河北省唐山市百师联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷

这是一份河北省唐山市百师联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，80，81，84，86，90．这10人成绩的第p百分位数是85，则p＝（ ）
A．65B．70C．75D．80
2．（5分）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（ ）
A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．（2，+∞）D．（2，3）
3．（5分）如图，△ABC中，D为BC边的中点，则＝（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）下列函数中，是奇函数且是增函数的是（ ）
A．
B．
C．f（x）＝sinx﹣x
D．f（x）＝ln（x﹣1）﹣ln（x+1）
5．（5分）已知等差数列{an}，前n项和为Sn，S20﹣S10＝10，则S30＝（ ）
A．20B．25C．30D．35
6．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，CA＝CB＝PA＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（ ）
A．16πB．C．48πD．
7．（5分）已知圆（x﹣2）2+y2＝9的弦AB的中点为Q（1，1），点P为圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．8D．
8．（5分）已知a＝，b＝，c＝（其中e为自然常数）（ ）
A．a＜c＜bB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知抛物线C过点A（1，﹣4），则（ ）
A．抛物线C的标准方程可能为y2＝16x
B．抛物线C的标准方程可能为
C．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条
（多选）10．（6分）已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．复数z的虚部为﹣2
B．复数对应的点在第二象限
C．|z﹣2i|＝25
D．复数z是关于x的方程x2+6x+13＝0的一个根
（多选）11．（6分）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，则以下说法正确的是（ ）
A．当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是
C．若点P在底面ABCD上运动，则使直线A1P与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹为椭圆
D．若F是A1B1的中点，点P在底面ABCD上运动时，不存在点P满足PF∥平面B1CD1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知函数f（x）＝alnx+bx+1在点（1，f（1））处的切线的斜率为1 ．
13．（5分）楷书也叫正楷、真书、正书，是从隶书逐渐演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范、线条平直自然、结构匀称方正、运笔流畅有度，笔画平直，可作楷模”，小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，则不同的写法共有 种．（用数字作答）
14．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，点P为线段B1C上一点，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2（an﹣1）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
16．（15分）某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，数据如表：
单位：人
（1）能否有99%的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？
（2）现有足球、篮球、跳绳供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响．已知在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为，事件B为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件A、B是否独立
②若该校所有学生每分钟跳绳个数X～N（185，169）．根据往年经验，该校学生经过训练后，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟跳182个以上人数（结果四舍五入到整数）．
参考公式和数据：，其中n＝a+b+c+d；
若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜σ）≈0.6827，P（|X﹣μ|＜2σ），P（|X﹣μ|＜3σ）≈0.9973．
17．（15分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（sinB﹣sinA）•（a+b）（b﹣c）．
