第13讲 两条直线平行和垂直的判定3种常见考法归类-新高二数学暑假衔接试题（人教版）

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知识点1 两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.
注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合．
（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.
知识点2 两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.
（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
（3）判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
1、两条直线平行的判定及应用
k1＝k2⇔l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．
2、利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
3、利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
考点一：两条直线平行的判定及应用
（一）两条直线平行的概念辨析
例1．（2023·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．两条直线的斜率相等是这两条直线平行的充要条件
B．两条直线的倾斜角不相等是这两条直线相交的充要条件
C．两条直线平行是这两条直线的倾斜角相等的充要条件
D．两条直线平行是这两条直线的法向量平行的充要条件
变式1．（2023秋·北京·高二人大附中校考期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题
①若，则斜率； ②若斜率，则；
③若，则倾斜角；④若倾斜角，则，
其中正确命题的个数是（ ）.
A．1B．2C．3D．4
变式2．【多选】（2023秋·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考期中）若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则它们的斜率相等B．若与的斜率相等，则
C．若，则它们的倾斜角相等D．若与的倾斜角相等，则
（二）两条直线平行关系的判定
例2．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各题中直线与是否平行．
(1)经过点，，经过点，；
(2)经过点，，经过点，．
变式1．（2023秋·高二课前预习）根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行或重合：
（1）经过点，；经过点，；( )
（2）的斜率为，经过点，；( )
（3）平行于轴，经过点，；( )
（4）经过点，，经过点，．( )
变式2．【多选】（2023秋·高二课时练习）满足下列条件的直线与一定平行的是（ ）
A．经过点，，经过点，
B．的斜率为1，经过点，
C．经过点，，经过点，
D．经过点，，经过点，
变式3．（2023秋·高二课时练习）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．重合D．以上都不对
变式4．（2023·全国·高二专题练习）判断三点是否共线，并说明理由．
（三）已知两条直线平行求参数
例3．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（ ）
A．－8B．0C．2D．10
变式2．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角为，直线的斜率为，若∥，则的值为________．
考点二：两条直线垂直的判定及应用
（一）两条直线垂直的概念辨析
例4．【多选】（2023秋·高二课时练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．斜率均不存在的两条直线可能重合
B．若直线，则这两条直线的斜率的乘积为
C．若两条直线的斜率的乘积为，则这两条直线垂直
D．两条直线，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则
变式1．【多选】（2023秋·高二课时练习）下列说法中正确的有（ ）
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于
变式2．（2023·高二课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．每一条直线都有倾斜角和斜率
B．若直线倾斜角为，则斜率为
C．若两直线的斜率，满足，则两直线互相垂直
D．直线与直线（）一定互相平行
两条直线垂直关系的判定
例5．【多选】（2023秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）下列直线互相垂直的是（ ）
A．的斜率为，经过点，
B．的倾斜角为，经过点
C．经过点，经过点
D．的斜率为2，经过点
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．
(1)经过点经过点；
(2)经过点经过点．
变式2．（2023秋·广东·高二校联考阶段练习）判断下列直线与是否垂直：
(1)的倾斜角为，经过，两点；
(2)的斜率为，经过，两点；
(3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且.
变式3．（2023秋·福建三明·高二校联考期中）已知直线经过，两点，直线倾斜角为，那么与（ ）
A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直
变式4．【多选】（2023·江苏·高二假期作业）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．以点为直角顶点的直角三角形
D．以点为直角顶点的直角三角形
变式5．（2023秋·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知直线的斜率是方程的两个根，则（ ）
A．B．
C．与相交但不垂直D．与的位置关系不确定
变式6．【多选】（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）（多选）若，，，，下面结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
（三）已知两直线垂直求参数
例6．（2023春·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．或D．或
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________.
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为，直线经过点，，且与l垂直，直线与直线平行，则等于（ ）
A．B．C．0D．2
变式3．（2023·江苏·高二假期作业）已知的顶点为，，，是否存在使为直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
变式4．（2023秋·青海海东·高二校考期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点，，直线过点，交轴于点，是坐标原点，且，，，四点共圆，那么的值是________．
变式6．（2023·江苏·高二假期作业）已知，，．
(1)求点的坐标，满足，；
(2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角．
变式7．【多选】（2023秋·广西贵港·高二校考阶段练习）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（ ）
A．B．C．D．
考点三：两直线平行与垂直的综合应用
例7．【多选】（2023秋·广西钦州·高二浦北中学统考期末）已知两条不重合的直线，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
变式1．【多选】（2023秋·山东济南·高二校考期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（ ）
A．若斜率，则 B．若，则
C．若倾斜角，则 D．若，则
例8．（2023秋·全国·高二期中）已知三点，则△ABC为__________ 三角形.
变式1．（2023秋·河南商丘·高二校联考期中）若，，，则的外接圆面积为______．
变式2．（2023秋·高二课时练习）以为顶点的四边形是（ ）
A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形C．梯形，但不是直角梯形D．直角梯形
变式3．（2023·高二课时练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.
变式4．（2023·江苏·高二假期作业）已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形．
变式5．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知四边形的顶点.
(1)求斜率与斜率；
(2)求证：四边形为矩形.
变式6．（2023·高二课时练习）（拓广探索）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标按逆时针顺序依次为，，，，其中．则四边形的形状为______.
变式7．（2023·全国·高二专题练习）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.
一、单选题
1．（2023·全国·高二专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行
B．若，则
C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交
D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行
2．（2023·高二课时练习）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
3．（2023·全国·高二专题练习）已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，则四边形ABCD的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．直角梯形
4．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．相交不垂直D．重合
5．（2023·江苏·高二假期作业）已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．可能重合D．无法确定
6．（2023·江苏·高二假期作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．重合D．以上都不对
7．（2023春·河北承德·高二承德市双滦区实验中学校考开学考试）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与
A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直
8．（2023秋·山东泰安·高二统考期末）若直线与直线平行，则实数k的值为（ ）
A．B．C．D．3
9．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为（ ）
A．2B．C．D．
10．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（ ）
A．B．或C．或D．
二、多选题
11．（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则斜率
B．若斜率，则
C．若倾斜角，则
D．若，则倾斜角
12．（2023·全国·高二专题练习）(多选)下列直线l1与直线l2平行的有（ ）
A．直线l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，直线l2过点C(3，-3)，D(8，-7)
B．直线l1经过点A(0，1)，B(-2，-1)，直线l2过点C(3，4)，D(5，2)
C．直线l1经过点A(1，)，B(2，2)，直线l2的倾斜角为60°且过原点
D．直线l1经过点A(0，2)，B(0，1)，直线l2的斜率为0
三、填空题
13．（2023·全国·高二专题练习）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为________.
14．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知经过点和点的直线l1与经过点和点的直线互相垂直，则实数_____.
四、解答题
15．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．
(1)经过点，经过点；
(2)的斜率为，经过点.
16．（2023·全国·高二专题练习）判断下列不同的直线与是否平行.
（1）的斜率为2，经过，两点；
（2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点；
（3）经过，两点，经过，两点．
17．（2023·全国·高二专题练习）判断下列各小题中的每对直线是否垂直
(1)l1的斜率为，l2经过点A（1，1），B（0，）
(2)l1的倾斜角为45°，l2经过点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣6）
(3)l1经过点M（1，0），N（4，﹣5），l2经过点R（﹣6，0），S（﹣1，3）
18．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知点，，，，试判定四边形ABCD的形状．
19．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）已知的点，，．
判断的形状；
设D，E分别为AB，AC的中点，求直线DE的斜率；