2024年吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学中考数学三模试卷

这是一份2024年吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第一中学中考数学三模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列四个数中，属于负整数的是（ ）
A．﹣2.5B．﹣3C．0D．6
2．（2分）某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）如图，固定窗帘架只需固定其中的两点，这样做的根据是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．过一点有无数条直线D．两点之问，线段最短
5．（2分）如图，含45°角的三角板ABC的直角顶点C在直尺的边MN上，斜边AB与直尺的两边分别交于点D，E，若∠BEF＝80°，则∠ACD的度数为（ ）
A．55°B．45°C．35°D．30°
6．（2分）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（ ）
A．37°B．74°C．53°D．63°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）因式分解：3mn2+mn＝ ．
8．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法表示为 ．
9．（3分）将如图所示的图案绕其中心至少旋转 度后能与原图案完全重合．
10．（3分）若一元二次方程x2﹣4x+c＝0的根的判别式的值为8，则c＝ ．
11．（3分）端午将至，某食品超市购进一种新口味粽子，每盒成本a元，然后面向消费者打出“八折”出售的销售方案，短短一天，则这家超市这一天销售这80盒粽子所获利润为 元．
12．（3分）如图，已知线段AB，分别以点A、B为圆心，两弧相交于点C、D，连接CD，以点E为圆心，AE长为半径作圆弧，连接BC、BF，则∠FBC＝ 度．
13．（3分）如图①是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图②所示，此时液面AB＝ cm．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，∠AEB＝∠DEC＝45°，以点E为圆心，分别与AE、DE交于点M、N，若AD＝4 （结果保留π）．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简再求值：a（a﹣2b）+2（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝﹣2，b＝3．
16．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接BD，CD．求证：四边形ABDC是菱形．
17．（5分）某校组织八年级学生赴珠湖小镇开展劳动实践活动，已知学校离珠湖小镇60千米，师生乘大巴车前往，推迟了6分钟出发，自驾小轿车以大巴车速度的1.2倍前往
18．（5分）某运动俱乐部推出活动，到俱乐部消费的顾客都有一次抽奖机会，商家在一个不透明的纸箱中放入三个小球，每个小球除字母不同外其余均相同，每次搅匀后顾客从纸箱中随机摸出一个小球记下字母后放回（A：乒乓球；B：羽毛球；C：游泳），小明和小亮均抽奖一次，用画树状图（或列表），求小明和小亮抽到的都是球类运动体验券的概率．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不要求写出画法．
（1）在图①中画一个等腰直角△ABC，使其面积为．
（2）在图②中画一个等腰锐角△ABD，使其面积为．
（3）在图③中画一个△ABE，使其面积为，且∠ABE＝45°．
20．（7分）如图，小张同学去黄山旅游时，发现太阳光线照射在立柱AB（与水平地面BF垂直）上，另一部分落在斜坡CE上，且CD⊥AD．经测量，CD＝8.5米，斜坡的坡角∠ECF＝32°（结果精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.53，cs32°≈0.85，tan32°≈0.62）
21．（7分）已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M．
（1）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与的图象交于点A（1，m）（n，﹣1），求A、B的坐标和b的值；
（2）在（1）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C、D
22．（7分）为提高我市中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩x（单位：分）
a．甲校学生成绩的扇形统计图如图（A组：0≤x≤60，B组：60＜x≤70，C组：70＜x≤80，D组：80＜x≤90，E组：90＜x≤100）．
b．甲校学生成绩在70＜x≤80这一组的成绩是（单位：分）：72，73，75，75，78，78．
c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如下表：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有p人，成绩高于平均分的人数有q人，则P q（填“＞”或“＜”）；
（3）通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由，并给出一条合理化的建议．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）A、B两个码头之间航程为48千米，甲、乙两轮船同时出发，甲轮船从A码头顺流匀速航行到B码头后，乙轮船从B码头逆流匀速航行到A码头后停止，两轮船在静水中速度均为20千米/时，两轮船距A码头的航程y（千米）与各自的航行时间x（时）
