北师大版高中数学选择性必修第二册2.7.1-2实际问题中导数的意义与函数的最值【课件】
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这是一份北师大版高中数学选择性必修第二册2.7.1-2实际问题中导数的意义与函数的最值【课件】,共39页。PPT课件主要包含了新知初探课前预习,题型探究课堂解透,答案A,答案B,答案D,易错警示,答案C等内容,欢迎下载使用。
最新课程标准运用导数解决一些实际问题.
学科核心素养1.了解实际问题中导数的意义.(数学抽象)2.利用导数解决实际问题中的最值问题.(数学建模、数学运算)
[教材要点]要点一 导数的实际意义在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理解的量.以中学物理为例,速度是________关于________的导数,线密度是________关于________的导数,功率是________关于________的导数等.要点二 最优化问题在实际问题中,经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题,这些问题通称为最优化问题.导数是解决最优化问题的一个重要工具.
[基础自测]1.如果物体做直线运动的方程为s(t)=2(1-t)2,则其在t=4 s时的瞬时速度为( )A.12 B.-12C.4 D.-4
解析:s′(t)=-4(1-t).t=4 s时,s′(4)=12.所以瞬时速度为12.故选A.
2.将8分为两数之和,使其立方之和为最小,则分法为( )A.2和6 B.4和4C.3和5 D.以上都不对
解析:设其中一个数为x,则另一个数为8-x,y=x3+(8-x)3,0≤x≤8,y′=3x2-3(8-x)2,令y′=0,即3x2-3(8-x)2=0,得x=4.当0≤x≤4时,y′ln 2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.构造函数g(x)=ex-x2+2ax-1.
解析:(1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R,得f′(x)=ex-2,x∈R,令f′(x)=0,得x=ln 2.于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
故f(x)单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞).f(x)在x=ln 2处取得极小值,极小值f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a),无极大值.(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.由(1)知当a>ln 2-1时,g′(x)最小值为g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0.于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).又g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.
方法归纳关于证明问题首先分析要证明的命题是否与函数的最值、单调性等性质有关,如果有关则转化为相应的问题证明;其次是针对要证明的命题构造函数,再通过构造的函数性质证明,函数的证明问题往往都比较复杂,需要综合应用函数、导数等知识进行构造、转化等方式证明.
角度2 函数的零点问题例4 若函数f(x)=ex-ax2,a∈R在(0,+∞)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
方法归纳 已知函数零点个数求参数的常用方法(1)分离参数法:首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分类讨论法:结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围.
(2)已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数,a为常数)的图象在(0,1)处的切线斜率为-1.①求a的值及函数f(x)的极值;②证明:当x>0时,x20,故g(x)在R上单调递增.所以当x>0时,g(x)>g(0)=1>0,即x2
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