（人教A版）2024年高中数学高二暑假讲义复习重难点-第01讲：函数的基本性质（单调性、最值和奇偶性）高频考点突破

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考点一：函数的有关概念
考点二：函数的单调性
考点三．函数的最值
考点四．函数的奇偶性
【题型归纳】
题型一：函数的定义域
1．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）函数的定义域为（ ）
A．(0,1]B．(0,+∞)C．(1,+∞)D．[1,+∞)
【答案】D
【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式组求解即可.
【详解】要使函数有意义，
则，解得，
即函数的定义域为.
故选：D
2．（2023秋·辽宁沈阳·高一统考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【详解】∵函数的定义域为，即，可得，
∴函数的定义域为，
令，解得，
故函数的定义域为.
故选：B.
3．（2022秋·山东淄博·高一统考期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据被开方数不小于零，对数的真数部分大于零列不等式组求解.
【详解】由已知得，解得.
所以函数的定义域为.
故选：D.
题型二：复杂（根式、分式）函数的值域
4．（2023秋·山东德州·高一统考期末）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，求出的值域，结合指数函数的性质，即可求出函数的值域.
【详解】令，由，则，所以，所以，又，所以函数的值域为.
故选：B
5．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.
【详解】由已知值域为，故A错误；
时，等号成立，所以的值域是，B错误；
因为定义域为， ，函数值域为，故C正确；
，，，所以，故D错误.
故选：C.
6．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知函数的值域为的值域为，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】分别利用和的取值范围求出参数和，即可求出的值
【详解】在函数中，值域为
∴函数的值域为，
∴，解得：
在中，值域为
∴在中，值域为，
∵，
∴，解得：
∴，
故选：C
题型三：求解析式三大方法
7．（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知函数满足，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】分别令，，然后解方程组可得.
【详解】分别令，，则，解得.
故选：A
8．（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）已知二次函数，，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函数图象与轴交点确定值，函数和函数相等，对应系数相等确定、值.
（2）根据区间上的单调性求出最值，即可得到区间上的值域.
【详解】（1）解：因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，所以，
即．
（2）解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．
因为在递减，在递增，所以，
因为，，
所以，
所以在上的值域为．
9．（2023秋·吉林松原·高一校考期末）已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断的奇偶性；
【答案】(1)
(2)为奇函数，证明见解析
【分析】（1）利用换元法，可得函数的表达式；
（2）根据奇函数定义判断可得答案．
【详解】（1）令，则，
因为，所以，所以，
由得，且，
所以；
（2）因为，
定义域关于原点对称，
，
所以为奇函数.
题型四：分段函数
10．（2023秋·甘肃白银·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．B．2C．1D．0
【答案】A
【分析】根据的范围代入分段函数的解析式利用对数运算求值.
【详解】因为，所以，
故选：A
11．（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知函数,若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出的图象，得到，问题转化为，换元后进行求解，得到答案.
【详解】作出的图象，如图所示：

由，可得，
则，
令，
则，
故．
故选：D．
12．（2022秋·江西抚州·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．或C．D．
【答案】D
【分析】根据已知得出函数在定义域上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案.
【详解】函数中，
在上单调递减，在上单调递减，且，
则函数在定义域上单调递减，
，
，解得：，
即不等式的解集为.
故选：D.
题型五：根据函数的单调性求参数范围
13．（2022秋·四川广安·高一统考期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.
【详解】由题意，，
在中，函数单调递增，
∴，解得：，
故选：C.
14．（2022·全国·高一期末）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】不妨设，令，由题分析可得函数在上单调递减，讨论和时，要使在上单调递减时需要满足的条件，即可求出答案.
【详解】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，
则恒成立，所以函数在上单调递减.
当时，在上单调递减，符合题意；
当时，要使在上单调递减，
则解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：D.
15．（2022秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数是上的增函数，则每一段都为增函数，且右侧的函数值不小于左侧的函数值求解.
【详解】函数是上的增函数，
所以，解得 ，
所以实数的取值范围是
故选：A.