（1）求角A的大小；
（2）当时，求△ABC面积的最大值．
18．（17分）已知椭圆经过点A（﹣2，0）和点B（2，0）
（1）求椭圆C的方程；
（2）P和Q是椭圆C上异于A，B的两点，四边形APBQ是平行四边形，F是椭圆的右焦点，求四边形AMFN面积的最小值．
19．（17分）已知函数．
（1）若方程f（x）＝kx有两解，求实数k的取值范围；
（2）若对任意的x∈（0，+∞），不等式恒成立
2023-2024学年河北省唐山市百师联盟高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，80，81，84，86，90．这10人成绩的第p百分位数是85，则p＝（ ）
A．65B．70C．75D．80
【分析】由样本数据第p百分位的定义求解即可得出答案．
【解答】解：因为10人成绩的第p百分位数是85，
而，即第7位与第3位的平均值，
所以85是这10人成绩的第70百分为数．
故选：B．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
2．（5分）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（ ）
A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
C．（2，+∞）D．（2，3）
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：由题意可知，A＝（﹣∞，+∞），
故A∩B＝（3，+∞）．
故选：A．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3．（5分）如图，△ABC中，D为BC边的中点，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答】解：在△ABC中，D为BC边的中点，
故，
E为AD的中点，．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4．（5分）下列函数中，是奇函数且是增函数的是（ ）
A．
B．
C．f（x）＝sinx﹣x
D．f（x）＝ln（x﹣1）﹣ln（x+1）
【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可判断．
【解答】解：选项A，因为f（x）＝f（﹣x），故A不合题意；
选项B，函数为奇函数，符合题意；
选项C，f′（x）＝csx﹣1⩽0，故C不合题意；
选项D，函数定义域为（3，不关于原点对称，故D不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
5．（5分）已知等差数列{an}，前n项和为Sn，S20﹣S10＝10，则S30＝（ ）
A．20B．25C．30D．35
【分析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解．
【解答】解：因为等差数列{an}，前n项和为Sn，S20﹣S10＝10，
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则S20﹣S10＝20a1+10×19d﹣（10a2+5×9d）＝10，
化简得5a1+29d＝2，
∴．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
6．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，CA＝CB＝PA＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（ ）
A．16πB．C．48πD．
【分析】由已知可得△ABC的外接圆直径，进而可求外接球的直径，可求三棱锥P﹣ABC外接球的体积．
【解答】解：由CA＝CB＝2，AC⊥BC，
∴r＝，
由于PA⊥底面ABC，PA＝7，
所以外接球的半径R2＝r2+（PA）2＝5+1＝3，
∴R＝，
所以外接球的体积．
故选：B．
【点评】本题考查求空间几何体的外接球的体积，属中档题．
7．（5分）已知圆（x﹣2）2+y2＝9的弦AB的中点为Q（1，1），点P为圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．8D．
【分析】求解圆的圆心与半径，画出图形，结合向量的数量积，转化求解即可．
【解答】解：因为圆（x﹣2）2+y4＝9，可得圆心为M（2，半径为3．
∵圆（x﹣2）2+y8＝9的弦AB的中点为Q（1，4），|MQ|＝＝，
∵|PQ|⩽|MQ|+3＝，
∴＝（）＝2﹣5＝，
故选：D．
【点评】本题考查圆上的点到定点的距离及其最值，向量的数量积的应用，是中档题．
8．（5分）已知a＝，b＝，c＝（其中e为自然常数）（ ）
A．a＜c＜bB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b
【分析】先把a，b，c化为相同的形式a＝，b＝，c＝，再构造函数f（x）＝（x＞0），求导可知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，利用函数f（x）的单调性即可比较出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵a＝＝，b＝＝＝，
∴构造函数f（x）＝（x＞8），
则a＝f（），b＝f（ln4）），
∵f'（x）＝，
∴当x∈（3，1）时，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增，