（顺流速度＝静水速度+水流速度；逆流速度＝静水速度﹣水流速度）
（1）水流速度为 千米/时；a值为 ；
（2）求甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式；
（3）当乙轮船到达A码头时，求甲轮船距A码头的航程．
24．（8分）【问题原型】如图①，在△ABC中，CD是AB边的中线AB．
求证：AC⊥BC．
【结论应用】如图②，在平行四边形ABCD中，∠B为锐角，连结DE，将四边形ABED沿DE折叠，点A、B的对应点分别为点H、F．
（1）ED与BF的位置关系是 ；
（2）连结FC，若∠DEC＝52°，求∠FCE的度数；
（3）如图③，当平行四边形ABCD为边长为4的正方形时，其余条件不变，连结EM，直接写出线段CM的长．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3．点P从点A出发，沿AB方向以．每秒1个单位长度的速度向终点B运动，作点P关于直线AC的对称点Q，连接PQ，设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段PQ的长；
（2）当点M落在边AC上时，求t的值；
（3）设▱PBMQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（4）连接PM，当直线PM与△ABC的一条边平行时，直接写出t的值．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点的纵坐标为﹣2．A（m⋅y1）、B（m+t，y2）是抛物线上的两点，其中t＞0，记抛物线在点A、B之间的部分为图象G（包含A、B两点）．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）当y1＝y2时，求m的取值范围；
（3）若t＝1，当图象G的最低点到x轴的距离等于抛物线的最低点到x轴的距离时，求m的取值范围；
（4）当抛物线的顶点是图象G的最低点时，图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为3，求t的取值范围．
2024年吉林省松原市前郭一中中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列四个数中，属于负整数的是（ ）
A．﹣2.5B．﹣3C．0D．6
【分析】根据负整数的定义进行判断即可．
【解答】解：﹣2.5是负分数，﹣6是负整数，6是正整数，
故选：B．
【点评】本题考查有理数，熟练掌握相关定义是解题的关键．
2．（2分）某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，可得选项B的图形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．（2分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣2≤4，得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤7，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（2分）如图，固定窗帘架只需固定其中的两点，这样做的根据是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．过一点有无数条直线D．两点之问，线段最短
【分析】根据直线的性质解答即可．
【解答】解：如图，固定窗帘架只需固定其中的两点．
故选：A．
【点评】此题主要考查了线段和直线的性质，解题的关键是掌握两点确定一条直线．
5．（2分）如图，含45°角的三角板ABC的直角顶点C在直尺的边MN上，斜边AB与直尺的两边分别交于点D，E，若∠BEF＝80°，则∠ACD的度数为（ ）
A．55°B．45°C．35°D．30°
【分析】由平行线的性质推出∠EDN＝∠BEF＝80°，由三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：∵MN∥PO，
∴∠EDN＝∠BEF＝80°，
∵∠A＝45°，
∴∠ACD＝∠EDN﹣∠A＝35°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠EDN＝∠BEF＝80°，由三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数．．
6．（2分）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（ ）
A．37°B．74°C．53°D．63°
【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得∠DOA＝74°，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【解答】解：如下图，连接OA，
∵A是劣弧的中点，
即弧DA＝弧FA，
∴∠DOA＝∠FOA，
∵∠EOD＝32°，
∴，
∵OD＝OA，
∴，
即∠CDA＝53°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）因式分解：3mn2+mn＝ mn（3n+1） ．
【分析】利用提公因式法进行因式分解即可．
【解答】解：3mn2+mn＝mn（3n+1）．
故答案为：mn（3n+8）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，正确找出公因数是解答本题的关键．