题型六：函数不等式恒成立问题
16．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知不等式对任意上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】变形给定的不等式，构造函数，结合指数函数的单调性及基本不等式求解作答.
【详解】，，
令，，当且仅当，即时取等号，
因此当时，取得最小值4，则，
所以实数m的取值范围是.
故选：C
17．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形结合得到实数a的取值范围.
【详解】若，此时，，而，故无解；
若，此时，，而，
令，，
画出两函数图象，如下：
故要想在内恒成立，
则要，解得：.
故选：B.
18．（2019秋·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考期末）定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件可知，当时，为减函数，再由偶函数的性质将，可化为，进而可得，化简得，从而得，可求出的范围，从而可得其最大值
【详解】因为在上的函数满足，
所以为偶函数，
因为当时，，
所以在上为减函数，
因为，为偶函数，
所以，所以，
两边平方化简得，，
因为对任意的，不等式恒成立，
所以，解得，
所以实数的最大值为，
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查偶函数性质的应用，解题的关键是利用偶函数的性质将对任意的，不等式恒成立，转化为，从而可得结果.
题型七：利用奇偶性求函数的解析式
19．（2022秋·上海闵行·高一校考期末）设函数是R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象的递减区间，分析可得答案.
【详解】根据题意，设，则，
所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以，
即时，，此时函数在上单调递减，在单调递增；
当时，，此时函数在上单调递增，在单调递减；
所以函数在上单调递减，
若，即，又由，且，必有时，，
解得：，所以不等式的解集为.
故选：.
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
20．（2022秋·浙江绍兴·高一统考期末）若分别为定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】由奇偶性的定义求得与的表达式，然后求函数值．
【详解】（1），则，
又分别为定义在上的奇函数和偶函数，
∴（2），
（1）（2）两式相加除以2得，相减除以2得，
∴，，∴，
故选：D．
21．（2023秋·河南许昌·高一校考期末）已知函数是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可得出关于、的等式组，由此可解得函数的解析式.
【详解】因为是奇函数，是偶函数，所以，．
所以，，即，
因此，.
故选：D.
题型八：抽象函数的奇偶性问题
22．（2022秋·重庆合川·高一重庆市合川中学校考期末）定义在R上的函数f（x）满足，当时，，则f（x）满足（ ）
A．
B．是偶函数
C．f（x）在[m，n]上有最大值f（m）
D．0的解集为
【答案】C
【分析】先对赋值计算得，再根据定义判断为奇函数，结合当时，判断单调递减，逐一结合选项判断正误即可.
【详解】令，则，得，
令，则，故为R上的奇函数，故B错误；
任取，则，则，
，
故函数f（x）在R上单调递减，则，故A错误；
故f（x）在[m，n]单调递减，有最大值f（m），故C正确；
，又函数f（x）在R上单调递减，故，
得，故D错误.
故选：C.
23．（2022秋·浙江绍兴·高一统考期末）已知函数，，，有，其中，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．是偶函数D．存在非负实数T，使得
【答案】D
【分析】利用特殊函数可判断ABC的正确，利用赋值法可证明为周期函数，从而可得正确的选项.
【详解】取，则，
，
因此成立，
此时，，故为偶函数，故A错误，B错误.
取，则，
，
因此成立，
此时为奇函数，故C错误.
令，则，
令，则，
若，
令，则，
且，而，故.
所以，
令，则，
令，则，
整理得到：，而，
故，此时令，则，
故或.
若，则，故为偶函数，
故即，
所以为周期函数且周期为.
若，则，故为奇函数，
故即，
故
所以为周期函数且周期为.
若，则，
此时，故或.
若，
令，则，
令，则，所以.
令，则，
令，则，
故即，
故为周期函数且周期为.
若，
令，则，
令，则，所以.
令，则，
令，
则，
故即，
故为周期函数且周期为.
综上，为周期函数，故D正确.
故选：D.
【点睛】思路点睛：抽象函数的性质问题，可以根据抽象函数的运算性质寻找具体的函数来辅助考虑，此处需要对基本初等函数的性质非常熟悉.另外，在研究抽象函数的性质时，注意通过合理赋值来研究抽象函数的对称性、周期性.