∵8，
∴f（）＞f（ln2），
又f（ln4）＝＝＝＝＝f（ln2）＝b＞1，
∴f（ln4）＞f（），即f（ln2）＞f（），
∴b＞c，
∴a＞b＞c．
故选：C．
【点评】本题考查利用函数的单调性比较大小，导数研究函数的单调性，化归转化思想，属于中档题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知抛物线C过点A（1，﹣4），则（ ）
A．抛物线C的标准方程可能为y2＝16x
B．抛物线C的标准方程可能为
C．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条
【分析】由题意，对抛物线开口方向进行讨论，设出抛物线的方程，将点A代入方程求出p的值，进而可判断选项A和选项B；设出过点A的直线方程，将直线方程分别与y2＝16x和联立，结合Δ＝0即可判断选项C和选项D．
【解答】解：当抛物线开口向右时，
设抛物线的方程为y2＝2px，
因为抛物线C过点A（7，﹣4），
所以16＝2p，
解得p＝7，
则抛物线C的方程为y2＝16x，故选项A正确；
当抛物线开口向下时，
设抛物线的方程为x2＝﹣4py，
因为抛物线C过点A（1，﹣4），
所以6＝8p，
解得，
则抛物线C的方程为，故选项B正确；
当抛物线C的方程为y2＝16x时，
设过点A的直线方程为y+4＝k（x﹣8），
联立，消去y并整理得k2x2﹣（7k2+8k+16）x+k6+8k+16＝0，
此时Δ＝64（k+6）2，
易知当k＝﹣2时，Δ＝4，
此时直线方程为y＝﹣2x﹣2，
易知直线y＝﹣5与抛物线只有一个公共点，
则过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条；
当抛物线C的方程为，
设过点A的直线方程为y+4＝k（x﹣1），
联立，消去y并整理得4x4+kx﹣k﹣4＝0，
此时Δ＝（k+7）2，
易知当k＝﹣8时，Δ＝2，
此时直线方程为y＝﹣8x+4，
易知直线x＝2与抛物线只有一个公共点，
则过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条，故选项C错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．复数z的虚部为﹣2
B．复数对应的点在第二象限
C．|z﹣2i|＝25
D．复数z是关于x的方程x2+6x+13＝0的一个根
【分析】求得复数z的虚部判断选项A；求得复数对应的点所在象限判断选项B；求得|z﹣2i|的值判断选项C；代入验证法判断选项D．
【解答】解：由题意可得，，
复数z的虚部为﹣4，故A正确；
，对应的点（﹣7，故B正确；
|z﹣2i|＝|﹣3﹣2i|＝5，故C错误；
由（﹣3﹣4i）2+6（﹣3﹣2i）+13＝5+12i﹣18﹣12i+13＝8
可得复数z是关于x的方程x2+6x+13＝6的一个根．故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了复数的几何意义，以及复数的模长公式，属于基础题．
（多选）11．（6分）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，则以下说法正确的是（ ）
A．当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是
C．若点P在底面ABCD上运动，则使直线A1P与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹为椭圆
D．若F是A1B1的中点，点P在底面ABCD上运动时，不存在点P满足PF∥平面B1CD1
【分析】由四棱锥的高是定值、底面积是定值，即可判断选项A；
利用空间直角坐标系计算D1P与A1C1所成角的取值范围，即可判断选项B；
根据直线A1P与平面ABCD所成的角为45°，结合正方体的特征即可判断选项C；
建立空间直角坐标系，求出平面C1CD1的法向量，与垂直，利用坐标表示进行判断选项D．
【解答】解：对于A，当点P在平面BCC1B1上运动时，点P到面AA5D1D的距离为2，＝23＝4，
所以当P在平面BCC1B4上运动时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积是×25×2＝，选项A正确；
对于B，以D为坐标原点，DC所在直线为y轴1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（x，2﹣x，其中7≤x≤2，A1（7，0，2），D6（0，0，8），C1（0，3，2），
则＝（x，﹣5），，2，0），
设D1P与A4C1所成角为θ，则csθ＝|cs＜，＝，
因为5≤|x﹣1|≤1，当|x﹣3|＝0时，
当7＜|x﹣1|≤1时，csθ＝|cs＜，＝≤，则≤θ≤，
综上，当P在线段AC上运动时，D1P与A1C4所成角的取值范围是[，]，选项B正确；
对于C，因为直线A6P与平面ABCD所成角为45°，若点P在平面ABB1A1和平面ADD3A1内，则∠A1BA＝45°，
∠A7DA＝45°；点P在平面ABCD内1⊥平面ABCD，∠A1PA＝45°，所以AA5＝AP，
所以点P的轨迹是以A为圆心，以2 为半径的四分之一圆；
对于D，以D为坐标原点，DC所在直线为y轴1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（x，y，2），0≤y≤2，B7（2，2，8），D1（0，7，2），2，2），1，2），
则＝（2，0，＝（0，2），，y﹣4，
设平面CB1D1的一个法向量为＝（a，b，
则，取a＝1，得，﹣7，