8．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法表示为 1.64×10﹣6 ．
【分析】根据科学记数法的要求，将一个数字写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：0.00000164＝1.64×10﹣2，
故答案为：1.64×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10n（其中1≤|a|＜10，n为整数）的形式是关键．
9．（3分）将如图所示的图案绕其中心至少旋转 90 度后能与原图案完全重合．
【分析】观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
【解答】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成．
故答案为：90．
【点评】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．
10．（3分）若一元二次方程x2﹣4x+c＝0的根的判别式的值为8，则c＝ 2 ．
【分析】根据已知条件，列出关于c的方程，解方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+c＝7的根的判别式的值为8，
∴Δ＝b2﹣7ac＝8，
（﹣4）3﹣4c＝8，
16﹣7c＝8，
4c＝4，
c＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．
11．（3分）端午将至，某食品超市购进一种新口味粽子，每盒成本a元，然后面向消费者打出“八折”出售的销售方案，短短一天，则这家超市这一天销售这80盒粽子所获利润为 （64b﹣16a） 元．
【分析】根据实际售价减去成本列式计算即可．
【解答】解：这家超市这一天销售这80盒粽子所获利润为[80×80%（b+a）﹣80a]＝（64b+64a﹣80a）＝（64b﹣16a）元；
故答案为：（64b﹣16a）．
【点评】本题考查了整式加减的应用，正确列出求解的式子是关键．
12．（3分）如图，已知线段AB，分别以点A、B为圆心，两弧相交于点C、D，连接CD，以点E为圆心，AE长为半径作圆弧，连接BC、BF，则∠FBC＝ 15 度．
【分析】判断出∠ABC＝60°，∠EBF＝45°可得结论．
【解答】解：如图，连接AC．
由作图可知AC＝BC＝AB，EC垂直平分线段AB，
∴△ABC是等边三角形，∠BEF＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵EB＝EF，
∴∠EBF＝∠EFB＝45°，
∴∠FBC＝∠ABC﹣∠EBF＝60°﹣45°＝15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（3分）如图①是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图②所示，此时液面AB＝ cm．
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽△ABH，即相似比为，
∴＝，
∵OM＝6cm，HN＝4cm，
∴＝，
∴AB＝．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，∠AEB＝∠DEC＝45°，以点E为圆心，分别与AE、DE交于点M、N，若AD＝4 4﹣π （结果保留π）．
【分析】用矩形的面积减去等腰直角三角形的面积和两个扇形的面积即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝5，
∴BC＝AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°．
又∵∠AEB＝∠DEC＝45°，
∴△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，CD＝CE，
∴BE＝CE＝2．
在Rt△ABE中，
AE＝，
同理可得，DE＝．
∵∠AED＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴．
又∵，S矩形ABCD＝2×4＝5，
∴S阴影＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S扇形ECN﹣S扇形EBM＝．
故答案为：3﹣π．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算、全等三角形的判定与性质及矩形的性质，熟知矩形的性质及扇形面积的计算公式是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简再求值：a（a﹣2b）+2（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝﹣2，b＝3．
【分析】根据单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式进行计算，然后合并同类项，最后将a、b的值代入进行计算即可．
【解答】解：a（a﹣2b）+2（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）6
＝a2﹣2ab+8（a2﹣b2）﹣（a3﹣2ab+b2）
＝a2﹣2ab+2a2﹣2b2﹣a4+2ab﹣b2
＝6a2﹣3b8，
当a＝﹣2，b＝3时3﹣3×37＝﹣19．
【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式和平方差公式的应用．
16．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接BD，CD．求证：四边形ABDC是菱形．
