均数，近似为样本方差．已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体．
(1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？
(2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望．
(3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考数据：若，则：；；．
【答案】(1)71
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）X近似服从正态分布，根据正态分布的对称性可得，即可求解；
（2）随机变量服从且即可求出分布列，由二项分布的期望公式即可计算期望；
（3）求出的可能值，分别求出对应的概率值，写出分布列，进而计算期望作答.
【详解】（1）由.
又，，，
所以该校预期的平均成绩大约是.
（2）由得，，
即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为.
所以随机变量服从二项分布，所以.
（3）X的可能取值为0，1，2，3，4，
由题意可知，，
，
，
，
.
所以，的分布列为
所以.
52．某校举办颠乒乓球比赛，现从高一年级1000名学生中随机选出40名学生统计成绩，其中24名女生平均成绩为70个，标准差为4；16名男生平均成绩为80个，标准差为6.
(1)高一年级全员参加颠球比赛的成绩近似服从正态分布，若用这40名参赛的同学的样本平均数和标准差（四舍五入取整数）分别作为，，估计高一年级颠球成绩不超过60个的人数（四舍五入取整数）；
(2)颠球比赛决赛采用5局3胜制，甲、乙两名同学争夺冠亚军，如果甲每局比赛获胜的概率为，在甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率.
附：若，则，，.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平均数、方差公式求出、，再根据正态分布的性质求出，即可估计人数；
（2）设事件表示“甲获胜”，事件表示“甲前局获胜”，求出、，再利用条件概率的概率公式计算可得.
【详解】（1）依题意，即，
，
所以，
同理，
所以，
所以
，
所以，即，
因为，且，
所以，
所以，即估计颠球成绩不超过个的人数为.
（2）设事件表示“甲获胜”，事件表示“甲前局获胜”，甲获胜有，，三类，
对应的概率分别为，，，
所以，
，
所以，
所以在甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率为.
53．现有人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病．化验方案：先将这人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束．已知这人未患该疾病的概率均为，是否患有该疾病相互独立．
(1)按照方案化验，求这人的总化验次数的分布列；
(2)化验方案：先将这人随机分成两组，每组人，将每组的人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还需要对这人再各做一次化验；否则化验结束．若每种方案每次化验的费用都相同，且，问方案和中哪个化验总费用的数学期望更小？
【答案】(1)见解析
(2)方案的化验总费用的数学期望更小.
【分析】（1）计算，，则得到其分布列；
（2）设按照方案化验，这10人的总化验次数为，的可能取值为，计算出各自概率即可.
【详解】（1）按照方案化验，这10人的总化验次数的可能取值为1,11.
，，
的分布列为：
（2）设按照方案化验，这10人的总化验次数为，的可能取值为，
，，，
，
由（1）知，，
，
因为当时，，所以.
所以方案的化验总费用的数学期望更小.
54．小梅参加甲、乙两项测试，每次测试结果只有3种，分别是优秀、良好、合格，结果为优秀得3分、良好得1分、合格得0分，小梅参加甲项测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，参加乙项测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试互不影响，两项测试结束后，小梅得分之和为.
(1)求小梅参加两项测试恰有一次为合格的概率；
(2)求的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）小梅恰有一次为合格这个事件可拆分为四个互斥事件的和：甲项合格乙项优秀，甲项合格乙项良好，甲项优秀乙项合格，甲项良好乙项合格，由互斥事件和独立事件的概率公式可得；
（2）的所有取值为，分别求得其概率及其分布列，再由期望公式计算出期望．
【详解】（1）记为事件“小梅参加甲项测试的得分为分”（，1，3），
则，，；
记为事件“小梅参加乙项测试的得分为分”（，1，3）
则，，.
记为事件“小梅参加两项测试恰有一次为合格”，
由题意，，
由事件的独立性和互斥性，
.
所以小梅参加两项测试恰有一次为合格的概率为；
（2）由题意，随机变量可能的取值为0，1，2，3，4，6，
由事件的独立性与互斥性，得：
，
，
，
，
，
.
可得随机变量的分布列为：
所以数学期望.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．我省高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么D等级的原始分最高大约为（ ）
附：①若，，则；
②当时，.
A．23B．29C．26D．43
【答案】C
【分析】设D等级的原始分最高为，由题意有，即，即可求结果.
【详解】由题意知：从低到高，即E到D等级人数所占比例为，
若D等级的原始分最高为，则，又，
所以，而，
所以，即，可得分.
故选：C
2．在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】明确恰好得5分的所有情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续得分，分别求解可得.
【详解】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B.
