第07讲 空间向量的数量积运算9种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版）

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掌握空间向量的数量积，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
知识点1 空间向量的夹角
知识点2 空间向量的数量积运算
1．(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cs〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)运算律
2.投影向量及直线与平面所成的角
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(——→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(——→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．
知识点3 空间向量数量积的性质
设，是非零向量，是单位向量，则
①； ②；
③或； ④；
⑤(当且仅当共线时等号成立)
1、求空间向量数量积的步骤
(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；
(3)代入a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求解．
注：在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式;其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积;最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或特殊角.
2、求两个向量的夹角有两种方法：
①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；
②先求a·b，再利用公式cs〈a，b〉＝求出cs〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值．
3、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．
4、利用空间向量解决垂直问题的方法
(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0.
5、求两点间的距离或线段长的方法
将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．
用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝，
.
（4）可用|a·e|＝|a||csθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．
考点一：空间向量数量积的概念辨析
空间向量的夹角
例1．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角．
变式1．（2023春·高二课时练习）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（ ）
A．30°B．60°C．150°D．120°
变式2．（2022·高二课时练习）如图，在长方体中：
(1)哪些棱所在直线与直线互为异面直线且互相垂直？
(2)若，分别求向量与，，的夹角.
空间向量的运算律
例2．【多选】（2023春·高二课时练习）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（2023春·高二课时练习）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若且，则B．
C．若，且，则D．
变式2．（2022秋·湖北襄阳·高二校考阶段练习）设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二：空间向量数量积的运算
例3．（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量，向量与的夹角都是，且，试求
(1)；
(2)．
变式1．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）在空间四边形中，等于（ ）
A．B．0C．1D．不确定
变式2．【多选】（2023春·高二课时练习）正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023春·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=_______.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）如图，面，为矩形，连接､､､､，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
变式5．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（ ）
A．B．C．D．
变式6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，.
(1)用，，表示；
(2)计算.
变式7．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
(1)
(2)
(3)
变式8．（2023·全国·高三对口高考）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式9．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________．
变式10．（2023春·高二课时练习）如图, 在直三棱柱 (即平面),, , 求
考点三：空间向量数量积的最值问题
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
变式1．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 的最大值为（ ）
A．2B．3C．1D．0
变式2．（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为_______________.
考点四：利用空间向量的数量积求夹角
例5．（2023秋·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为a，设，则（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______．
变式4．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是________.
变式5．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________.
变式6．（2023春·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________．
考点五：利用空间向量的数量积解决垂直问题
例6．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（ ）
A．－6B．6
C．3D．－3
变式1．（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
例7．（2023春·高二课时练习）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：．
变式1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且，，．
(1)求线段的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)若为的中点，证明：．
考点六：利用空间向量的数量积求距离(即线段长度)
例8．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知均为空间单位向量，且它们的夹角为，则______．
变式1．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（ ）
A．2B．
C．D．6
例9．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知正四面体的棱长为，若、分别是、的中点，则线段的长为（ ）
A．2B．
C．D．
变式1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.

变式2．（2023秋·天津·高二统考期末）在平行六面体中，，，，，则的长为_______．
变式3．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）平行六面体的底面是菱形，，，，线段的长度为，则______．
变式4．（2023秋·吉林长春·高二校考期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2023·高一课时练习）如图，二面角的平面角为，，，，，，，若，则长为（ ）
A．B．C．2D．
变式6．（2023春·高二课时练习）如图所示，在120°的二面角中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．

变式7．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（ ）

A．B．C．D．
变式8．（2023秋·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，，，，.
(1)求的值；
(2)已知F是线段CD中点，点E满足，求线段EF的长.
考点七：利用空间向量的数量积求投影
例10．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023春·高二课时练习）已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为_______．
变式2．（2023春·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点.
（1）求，的大小；
（2）求向量在向量方向上的投影的数量.
变式3．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
变式4．（2023春·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为______．
考点八：利用空间向量的数量积判断图形的形状
例11．（2023·高三课时练习）已知四边形满足，，，，则该四边形为（ ）．
A．平行四边形B．梯形
C．长方形D．空间四边形
变式1．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定
变式2．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在三维空间中，三个非零向量满足，则是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角或锐角三角形
变式3．（2022秋·浙江·高二校联考阶段练习）如图，在四面体中，设.
(1)若是的中点，用表示；
(2)若两两垂直，证明：为锐角三角形.
考点九：新定义问题
例12．【多选】（2022秋·广西玉林·高二校考阶段练习）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．B．
C．若，则D．
变式1．【多选】（2023·全国·高三专题练习）在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；
②的模(表示向量，的夹角)．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A．B．与共线
C．D．与正方体表面积的数值相等
变式2．（2022秋·广东广州·高二广州市真光中学校考阶段练习）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定：
（i）为同时与，垂直的向量；
（ii），，三个向量构成右手系（如图1）；
（iii）.
如图2，在长方体中，，.给出下列四个结论：
①；
②；
③；
④.其中，正确结论的序号是______________.
1．（2023春·高一课时练习）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A．B．C．D．4
2．（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（ ）

A．B．C．D．
2．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量，，中，，，则（ ）
A．B．5C．6D．
3．（2023·山东·校联考模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（ ）

A．B．4C．D．
4．（2023·全国·高三对口高考）在三棱锥中，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．不确定
5．（2023·全国·高三对口高考）若为非零向量，，则与一定（ ）
A．共线B．相交C．垂直D．不共面
6．（2023秋·高二课时练习）已知二面角的大小为，点B、C在棱l上，，，，，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，，，分别是所在棱的中点，则（ ）
A．4B．8C．12D．16
8．（2023春·高二课时练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
9．（2021秋·北京·高二统考期中）设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（ ）
A．、一定共面B．、、一定不共面
C．D．
二、多选题
10．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考期中）在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．直线与所成的角为
11．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．平面
B．
C．直线与平面所成的角的正弦值为
D．直线与所成角的余弦值为
三、填空题
14．（2023·全国·高三对口高考）棱长均为a的四面体中，的值等于_________．
15．（2023秋·高二课时练习）已知，则__________．
16．（2023春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）在空间中，是一个定点，给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量满足，，，则满足题意的点的个数为__________.
17．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）若三棱锥的棱长都为为的中点，为棱上一点，且，则的长为__________.
18．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，分别为上的点，且，__________.
19．（2023秋·湖北·高二统考期末）如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为_____.
20．（2023秋·广东湛江·高二统考期末）若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为60°，则______．
四、解答题
21．（2022·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，设，，．

(1)用，，表示；
(2)求AC1的长．
22．（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值.
23．（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）如图，多面体是将一个平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，点为三角形的重心．四边形是边长为的正方形，且，.
(1)求证：；
(2)求线段的长；
(3)求异面直线与所成角的余弦值．
定义
如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围
0≤〈a，b〉≤π
向量垂直
如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c