【分析】先根据A关于BC的对称点为D，得出AO＝DO，AD⊥BC，结合AB＝AC，得出BO＝CO，因为对角线互相平分且相等的四边形即为菱形，即可作答．
【解答】解：如图，连接AD交BC于O，
∵A关于BC的对称点为D，
∴BC垂直平分AD，
∴AO＝DO，AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形
∴BO＝CO，
∴四边形ABDC是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，轴对称的性质，抓钱舞记忆相关知识点是解题关键．
17．（5分）某校组织八年级学生赴珠湖小镇开展劳动实践活动，已知学校离珠湖小镇60千米，师生乘大巴车前往，推迟了6分钟出发，自驾小轿车以大巴车速度的1.2倍前往
【分析】设大巴车的平均速度为x千米/小时，则小轿车的平均速度为1.2x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合王老师比其他师生少用（6+4）分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即大巴车的平均速度），再将其代入1.2x中，即可求出小轿车的平均速度．
【解答】解：设大巴车的平均速度为x千米/小时，则小轿车的平均速度为1.2x千米/小时，
根据题意得：﹣＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，
∴1.2x＝5.2×60＝72（千米/小时）．
答：小轿车的平均速度为72千米/小时，大巴车的平均速度为60千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18．（5分）某运动俱乐部推出活动，到俱乐部消费的顾客都有一次抽奖机会，商家在一个不透明的纸箱中放入三个小球，每个小球除字母不同外其余均相同，每次搅匀后顾客从纸箱中随机摸出一个小球记下字母后放回（A：乒乓球；B：羽毛球；C：游泳），小明和小亮均抽奖一次，用画树状图（或列表），求小明和小亮抽到的都是球类运动体验券的概率．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，再找出小明和小亮抽到的都是球类运动体验券的情况数，即可求出其概率．
【解答】解：列表得：
由列表可知可能出现的结果共9种，其中小明和小亮抽到的都是球类运动体验券的情况有4种，
所以小明和小亮抽到的都是球类运动体验券的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不要求写出画法．
（1）在图①中画一个等腰直角△ABC，使其面积为．
（2）在图②中画一个等腰锐角△ABD，使其面积为．
（3）在图③中画一个△ABE，使其面积为，且∠ABE＝45°．
【分析】（1）作一个腰为的等腰直角三角形即可；
（2）取格点Q，连接CQ，取CQ的中点D，连接AD，BD，△ABD即为所求；
（3）在BC上取点E，使得BE：EC＝2：3，连接AE即可（可以证明△ABE的面积＝△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求；
（2）如图②中，△ABD即为所求；
（3）如图③中，△ABE即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
20．（7分）如图，小张同学去黄山旅游时，发现太阳光线照射在立柱AB（与水平地面BF垂直）上，另一部分落在斜坡CE上，且CD⊥AD．经测量，CD＝8.5米，斜坡的坡角∠ECF＝32°（结果精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.53，cs32°≈0.85，tan32°≈0.62）
【分析】延长AD交BF于点G，根据余弦的定义求出GC，进而求出GB，再根据正切的定义计算即可．
【解答】解：如图，延长AD交BF于点G，
在Rt△CDG中，∠CDG＝90°，CD＝8.5米，
则CG＝＝＝10（米），
∴∠BAG＝32°，BG＝12米，
∴AB＝＝≈19.4米，
答：立柱AB的高约为19.4米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．（7分）已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M．
（1）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与的图象交于点A（1，m）（n，﹣1），求A、B的坐标和b的值；
（2）在（1）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C、D
【分析】（1）先求出A、B两点的坐标，根据平移法则求出直线AB的解析式为y＝x+b，将A点坐标代入求出b值即可．
（2）先求出C、D两点的坐标，再根据S△AOB＝S△BOD+S△AOD，代入数据计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（1，m），﹣1）在，
∴m＝4，n＝﹣4，
∴A（6，4），﹣1），
           由平移得，
          将A（3，得b＝3，
          （2）由（1）可知直线AB的解析式为y＝x+3，
∴与x轴、y轴的交点坐标为C（﹣4，D（0，
∴OC＝OD＝3，
∴S△AOB＝S△BOD+S△AOD
＝OD•|xB|+OD•xA
＝
＝．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
22．（7分）为提高我市中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩x（单位：分）
a．甲校学生成绩的扇形统计图如图（A组：0≤x≤60，B组：60＜x≤70，C组：70＜x≤80，D组：80＜x≤90，E组：90＜x≤100）．