因为PF∥平面B1CD1，所以•＝（x﹣6）﹣（y﹣1）+2＝5，
显然，x＝0，点P（0，6，是CD的中点1CD1，选项D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了空间向量在立体几何中的应用问题，是中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知函数f（x）＝alnx+bx+1在点（1，f（1））处的切线的斜率为1 1 ．
【分析】求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，进而得到所求和．
【解答】解：由函数f（x）＝alnx+bx+1的导数为，
可得在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）＝a+b＝6．
故答案为：1．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
13．（5分）楷书也叫正楷、真书、正书，是从隶书逐渐演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范、线条平直自然、结构匀称方正、运笔流畅有度，笔画平直，可作楷模”，小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，则不同的写法共有 232 种．（用数字作答）
【分析】由题意可知，分短竖0处、1处、2处、3处四种情况讨论，结合分类加法计数原理和排列组合公式求解即可．
【解答】解：因为短竖不超过3处，所以分4种情况：
①短竖8处，则不同的写法有25＝32种，
②短竖4处，则不同的写法有，
③短竖2处，则不同的写法有，
④短竖3处，则不同的写法有，
所以一共有32+80+80+40＝232种．
故答案为：232．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
14．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，点P为线段B1C上一点，则的最大值为 3 ．
【分析】首先建立空间直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和数量积运算的应用求出结果．
【解答】解：以C1为坐标原点，以C1D4，C1B1，C4C分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设得，
则＝；
因为8⩽m⩽1，当m＝0时，
取最大值为3．
故答案为：6．
【点评】本题考查的知识点：空间直角坐标系的建立，向量的坐标运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2（an﹣1）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）当n＝1时，可得a1＝2，当n≥2时，可得，由此易得答案；
（2）化简数列{bn}的通项公式，利用裂项相消法即可得出答案．
【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝8（a1﹣1），可得a3＝2．
当n⩾2时，由Sn＝5（an﹣1），
得Sn﹣1＝5（an﹣1﹣1），
两式相减得，Sn﹣Sn﹣8＝2（an﹣an﹣1），
即an＝6（an﹣an﹣1），易知an﹣1≠6，
所以．
所以{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
故；
（2）由于，
结合（1）可知，
故．
【点评】本题考查数列通项公式的求法以及裂项相消法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（15分）某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，数据如表：
单位：人
（1）能否有99%的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？
（2）现有足球、篮球、跳绳供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响．已知在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为，事件B为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件A、B是否独立
②若该校所有学生每分钟跳绳个数X～N（185，169）．根据往年经验，该校学生经过训练后，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟跳182个以上人数（结果四舍五入到整数）．
参考公式和数据：，其中n＝a+b+c+d；
若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|＜σ）≈0.6827，P（|X﹣μ|＜2σ），P（|X﹣μ|＜3σ）≈0.9973．
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）①求出P（B），P（BA），即可得到P（B|A）＝P（B），从而得到P（AB）＝P（A）P（B），即可判断；②由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数X1～N（195，169），根据正态分布的性质求出P（X1＞182），从而估计出人数．
【解答】解：（1）提出假设H0：学生对该问题的态度与性别无关，