24．（2019秋·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考期末）设奇函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，则不等式≤0的解集为（ ）
A．(-∞，-2]∪(0，2]B．[-2，0)∪[2，+∞)
C．(-∞，-2]∪[2，+∞)D．[-2，0)∪(0，2]
【答案】D
【分析】由给定条件可得函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，+∞)上的函数值为负，利用奇函数的性质化简不等式，解出不等式即得.
【详解】因函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，即函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，+∞)上的函数值为负，
又f(x)是奇函数，于是得，
因此，当x>0时，，则有0综上，不等式≤0的解集为[-2，0)∪(0，2].
故选：D
题型九:利用函数的奇偶性与单调性解不等式
25．（2022秋·江西抚州·高一统考期末）已知是定义域为的偶函数，则（ ）．
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的性质列方程求出，代入计算即可.
【详解】由是定义域为的偶函数得
，解得，
.
故选：B.
26．（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）若偶函数在上单调递增，且，则不等式解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质，结合分类讨论思想进行求解即可.
【详解】因为是偶函数，所以由，
当时，由，
因为在上单调递增，
所以，或，
而，所以；
当时，由，
因为在上单调递增，
所以或，
而，所以，
故选：A
27．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将等价于和，根据奇函数以及单调性即可求解.
【详解】由是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若可知：且在也严格单调递减，故
当和时，，当和时，，
故等价于和，解得，
故选：B
题型十：函数性质的综合性问题
28．（2022春·安徽滁州·高一统考期末）已知函数．
(1)用定义法证明在上单调递增；
(2)不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用定义法证明即可；
（2）利用函数的单调性，转化为恒成立，然后分离参数,将恒成立问题转化为最值问题即可.
【详解】（1），
设，则，
，，即
所以在上单调递增
（2）在上单调递增，等价于：
，
即在时恒成立，
，
在时，
在时恒成立，即：
，
或，
故答案为：
29．（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知函数为奇函数.
(1)求实数的值，判断函数的单调性并用定义证明；
(2)求关于的不等式的解集.
【答案】(1),在上是增函数，证明见解析
(2)或.
【分析】（1）根据题意，利用，求得的值，结合函数单调性的定义和判定方法，以及指数函数的性质，即可求解；
（2）求得，把不等式转化为，结合对数函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：因为的定义域是且是奇函数，可得，可得，
函数在上是增函数，证明如下：
任取，且，则，
因为为增函数，且，所以，
所以，
所以，即，所以在上是增函数.
（2）解：由（1）知在上是增函数，且，
则不等式，即为，
可得，即，解得或，
所以不等式的解集为或.
30．（2023秋·安徽滁州·高一安徽省定远县第三中学校联考期末）已知函数，其中且．
(1)求的值并写出函数的解析式；
(2)判断并证明函数的奇偶性；
(3)已知在定义域上是单调递减函数，求使的的取值范围．
【答案】(1)，
(2)奇函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）由求解即可；
（2）由函数奇偶性的定义判断并证明即可；
（3）由，结合函数单调性求解即可.
【详解】（1）由已知，，
∴，解得（舍）或，
∴．
（2）为奇函数，证明如下：
∵，∴由即，解得，
∴的定义域为，
，都有，
且，即，
∴函数是定义在上的奇函数．
（3）∵在定义域上单调递减，，
∴解得，
又∵的定义域为，
∴的取值范围是．
【强化精练】
一、单选题
31．（2023秋·云南红河·高一统考期末）下列函数中，既是奇函数又是在区间上单调递增的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数与二次函数的奇偶性与单调性一一判定即可.
【详解】对于A选项，是定义在上的减函数，不合题意.
对于B选项， 是偶函数，不合题意.
对于C选项， 是非奇非偶函数，不合题意.
对于D选项，因为，故为奇函数，
显然，在单调递增，符合题意.
故选：D .
32．（2022春·安徽滁州·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】根据题意，分析可得，变形可得，即是周期为8的周期函数，结合函数的解析式可得答案．
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，
若函数满足，则有，
则有，可得，则函数是周期为8的周期函数，
所以，
因为，
所以，
因为当时，，
所以，即.
