初中1.3 一元二次方程的根与系数的关系课文配套课件ppt

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探索一元二次方程的根与系数的关系及其逆用，并证明
掌握一元二次方程的根与系数的关系，并能够应用这种关系解决问题
一元二次方程的根与系数的关系
Q1【知识回顾】：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：（2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况：
①当Δ>0时，有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，有两个相等的实数根；③当Δ<0时，没有实数根．
Q2：完成下表并观察一元二次方程的根与系数的关系，你发现了什么？
【总结】若x2+px+q=0的两个根是x1，x2，则x1+x2=p，x1·x2=q．
Q4：求出方程3x2-7x+4=0的解，并验证这个方程的根与系数的关系是否符合Q3中的猜想．
特别地：方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，x1+x2=p，x1·x2=q．
2.使用前提：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的有两个实数根，即Δ=b2-4ac≥0．
【探究1】不解方程，完成下列表格：
再次强调：韦达定理的使用前提——Δ=b2-4ac≥0
【探究2】继续不解方程，完成下列表格：
x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2
【探究3】已知ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和5，两根之积是6，则原方程可能为__________________．
若取a=1，则原方程为x2-5x+6=0．
3.韦达定理的逆用：一元二次方程的的两个根x1，x2满足x1+x2=m，x1·x2=n，这个方程可以记为a(x2-mx+n)=0(a≠0)．
一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1、已知一元二次方程x2+2x-m=0的一个根为2，则它的另一个根为________．
【分析】设方程的另一个根为t，根据题意得：2+t=-2，解得：t=-4．
【已知方程的一个根，求另一个根】
此类题默认Δ=b2-4ac≥0，可直接用韦达定理．
练1-1、关于x的一元二次方程5x2-4x+k=0的一个根为1，则它的另一个根是 ________．
练1-2、已知关于x的一元二次方程5x2+kx-6=0的一个根是2，则它的另一个根是 ________．
例2、已知a、b是一元二次方程2x2+3x-4=0的两个根，那么ab2+a2b的值是________．
【不解方程，求关于根的代数式的值】
此类题必然Δ=b2-4ac≥0，可直接用韦达定理．
练2-1、已知实数a、b分别满足a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且a≠b，则a2+b2的值为（　　）A．36 B．50 C．28 D．25
【分析】∵a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且a≠b，∴a、b可看作方程x2-6x+4=0的两根，∴a+b=6，ab=4，∴a2+b2=(a+b)2-2ab=62-2×4=28．
练2-2、已知方程x2-2x-2=0的两根分别为x1，x2，则x12-x22+4x2的值为________．
【分析】∵x2-2x-2=0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2=2，x1·x2=-2，∴x12-x22+4x2=(x1+x2)(x1-x2)+4x2=2(x1-x2)+4x2=2(x1+x2)=4．
例3、若α、β为x2+2x-4=0的两根，则a2+αβ+2α的值为 ________．
【分析】∵α、β为x2+2x-4=0的两根，∴α2+2α-4=0，αβ=-4，∴α2=-2α+4，∴a2+αβ+2α=-2α+4+(-4)+2α=0．
等式左边是二次，右边是一次，从左到右，可以达到“降次”的目的
练3、若x1，x2是方程x2=2x+2023的两个实数根，则代数式x13-2x12+2023x2的值为________．
【分析】∵x2=2x+2023整理得：x2-2x-2023=0，∵x1，x2是方程x2-2x-2023=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x12=2x1+2023，
原式=x1(x12-2x1)+2023x2=x1(2x1+2023-2x1)+2023x2=2023(x1+x2)=4046．
例4、若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别是x1=-3，x2=5，则b+c=________．
【分析】∵x2+bx+c=0的两个根分别是x1=-3，x2=5，∴-b=-3+5，c=-3×5，解得：b=-2，c=-15，∴b+c=-2+(-15)=-17．
【根据方程的两根或两根的关系式，求参数】
练4、若关于x的方程2x2+mx+n=0的根是x1=-1，x2=3，则m+n=________．
例5、若关于x的方程x2+(2-k)x+k2=0的两根互为倒数，则k=（　　）A．3 B．1 C．-1 D．±1
【分析】∵关于x的方程x2+(2-k)x+k2=0的两根互为倒数，∴x1x2=k2=1，解得：k=1或k=-1．
当k=1时，方程为x2+x+1=0，∵Δ=b2-4ac=1-4=-3<0，∴方程没有实数根，与题意不符．
练5、若一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1+x2=x1x2，则m的值是（　　）A．-1 B．3 C．3或-1 D．-3或1