【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，题目稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
3．随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】写出第n次（）推送时不购买此商品的概率，构造得，从而利用等比数列通项得到，根据函数单调性即可得到答案.
【详解】由题意知，根据第次推送时购买、没有购买两种情况，写出第n次推送时没有购买的概率
第n次（）推送时不购买此商品的概率，
所以，由题意知，则，
所以是首项为、公比为的等比数列，
所以，即．
显然数列递减，所以当时，，
所以M的最小值为．
故选:A．
4．箱中有标号为1，2，3，4，5，6，7，8且大小相同的8个球，从箱中一次摸出3个球，记下号码并放回，如果三球号码之积能被10整除，则获奖.若有2人参加摸奖，则恰好有2人获奖的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出摸一次中奖的概率，摸一次中奖是一个等可能事件的概率，做出所有的结果数和列举出符合条件的结果数，得到概率，2个人摸奖．相当于发生2次重复试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．
【详解】解：由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，
从8个球中摸出3个，共有种结果，
3个球号码之积能被10整除，则其中一个必有5，
另外两个号码从1，2，3，4，6，7，8中抽取，且2个号码的乘积必须为偶数，
即：抽取的另外两个号码为：一个奇数和一个偶数或者两个都为偶数，
则，即共有18种结果，使得3个球号码之积能被10整除，
摸一次中奖的概率是，
2个人摸奖，相当于发生2次试验，且每一次发生的概率是，
有2人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是.
故选：A.
【点睛】本题考查等可能事件的概率以及独立重复试验的应用，还涉及组合数的公式运算．
5．（1）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为；（2）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记号盒子中小球的个数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】问题转化为将一个小球投入到个盒子中，投次，投入1号盒子中小球的次数为，
符合二项分布，可用二项分布相关公式求解.
【详解】问题转化为将一个小球投入到个盒子中，投次，投入1号盒子中小球的次数为，故
同理可得：
即
故选：A
【点睛】本题考查了二项分布及其期望方差的计算，考查了转化思想，属于中档题.
6．现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球.用，分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记，求随机变量的数学期望为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求出每个人去打篮球、打乒乓球的概率，的所有可能取值为0，2，4，利用二项分布的概率公式求出的分布列即可求得的期望值.
【详解】依题意，这4个人中，每个人去打篮球的概率为，去打乒乓球的概率为，
设“这4个人中恰有人去打篮球”为事件，
则﹐的所有可能取值为0，2，4.
由于与互斥﹐与互斥，故﹐
，
所以的分布列为
随机变量ξ的数学期望.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望、二项分布的概率求解，属于较难题.
二、多选题
7．中华人民共和国第十九届亚运会将于2023年9月在杭州举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，组委会欲从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的是（ ）
A．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则
B．设事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则
C．用表示抽取的3人中女志愿者的人数，则
D．用表示抽取的3人中男志愿者的人数，则
【答案】ACD
【分析】对于A，利用古典概型与组合的应用求得事件A与事件 的概率，再利用条件概率公式求解即可；对于B，利用对立事件与古典概型的概率公式即可得解；对于CD，依题意分别求得的分布列，再利用数学期望公式与方差公式求解即可判断.
【详解】对于A，从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长的基本事件有件，
其中事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”包含的基本事件有件，故，
事件表示“抽取的3人中全是男志愿者”，其包含的基本事件有件，故，
所以，故A正确；
对于B，事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者” 包含的基本事件有件，
所以，故B错误；
对于C，可得的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
所以，故C正确；
对于D，可得的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
则，
，
则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题CD选项的解决关键是利用离散型随机变量分布列的求法，分别求得的分布列，从而得解.
8．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p．记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（ ）
A．
B．
C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D．当时，
【答案】BC
【分析】确定，即可求出和，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，利用导数可求得其最大值，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断D.
【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，
则，则，，
故A错误，B正确；
对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为，
星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为，
设，则，
令，则（舍去）或或，
当时，，当时，，
故时，取得最大值，即，
即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为，
此时，故C正确；
对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为，
遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，
故一天遇到红灯次数的数学期望为，
所以，故D错误，
故选：BC
【点睛】难点点睛：求解星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率，关键是要明确一天至少遇到一次红灯的概率，从而表示出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，难点在于要利用导数求解最值,因此设函数，求导，利用导数解决问题.
三、填空题
9．从由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数中任取5个不同的数,其中满足1,3都不与5相邻的六位偶数的个数为随机变量X,则P(X=2)= .(结果用式子表示即可)
【答案】
【分析】先计算得“由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数”的方法数，然后计算出其中“1,3都不与5相邻的六位偶数”的方法数，再用超几何分布概率计算公式计算随机事件的概率.