b．甲校学生成绩在70＜x≤80这一组的成绩是（单位：分）：72，73，75，75，78，78．
c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如下表：
（1）填空：m＝ 22.5 ，n＝ 74 ；
（2）在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有p人，成绩高于平均分的人数有q人，则P ＜ q（填“＞”或“＜”）；
（3）通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由，并给出一条合理化的建议．
【分析】（1）根据中位数的定义和百分比之和为1求解即可；
（2）根据题意求出p＝19，q≥20即可求解；
（3）根据中位数、平均数即可解答．
【解答】解：（1）甲班C组人数所占的百分比为×100%＝20%，
∴m%＝1﹣（15%+27.2%+20%+15%）＝22.5%，
∴m＝22.5，
甲校学生成绩排在第20，21位的是73，
所以甲校学生成绩的中位数n＝＝74，
故答案为：22.5，74；
（2）抽取的甲校的学生中，成绩的平均分为75，
∴p＝15%×40+22.5%×40+6＝19．
∵乙校的学生中，成绩的平均分为76，且76.1＜77.5，
∴q≥20．
∴p＜q，
故答案为：＜；
（3）乙校学生的“思维创新能力”更强，
理由如下：∵在抽取的竞赛学生的成绩中，乙校学生成绩的平均数和中位数均比甲校大．
建议：加强学生思维训练，鼓励学生进行创造性的活动，激发学生的学习兴趣和挑战欲望（写出一条．
【点评】本题考查中位数、平均数以及扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）A、B两个码头之间航程为48千米，甲、乙两轮船同时出发，甲轮船从A码头顺流匀速航行到B码头后，乙轮船从B码头逆流匀速航行到A码头后停止，两轮船在静水中速度均为20千米/时，两轮船距A码头的航程y（千米）与各自的航行时间x（时）
（顺流速度＝静水速度+水流速度；逆流速度＝静水速度﹣水流速度）
（1）水流速度为 4 千米/时；a值为 2 ；
（2）求甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式；
（3）当乙轮船到达A码头时，求甲轮船距A码头的航程．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以先计算出乙船的速度，然后即可计算出水流的速度和a的值；
（2）先设出函数解析式，然后根据题意和（1）中的结果，可以写出点（2，48），（5，0）在该函数图象上，代入函数解析式，求出k和b的值即可；
（3）根据题意和图象，可以计算出当乙轮船到达A码头时，甲轮船距A码头的航程．
【解答】解：（1）由图象可得，
乙船的速度为：48÷3＝16（千米/时），
∵两轮船在静水中速度均为20千米/时，
∴水流速度为：20﹣16＝4（千米/时），
a＝48÷（20+4）＝2，
故答案为：4，4；
（2）设甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由图象可得，甲轮船从B码头向A码头返回需要3小时，
∴点（2，48），4）在该函数图象上，
∴，
解得，
即甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式为y＝﹣16x+80；
（3）由（1）知，a＝2，
当乙轮船到达A码头时，甲轮船距A码头的航程为：48﹣48×，
即当乙轮船到达A码头时，甲轮船距A码头的航程为32千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
24．（8分）【问题原型】如图①，在△ABC中，CD是AB边的中线AB．
求证：AC⊥BC．
【结论应用】如图②，在平行四边形ABCD中，∠B为锐角，连结DE，将四边形ABED沿DE折叠，点A、B的对应点分别为点H、F．
（1）ED与BF的位置关系是 BF⊥DE ；
（2）连结FC，若∠DEC＝52°，求∠FCE的度数；
（3）如图③，当平行四边形ABCD为边长为4的正方形时，其余条件不变，连结EM，直接写出线段CM的长．
【分析】[问题原型]由等腰三角形的性质可得∠ACD＝∠CAD，∠DBC＝∠DCB，由三角形内角和定理可得结论；
[结论应用]
（1）根据轴对称的性质得出BF⊥DE；
（2）根据平行线的性质即可求解；
（3）证明Rt△ECM≌Rt△EFM（HL），设CM＝FM＝x，在Rt△DMH中，勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：[问题原型]证明：∵CD是AB边的中线，．
∴CD＝AD＝BD，
∴∠ACD＝∠CAD，∠DBC＝∠DCB，
∵∠ACD+∠CAD+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠ACB＝90°；
[结论应用]（1）依题意点A、B的对应点分别为点H、F，
∴B，F关于DE对称，
∴BF⊥DE；
（2）∵E为BC中点，EF＝EB＝EC，
由[问题原型]可得BF⊥CF，
又BF⊥DE，
∴DE∥CF，
∵∠DEC＝52°，
∴∠FCE＝∠DEC＝52°；
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠DCE＝∠ECM＝90°，
∵折叠，
∴∠EFM＝∠ABC，EF＝BE，
∴∠ECM＝∠EFM＝90°，
∵E为BC中点，
∴BE＝EC，
∴EC＝EF，
在Rt△ECM与Rt△EFM中，
，
∴Rt△ECM≌Rt△EFM（HL），
设CM＝FM＝x，
在Rt△DMH中，MH＝HF﹣MF＝AB﹣MF＝8﹣x，DH＝AD＝4，
∵DM2＝DH7+MH2，
∴（4+x）2＝（4﹣x）2+22，
解得x＝1，
即CM＝7．