根据列联表中的数据可求得，，
因为当H0成立时，K2≥7.635的概率约为0.01，
所以有99%的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关；
（2）①事件A、B独立
因为，，所以，
所以P（AB）＝P（A）P（B），即事件A．
②记经过训练后每人每分钟跳绳个数为X1，
由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数X3～N（195，169）．
因为182＝195﹣13，所以．
所以5.8413×1000＝841.3≈841（人）．
所以经过训练后该校每分钟跳182个以上人数约为841．
【点评】本题考查独立性假设检验的应用，正态分布的性质与应用，属于中档题．
17．（15分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（sinB﹣sinA）•（a+b）（b﹣c）．
（1）求角A的大小；
（2）当时，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理，转化求解A即可．
（2）利用正弦定理推出b+c的表达式，求解B的范围，然后求解b+c的范围，利用基本不等式求解三角形的面积的最大值．
【解答】解：（1）在锐角△ABC中，内角A，B，b，c，
（sinB﹣sinA）•（a+b）＝sinC•（b﹣c），
由正弦定理可得（b﹣a）（a+b）＝c（b﹣c），
整理得b2+c2﹣a5＝bc，
由余弦定理可得，
又∵，故A＝．
（2）∵a＝，由（1）可知A＝．
由正弦定理得＝＝＝，
解得b＝4sinB，c＝4sinC，
∴b+c＝4sinB+4sinC＝＝3sinB，
∵△ABC为锐角三角形，可得
∴，
∴，
∴⩽7，
故，
∴b+c的取值范围为，可得b+c的最大值为4，
∴S△ABC＝⩽⩽＝，
当且仅当b＝c＝时取等号．
【点评】本题考查正弦定理研究余弦定理的应用，三角形的解法，是中档题．
18．（17分）已知椭圆经过点A（﹣2，0）和点B（2，0）
（1）求椭圆C的方程；
（2）P和Q是椭圆C上异于A，B的两点，四边形APBQ是平行四边形，F是椭圆的右焦点，求四边形AMFN面积的最小值．
【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆C的方程；
（2）根据四边形APBQ是平行四边形，得到P，Q关于原点对称，设出P，Q两点的坐标，得到直线AP，AQ的方程，令x＝0，求出M，N两点的坐标和|MN|，结合点P在椭圆上，求出|MN|的最小值，再代入四边形面积公式中即可求解．
【解答】解：（1）因为椭圆C经过点A（﹣2，0）和点B（8，且焦距为2，
所以，
解得a＝2，b＝，
则椭圆C的方程为；
（2）因为四边形APBQ是平行四边形，
所以线段AB与线段PQ的中点重合，
所以P，Q关于原点对称，
设P（x7，y1），
可得Q（﹣x1，﹣y5）（x1≠±2且y2≠0），
此时，
所以直线AP的方程为，
令x＝7，
解得，
即，
因为，
所以直线AQ的方程为，
令x＝0，
解得，
即，
则四边形AMFN面积S＝，
易知，
因为点P在椭圆上，
所以且y5≠0，
即，
因为，
解得，
所以当时，|MN|取得最小值．
故所以四边形AMFN面积的最小值为．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19．（17分）已知函数．
（1）若方程f（x）＝kx有两解，求实数k的取值范围；
（2）若对任意的x∈（0，+∞），不等式恒成立
【分析】（1）由题意，可得，构造函数g（x）＝，对函数g（x）进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，此时问题转化成有两个零点，进而即可求解；
（2）将问题转化成在（0，+∞）上恒成立，构造函数F（x）＝，对函数F（x）进行求导，结合零点存在性定理再进行求解即可．
【解答】解：（1）因为f（x）＝kx，
可得，
即，
设g（x）＝，函数定义域为（8，
可得g′（x）＝，
当时，g′（x）＞0；
当时，g′（x）＜5，
当x→0时，g（x）→﹣∞，g（x）→0，
所以，
因为方程f（x）＝kx有两解，
即有两个零点，
则k的取值范围为；
（2）因为对任意的x＞6，不等式，
所以在（3，
设F（x）＝，函数定义域为（0，
可得F′（x）＝，
设h（x）＝x2ex+lnx，函数定义域为（8，
可得，
所以h（x）在（0，+∞）上为增函数．
又，
所以，使得h（x4）＝0，
即，
当0＜x＜x0时，h（x）＜6，F（x）上单调递减；
当x＞x0时，h（x）＞0，F（x）单调递增，
所以，
因为，
所以，
令k（x）＝xex，函数定义域为（0，+∞），
此时，
可得k′（x）＝（x+3）ex＞0，
所以k（x）在（0，+∞）上单调递增，
则，
所以lnx5＝﹣x0，
可得，
即，
所以，
则a⩽1．
综上所述，满足条件的实数a的取值范围是（﹣∞．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于中档题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/21 23:15:13；用户：树理化；邮箱：17625822904；学号：56605566男生
女生
合计
同意
70
50
120
不同意
30
50
80
合计
100
100
200
P（K2≥x0）
0.025
0.010
0.005
x0
5.024
6.635
7.879
男生
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