【详解】“由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数”的方法数有种.如果都不相邻的位偶数有种，即先排好个偶数，然后奇数在前面的个空位中任排.如果相邻，与不相邻，即捆绑起来，方法数有种，即先将捆绑起来，然后排好个偶数，接着将与插空到前面个空位中.由此求得“1,3都不与5相邻的六位偶数”的方法数有种，其它情况有种.根据超几何分布概率计算公式有.
【点睛】本小题主要考查超几何分布的识别，考查排列数的计算，考查分类加法计数原理，考查捆绑法以及插空法，综合性较强，属于中档题.解决不相邻的问题往往考虑用插空法来解决，即是现将没有限制条件的元素排好，然后将需要不相邻的元素插入到空位中去，然后利用分步计算原理来计算方法数.
10．某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中 次．
【答案】4
【分析】易知投篮命中次数服从二项分布，设最有可能命中m次，于是，解出不等式即可得到答案.
【详解】投篮命中次数，
设最有可能命中次，则
，，．
最有可能命中4次．
故答案为：4.
四、解答题
11．2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言》.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实、精准、迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏、强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲、包容、韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展、中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术授助、非洲某芯片企业生产芯片Ⅰ有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.
(1)在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片Ⅰ的前三道工序的次品率分为.
①求生产该芯片I的前三道工序的次品率；
②第四道工序中，智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知芯片Ⅰ智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片，该芯片恰为合格品的概率；
(2)该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片Ⅱ.某手机生产厂商获得芯片Ⅰ与芯片Ⅱ，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名用户中，安装芯片Ⅰ的有40 部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片Ⅱ的有60部，其中对开机速度满意的占.现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取9人，再从这9人中选取4人进行座谈，记抽到对安装芯片Ⅱ的手机开机速度满意的人数为X，求X 的分布列及其数学期望.
【答案】(1)①；②
(2)分布列见解析，
【分析】（1）①根据相互独立事件概率计算公式、对立事件的知识求得正确答案.
②根据条件概率的知识求得正确答案.
（2）根据超几何分布的知识求得的分布列及其数学期望.
【详解】（1）①.
②设“芯片Ⅰ只能自动检测合格”为事件，“人工抽检合格”为事件，
由已知得，，
则工人在流水线进行人工抽检时，“抽检一个芯片，该芯片恰为合格品”为事件，
.
（2）对安装芯片Ⅰ的手机开机速度满意的人数为，对安装芯片Ⅱ的手机开机速度满意的人数为，所以采用分层抽样的方法的抽样比为，故所抽取的9人中，手机安装芯片Ⅰ的有3人，手机安装芯片Ⅱ的有6人，所以的说有可能取值为，
则，，
，，
所以的分布列为
所以.
12．随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为.
(1)求同学甲第二天选择套餐的概率；
(2)证明：数列为等比数列；
(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择去A餐厅就餐的概率，求取最大值时对应的的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)33
【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；
（2）根据题意结合全概率公式可得，结合等比数列的定义分析证明；
（3）根据题意分析可得，结合二项分布的概率公式列式求解.
【详解】（1）设“第1天选择B套餐”，“第2天选择B套餐”，
则“第1天不选择B套餐”.
根据题意可知：.
由全概率公式可得.
（2）设“第天选择B套餐”，则，
根据题意.
由全概率公式可得
，
整理得，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（3）第二天选择A类套餐的概率
由题意可得：同学甲第二天选择A类套餐的概率为，则不选择A类套餐的概率为，
所以，则，
当取最大值时，则，
即，解得，
且，所以.
13．某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率.
(1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；
(2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复.
（i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率；
（ii）求甲第（，2，，16）天选择“单车自由行”的概率，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数.
【答案】(1)4
(2)（i）；
（ii）；2天
【分析】（1）由合计得分可能的取值，计算相应的概率，再由公式计算数学期望即可；
（2）（i）利用互斥事件的加法公式和相互独立事件概率乘法公式求概率．；
（ii）由题意，求与的关系，通过构造等比数列，求出，再由求出对应的n.
【详解】（1）由题意，每位游客得1分的概率为，得2分的概率为，
随机抽取三人，用随机变量表示三人合计得分，则可能的取值为3，4，5，6，
，，
，，
则.
所以三人合计得分的数学期望为4.