故选：A.
33．（2023春·江西赣州·高一校联考期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．2B．0C．1D．
【答案】D
【分析】通过对已知条件的转化，得出函数是周期函数.利用函数周期性转化求值即可.
【详解】因为，所以，且，
则，又可得，，
故，所以函数是周期的周期函数，
．
故选：D．
34．（2022秋·甘肃兰州·高一统考期末）设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数为偶函数，将自变量转化到同一个单调区间，再根据函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为为定义在上的偶函数，
所以，
又因为在上为增函数，，
所以，即.
故选：B.
35．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解.
【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
所以，，
因为，①
所以，
所以，②
①②得，，
因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以在上单调递增，又，
若恒成立，则恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，
所以只需，
因为，，所以（当且仅当，即时取等号），
所以（当且仅当时，取等号），
所以，
所以的取值范围为.
故选：B．
36．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第四中学校考期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.
【详解】∵当时，恒成立，
∴当时，，即，
∴函数在上为单调增函数，
∵函数是偶函数，即，
∴函数的图象关于直线对称，∴，
又函数在上为单调增函数，∴，
即，∴，
故选：B.
二、多选题
37．（2023秋·江西南昌·高一统考期末）已知，若“，使得”是假命题，则下列说法正确的是（ ）
A．是R上的非奇非偶函数，最大值为1
B．是R上的奇函数，无最值
C．是R上的奇函数，m有最小值1
D．是R上的偶函数，m有最小值
【答案】BC
【分析】先求得函数的定义域，结合函数的解析式可得与的关系，即可判断奇偶性，将函数的解析式变形，求得函数的值域，从而得到的取值.
【详解】由题意，函数的定义域为R，关于原点对称，
又由所以函数为定义域上的奇函数.
“，使得”是假命题，
所以，使得恒成立.则只需.
根据题意，函数，变形可得，
即函数的值域为.
所以，即m有最小值1.
故选：BC.
38．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）已知是定义在上的函数，且对于任意实数恒有．当时，．则（ ）
A．为奇函数
B．在上的解析式为
C．的值域为
D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，分析可得区间上，的解析式，再分析函数的周期性，可得的图象关于原点对称，由此分析选项是否正确，即可得答案．
【详解】根据题意，时，，因为时，，
所以，
又由，则，
即，，
若，则，，
若，则，，
故在区间上，所以关于原点对称，
又由，则，即函数是周期为的周期函数，
故的图象关于原点对称，
由此分析选项：
对于A，的图象关于原点对称，为奇函数，故A正确；
对于B，当时，则，则，
函数是周期为的周期函数，则，故B正确；
对于C，在区间上，，则，，
所以，故的值域一定不是，故C错误；
对于D，因为时，，所以，，
又，则，
则有，，故，
所以
，故D正确；
故选：ABD．
39．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数在上单调递增，且是偶函数，奇函数在上的图象与函数的图象重合，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．函数的图象关于y轴对称
C．函数在上是增函数
D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据函数的奇偶性、对称性和单调性的综合性质，逐个选项判断即可．
【详解】对于B选项，因为是偶函数，所以，
所以函数关于直线对称，且在上单调递增，故B错误；
对于A选项，由上知，在上单调递增，
所以，即有，故A正确；
对于C选项，因为奇函数在上的图象与函数的图象重合，
在上单调递增，即在上单调递增，
由奇函数性质知，在上单调递增，故C正确；
对于D选项，由得，又在上单调递增，
在上单调递增，所以，，
所以，故D正确．
故选：ACD．
40．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数下列叙述正确的是（ ）
A．
B．的零点有3个
C．的解集为或
D．若a，b，c互不相等，且，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据分段函数值、零点、不等式、图象等知识确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项正确.
B选项，当时，方程的，
无实数根；
当时，由解得，
所以的零点有个，B选项错误.
C选项，当时，由得，解得；
当时，由得，
所以的解集为或，C选项正确.
D选项，画出的图象如下图所示，
不妨设，则，
，由解得，
所以，所以，D选项正确.