【点评】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3．点P从点A出发，沿AB方向以．每秒1个单位长度的速度向终点B运动，作点P关于直线AC的对称点Q，连接PQ，设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段PQ的长；
（2）当点M落在边AC上时，求t的值；
（3）设▱PBMQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（4）连接PM，当直线PM与△ABC的一条边平行时，直接写出t的值．
【分析】（1）设PQ交AC于点I，由AC垂直平分PQ，得IP＝IQ，∠AIP＝90°，由∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，根据勾股定理得到AC＝5，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）由平行四边形的性质得到BM∥PQ，根据题意列方程即可得到结论；
（3）当0＜t＜时，如图中，重叠部分是五边形POTMB，当≤t＜时，如图中，重叠部分是四边形POTB，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（4）分三种情况讨论，当PM∥AC，求得∠PMB＝∠MPQ＝∠AIP＝90°，∠BPM＝∠A，根据三角函数的定义得到BM＝，列方程即可得到结论；当PM∥BC，求得∠APM＝∠ABC＝90°，可证明∠MPQ＝∠A，于是得到QM＝PQ•sinA＝PQ，于是得到结论；三是由PM与AB交于点P，说明PM与AB不平行
【解答】解：（1）设PQ交AC于点I，
∵点Q与点P关于直线AC对称，
∴AC垂直平分PQ，
∴IP＝IQ，∠AIP＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，AP＝1×t＝t，
∴AC＝＝＝4，
∴BC：AB：AC＝3：4：5，
∴IP＝AP•sinA＝t，
∴PQ＝8IP＝2×t＝t，
∴线段PQ的长为t；
（2）如图1，点M在AC上，
∵四边形PBMQ是平行四边形，
∴BM∥PQ，BM＝PQ＝t，
∴∠AMB＝∠AIP＝90°，
∴BM⊥AC，
∴×5BM＝△ABC，
解得BM＝，
∴，
解得t＝2．
（3）当6＜t＜时，如图中，
S＝S平行四边形PQMB﹣S△TQO＝（8﹣5t）××6t﹣2+t．
当≤t＜时，重叠部分是四边形POTB．
S＝•（OP+BT）•OT＝）×（2+．
综上所述，S＝；
（4）如图，PM∥AC，∠BPM＝∠A，
∴BM＝BP•sin∠MPB＝BP•sinA＝BP，
∵BP＝5﹣t，
∴t＝，
解得t＝，
∴PQ＝×＝，BP＝4﹣＝，
∴7PQ+2BP＝2×+2×＝，
∴▱PBMQ的周长是；
如图，PM∥BC，
∵QM∥PB，QM＝BP＝4﹣t，
∴∠PMQ＝180°﹣∠APM＝90°，
∴∠MPQ＝∠A＝90°﹣∠API，
∴QM＝PQ•sin∠MPQ＝PQ•sinA＝PQ，
∴4﹣t＝×t，
解得t＝，
∴PQ＝×＝，BP＝8﹣＝，
∴2PQ+2BP＝2×+2×＝，
∴▱PBMQ的周长是；
∵PM与AB交于点P，
∴PM与AB不平行，
综上所述，▱PBMQ的周长为或．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点的纵坐标为﹣2．A（m⋅y1）、B（m+t，y2）是抛物线上的两点，其中t＞0，记抛物线在点A、B之间的部分为图象G（包含A、B两点）．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）当y1＝y2时，求m的取值范围；
（3）若t＝1，当图象G的最低点到x轴的距离等于抛物线的最低点到x轴的距离时，求m的取值范围；
（4）当抛物线的顶点是图象G的最低点时，图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为3，求t的取值范围．
【分析】（1）先根据条件求出c值即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线的对称轴为直线x＝2，且y1＝y2，t＞0，列出方程m+t﹣2＝2﹣m，在依据t＞0解答即可；
（3）根据题意得到（2，﹣2）在图象G上列出不等式解答即可；
（4）根据题意可得不等式m⩽2⩽m+t．因为最高点与最低点的纵坐标之差为3，所以抛物线的最高点的纵坐标为1，当y＝1时，x2﹣4x+2＝1，解得．分情况讨论即可得到t的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点的纵坐标为﹣2，对称轴为直线x＝2，
∴﹣5＝4﹣8+c，
解得c＝6，
∴抛物线对应的函数关系式为y＝x2﹣4x+8．
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，且y1＝y8，t＞0，
∴m+t﹣2＝3﹣m，解得t＝﹣2m+4，
∵t＞8，
∴﹣2m+4＞8，
解得m＜2．
（3）若t＝1时，则A（m，y8），（m+1，y2），
∵图象G的最低点到x轴的距离等于抛物线的最低点到x轴的距离，
∴最低点（6，﹣2）在图象G上，
∴，
∴1⩽m⩽3，
m的取值范围是1⩽m⩽2．
（4）∵对称轴为直线x＝3，顶点为（2，
∴y的最小值是﹣2，
∵抛物线的顶点是图象G的最低点，
∴m⩽6⩽m+t．
∵最高点与最低点的纵坐标之差为3，
∴抛物线的最高点的纵坐标为1，
当y＝8时，x2﹣4x+3＝1，
解得．
当时，则，解得；
当时，则，解得．
综上所述，t的取值范围是．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
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学校
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