（2）第一天选择“单车自由行”的概率为，则第一天选择“观光电车行”的概率为，
若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，
若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，则后一天选择“单车自由行”的概率为，
（i）甲第二天选择“单车自由行”的概率；
（ii）甲第天选择“单车自由行”的概率，有，
则 ，，
∴，
又∵，∴，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，
∴．
由题意知，需，即，
，即，
显然n必为奇数，偶数不成立，
当时，有即可，
时，成立；
时，成立；
时，，则时不成立，
又因为单调递减，所以时，不成立．
综上，16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数只有2天．
【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用全概率公式得到，从而利用数列的相关知识求得，从而得解.
14．草莓具有较高的营养价值､医疗价值和生态价值.草莓浆果芳香多汁，营养丰富，素有“水果皇后”的美称.某草莓园统计了最近100天的草莓日销售量（单位：千克），数据如下所示.
(1)求a的值及这100天草莓日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.
(2)该草莓的售价为60元每千克，为了增加草莓销售量，该草莓园推出“玩游戏，送优惠”活动，有以下两种游戏方案供顾客二选一.

游戏一：不透明盒子里装有2个红球，4个黑球，顾客从中不放回摸出3个球，每摸出一个红球每千克草莓优惠3元，摸出黑球不优惠.
游戏二：一张纸板共画了11个同心圆，圆心处标记数字0，从内到外的圆环内依次标记数字1到10，在圆心处有一颗骰子，顾客抛掷硬币决定骰子从圆心向外环移动，若掷出的硬币正面向上，则骰子向外移动一环（如：从圆心移动到标上数字1的环内）；若掷出的硬币反面向上，则骰子向外移动两环（如：从标上数字1的环内移动到标上数字3的环内）.顾客重复掷硬币直到骰子移到标上数字9的环就可以获得“九折优惠券”，或移到标上数字10的环就游戏结束无优惠.有两个孩子对于选择哪个游戏可以获得更大优惠出现了分歧，你能帮助他们判断吗？
【答案】(1)，267.5
(2)答案见解析
【分析】（1）利用频率分布直方图中频率之和等于1，求出a的值，然后再利用平均数的计算公式求解即可；
（2）对于游戏一：利用超几何分布列知识求出分布列和期望；对于游戏二：由条件确定的关系，变形后结合等比数列定义得是公比为的等比数列，利用累加法求得，也可以用列举法求出概率，从而求出分布列和期望，比较即可得出结论.
【详解】（1）由题意可得，
解得.
这100天草莓日销售量的平均数
.
（2）当选择游戏一时，设每千克草莓优惠金额为，则的可能取值为.
.
的分布列如下：
.
当选择游戏二时，设骰子移到标上数字的环的概率为.
第一次掷出的硬币正面向上，骰子向外移动一环，.
骰子移到数字处的情况任且只有两种.
第一种情况：骰子先到数字代表的环上，又掷出反面，其概率为；
第二种情况：骰子先到数字代表的环上，又掷出正面，其概率为.
所以，即，
所以是公比为的等比数列.
，
以上各式累加得，
所以.
获得“九折优惠券”的概率，无优惠的概率.
设选择游戏二时每千克草莓优惠金额为Y，则Y的可能取值为0，6.
.
因为，所以选择游戏二获得更大优惠的可能性更大.
注：也可用列举法求解：
骰子移动到标有数字9的环内有以下5类情况：
①移动两环4次，移动一环1次，其概率为，
②移动两环3次，移动一环3次，其概率为，
③移动两环2次，移动一环5次，其概率为，
④移动两环1次，移动一环7次，其概率为，
⑤移动一环9次，其概率为，
故.
【点睛】方法点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：
①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
15．卡塔尔世界杯小组赛阶段，每个小组4支球队循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分．每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛．若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛．假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例：若，，三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）．已知某小组内的，，，四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是，每场比赛的结果相互独立．
(1)若球队在小组赛的3场比赛中胜1场，负2场，求其最终出线的概率．
(2)已知该小组的前三场比赛结果如下：与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜．设小组赛阶段，球队的积分之和为，求的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，10
【分析】（1）由题意，若球队参与的3场比赛中胜1场，负2场，则球队参与的3场比赛中，球队和其余两队胜，另一队负，然后获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论即可求；
（2）分情况讨论小组赛阶段，球队的积分之和，并求出概率，进而写出分布列，求出期望.