故选：ACD
三、解答题(共0分
41．（2023秋·广西玉林·高一统考期末）已知．
(1)若的解集为或，求的值；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，是方程的根，从而可得，求解即可；
（2）由题意可知，而，利用基本不等式求得最小值，从而可求解.
【详解】（1），若的解集为或，
则，是方程的根，即，
解得：．
（2）若对任意，恒成立，即若对任意，，
由已知得，
，，
当且仅当时取等号，
所以，
，
，即的取值范围为.
42．（2023秋·广西河池·高一统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求实数，的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明），并解不等式；
(3)若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)在上单调递增，或.
(3)
【分析】（1）根据，得到关于方程组，解出值并检验即可；
（2）利用定义法证明其单调性，再根据奇偶性和单调性化简得，解出即可；
（3）设，将题意转化为对恒成立，设新函数，，利用基本不等式即可求出其最小值，即可得到的范围.
【详解】（1）由题意得，则①，又因为，则②，
联立①②解得，此时，
，且定义域为，关于原点对称，故此时为奇函数.
（2），
设，
，
因为，所以，所以，，
故，即，则在上单调递增，
，即，即，
根据在上单调递增，则，解得或.故解集为或.
（3）由题意知对恒成立，设，则，
即为对，即对恒成立，
设
，当且仅当，即等号成立，此时.
故，故.
43．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数．
(1)用定义证明在定义域上是减函数；
(2)若函数在上有零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先求函数的定义域，再根据减函数的定义证明即可；
（2）由（1）知，函数在定义域为上的减函数，从而为减函数，故只需满足，解不等式组即可求得a的取值范围．
【详解】（1）证明：根据题意，函数，
则有，解可得，即函数的定义域为，
设，则
，
，
因为，所以 ，
，
所以，
故，即
则函数在定义域上是减函数；
（2）根据题意，由（1）的结论，函数在定义域为上的减函数，
则为减函数，
若函数在上有零点，
则，
解可得：，
故a的取值范围为．
44．（2023秋·贵州黔西·高一统考期末）已知二次函数的图像与直线只有一个交点，且满足，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若对任意，，恒成立，求实数m的范围．
【答案】(1)
(2)或或；
【分析】（1）由已知可得二次函数的对称轴和最值，设出函数解析式，再由求得结论；
（2）由的单调性得出的最小值，而关于的不等式是一次（时）的，只要和时成立即可，由此可解得的范围；
【详解】（1）因为，
所以由二次函数的性质可得的图像关于对称，
又二次函数的图像与直线只有一个交点，
所以可设
又因为，解得，
所以．
（2）由（1）得
在区间单调递增，
即在时恒成立，
且
或或.
四、填空题
45．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数满足为奇函数，则函数的解析式可能为______________（写出一个即可）．
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据奇函数的定义选择函数的解析式即可.
【详解】取，则符合题意．
故答案为：.
46．（2023秋·山西运城·高一统考期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则______.
【答案】
【分析】推导出函数是周期为的周期函数，再结合函数的周期性和奇偶性可求得的值.
【详解】因为是定义在上的奇函数，且满足，
则，
所以，，即，
所以，函数是周期为的周期函数，
且当时，，
则.
故答案为：.
47．（2023秋·贵州黔西·高一统考期末）已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为_______.
【答案】
【分析】根据奇偶性得到，再根据单调性得到恒成立，之后参变分离，求出的取值范围.
【详解】解：因为是定义域为上的奇函数，且对于任意，不等式恒成立，
所以，即，
又因为，所以在上是单调递减函数，
则有恒成立，即恒成立，
令，，则，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
48．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的范围为__________.
【答案】/.
【分析】由题意可得.后通过讨论a可确定最大值，通过单调性可确定最大值，即可得答案.
【详解】任意的，总存在，使得，
等价于，，
则在上单调递减，则.
当，，因，则满足题意；
当，在上单调递增，则，
故；
当，在上单调递减，则，
故.
综上可得实数的范围为.
故答案为：.
函数的定义
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
定义域
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
值域
函数值的集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(fx|x∈A))叫做函数的值域
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称