【详解】（1）不妨假设球队参与的3场比赛结果为与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜．此时，，，各积3分，积0分．
在剩下的三场比赛中：
若与比赛平局，则，积分各加1分，都高于的积分，淘汰．
若与比赛平局，与比赛的结果无论如何，都有两队的积分高于，淘汰．
若与比赛平局，同理可得一定会淘汰．
综上，若要出线，剩下的三场比赛不可能出现平局．
若与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜，则出线，，，争夺第二名，出线的概率为．
若与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜，则出线，，，争夺第二名，出线的概率为．
其他情况均淘汰．
故最终出线的概率为．
（2）前三场比赛中，球队的积分之和为6．
剩下的三场比赛为与比赛，与比赛，与比赛，其中与比赛的结果与，球队的积分之和无关．
若与比赛中，，球队得到的积分之和为3，与比赛中，，球队得到的积分之和为3，则，其概率为．
若与比赛中，，球队得到的积分之和为3，与比赛中，，球队得到的积分之和为1，则，其概率为．
若与比赛中，，球队得到的积分之和为3，与比赛中，，球队得到的积分之和为0，则，其概率为．
若与比赛中，，球队得到的积分之和为2，与比赛中，，球队得到的积分之和为3，则，其概率为．
若与比赛中，，球队得到的积分之和为2，与比赛中，，球队得到的积分之和为1，则，其概率为．
若与比赛中，，球队得到的积分之和为2，与比赛中，，球队得到的积分之和为0，则，其概率为．
的分布列为
．
【点睛】关键点睛：本题关键是根据比赛规则讨论各队得分情况，分类求解，注意各种情况考虑全面.
16．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由（）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
(1)若每个元件正常工作的概率．
①当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和均值；
②计算．
(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元．请用表示出设备升级后单位时间内的利润y（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析一下能否提高利润．
【答案】(1)①分布列见解析；；②
(2)答案见解析
【分析】（1）①②利用二项分布的分布列与期望求法求解即可；
（2）先结合题意求得，再分类讨论增加2个相同的元件后的概率，从而得到与的关系式，分析即可得解.
【详解】（1）①因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的所有可能取值为0，1，2，3，
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，
所以，，
，，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
控制系统中正常工作的元件个数的均值为，
②由题意知，
.
（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为
所以升级改造后单位时间内产量的均值为，
所以
设备升级后单位时间内的利润为，即，
因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，
则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为；
所以，
即，
所以当时，单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大，
当时，，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，
又因为，
所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.
【点睛】关键点睛：本题第2小问解决的关键在于分类讨论原系统中元件正常工作的个数所对应的概率，从而得到与的关系式，由此分析得解.对照组
实验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
时段
价格变化
第1天到第20天
-
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
-
-
+
-
+
0
0
+
第21天到第40天
0
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
+
-
-
-
+
0
-
+
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
X
0
1
2
3
P
X
0
1
P
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
25
女生
35
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
25
25
50
女生
35
15
50
合计
60
40
100
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
X
1
2
3
4
P
A班
B班
合计
严格遵守
36
56
不能严格遵守
合计
50
50
A班
B班
合计
严格遵守
36
20
56
不能严格遵守
14
30
44
合计
50
50
100
0
1
2
0
1
2
3
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
该经济农作物亩产量（kg）
900
1200
概率
0.5
0.5
该经济农作物市场价格（元∕kg）
30
40
概率
0.4
0.6
25000
34000
46000
0.2
0.5
0.3
25000
34000
46000
0.2
0.5
0.3
女
甲
女
女
乙
女
甲
乙
女
女
甲
女
女
乙
甲
女
乙
女
女
甲
女
0
1
2
0
1
2
3
X
3000
2700
2400
600
300
0
P
0
1
2
0
2
4
6
8
1
2
3
4
5
P
18~35岁人群
其他人群
支持
不支持
支持
不支持
方案
90人
5人
1人
4人
0
1
2
组别
频数
3
4
8
11
41
20
8
5
0
1
2
3
消费金额（千元）




人数
40
60
40
30
20
10
X
2
3
4
P
0
1
2
3
FI




男
411
579
101
79
女
417
463
162
258
非虚弱
虚弱
总计
男
1170
女
1300
总计

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
非虚弱
虚弱
总计
男
990
180
1170
女
880
420
1300
总计
1870
600
2470
0
1
2
Y
0
1
2
3
4
5
P
时间（月份）
1
2
3
4
5
6
月收入（百万元）
6
9
15
22
33
47
2.86
17.50
142
7.29
0
1
2
3
X
0
1
2
3
4
1
11
0
1
2
3
4
6
2
2
4
1
2
3
4
销售量区间
天数
20
25
10
40
5
0
3
6
0.2
0.6
0.2
8
9
10
11
12
0
1
2
3
产量
0
设备运行概率
产品类型
高端产品
一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元）
2
1