浙江省宁波市江北区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份浙江省宁波市江北区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了如图，在中，，若，则的值为等内容，欢迎下载使用。

2023学年第一学期九年级学业质量检测（数学试题）
考生须知：
1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时长为120分钟．
2．请将姓名、准考证号等信息分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上．
3．答题时，请将试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效．
4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．
试 题 卷 Ⅰ
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
2．在下列几何体中，主视图与左视图均是圆形的是（ ）
A．B． C． D．
3．下列成语所反映的事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．水涨船高B．守株待兔C．瓜熟蒂落D．水中捞月
4．抛物线的顶点坐标( )
A．(-4，1)B．(-4，-1)C．(4，-1)D．(4，1)
5．如图，在中，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，等腰内接于，顶角，是的直径，则为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，，若与直线相交，则半径r的值或取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在中，，，，点为此三角形的重心，连结并延长交于点，过点作于点，则的长为（ ）

A．B．C．D．
10．在平面直角坐标系xOy中，点，都在抛物线上，且，．若存在，满足，则m的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
试 题 卷 Ⅱ
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．已知的半径为2，点P为外一点，则的长可以为 （写出一个即可）．
12．一个圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积为 ．
13．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种除颜色外完全相同的球若干个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图是“摸到白球”的频率折线统计图．当摸球的次数足够多时，请估计摸到白球的概率是 （精确到0.1）．

14．以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程：
已知：如图，及外一点．
作法：连结，作线段的垂直平分线交于点；
以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点；
作直线，．
说明：连结．
∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴ °．
∵为半径，∴为的 ，且 （填“”、“”或“”）．

15．如图，在中，，已知点D为的中点，点E在线段上，连结，若与相似，则的值为 ．
16．如图，一组抛物线满足二次函数表达式，它们与一个半径为的圆的重叠部分面积为，则该圆圆心的纵坐标为 ．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17．计算：．
18．“迎新春山地马拉松”赛事需要学生志愿者．某中学准备派出3名男生和2名女生加入志愿者团队，其中有男生小明和女生小慧．
(1)若要从这5人中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率是多少？
(2)若要从男生与女生中各随机选取一人回学校作经验分享，则恰好选到小明和小慧的概率是多少？试用画树状图或列表法分析与表示．
19．在方格图中，仅利用无刻度的直尺和格点，按要求完成下列作图：
(1)在图中作线段的中点．
(2)在图中作圆弧的中点．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．

(1)求m的值以及二次函数的解析式．
(2)根据图象，直接写出当时x的取值范围．
(3)若将二次函数向上平移t个单位长度后，得到的图象与x轴没有交点，求t的取值范围．
21．如图1，是的直径，M是上一点．过点B作的垂线交射线于点C． 取的中点N，连结．
(1)求证：是的切线．
(2)如图2，连结，，若，求的值．
22．第十九届亚运会开幕式的数字人点火仪式，以其独特的创意和极致的科技感让人印象深刻．图1，图2分别是数字人奔跑的实物图与数学抽象图．有一些信息如下：步宽平行于水平面，，，，，，，，请根据以上信息，求数字人步宽的长度．（参考数据：，，，结果精确到个位．）
23．【基础巩固】（1）如图1，在中，，D为上一点，，．求证：．
【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，交于点F．若， ．求的值．
【拓展延伸】（3）如图3，在（1）的条件下，若，M，N分别是，的中点，请直接写出周长的值．
24．如图，四边形内接于，连结，交于点，点是上一点，连结，交于点，且满足．
(1)求证：；
(2)若点是，
求证：；
若，时，求的值．
(3)如图，当点是的中点时，若，，求的值．
参考答案与解析
1．A
解析：解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
2．A
解析：、球的主视图和左视图均为全等的圆，符合题意；
、长方体的主视图和左视图为矩形，不符合题意；
、圆锥的主视图和左视图均为三角形，不符合题意；
、圆柱的主视图和左视图均为长方形，不符合题意；
故选：．
3．D
解析：解：、水涨船高是必然事件，故不符合题意；
、守株待兔是随机事件，故不符合题意；
、瓜熟蒂落是必然事件，故不符合题意；
、水中捞月是不可能事件，故符合题意；
故选：．
4．D
解析：解：∵，
∴其顶点坐标为(4，1)，
故选D．
5．B
解析：解：在中，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
∴，
故选：．
6．B
解析：解：连接，
∵等腰内接于，顶角，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
解析：解：过C作于D，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵与直线相交，
∴半径r的值或取值范围为，
故选：C．
8．D
解析：解：由题意得：，
故选：．
9．A
解析：过作于，

∵为此三角形的重心，
∴，，
∵，，，
∴由勾股定理得，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10．B
解析：解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∵存在，满足，
∴点关于对称，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，m的取值范围是．
故选：B．
11．4（答案不唯一）
解析：解：∵的半径为2，点在外，
∴，
∴的长可以是4．
故答案为：4（答案不唯一）．
12．
解析：解：该圆锥的侧面积．
故答案：．
13．##
解析：解：由“摸到白球”的频率折线统计图可得，摸到白球的频率将会接近0.5，
∴当摸球的次数足够多时，请估计摸到白球的概率是，
故答案为：．
14． ； 切线； ．
解析：连接，

∵为的直径，
∴，
∵为半径，
∴为的切线，
同理为的切线，
∴，
故答案为：；切线；．
15．或3
解析：解：∵为的中点，，
当时，
当时，
∴的值为或3．
故答案为：或3．
16．
解析：由二次函数表达式 ，化为顶点式，
∴抛物线的顶点为，
∴抛物线的顶点在直线上，且开口向上，
∴抛物线扫过的面积为上方，如图所示，
∵抛物线与圆重合面积为 ，即
，
即，
解得，
∴到的距离，
∴点纵坐标为：，
故答案为：．
17．．
解析：解：原式，
，
．
18．(1)
(2)
解析：（1）解：由题意得，选到男生的概率是；
（2）将另外2名男生分别记为，将另外1名女生记为，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选到小明和小慧的结果有1种，
∴恰好选到小明和小慧的概率为．
19．(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
解析：（1）如图，根据网格特点，
∴点即为所求；
（2）如图，连接，根据网格作垂线的方法，过中点作垂线即可，
根据垂径定理定理可得是圆弧的中点，
∴点即为所求．
20．(1)，
(2)
(3)
解析：（1）解：把代入，
解得：，
∴，
∴，
解得：，
∴二次函数；
（2）由图象得：当时x的取值范围为；
（3）将二次函数向上平移t个单位长度后得：，
与x轴无交点即方程无实数根，
由题意得：，
解得；．
21．(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：如图，连接，，
∵是的直径，
∴，
∵点N是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
设，，
∴
∵，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴．
22．数字人步宽的长度为
解析：解：过C、B、D作的垂线交于点G，J，K，过点C、D作的垂线，交于点H、I，如图所示：
则，
四边形为矩形，为矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
∴．
答：数字人步宽的长度为．
23．（1）证明见解析；（2）；（3）
解析：解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过F作于点M，过F作于点N，
∴，，，
∴四边形是正方形，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴；
（3）在上截取交于点H，如图，
∵，M为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴．
由（2）知：，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵M是中点，
∴，
∴，
即，
∴M是中点，
∵N是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，N为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为．
24．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；综上可知的值为或；
(3)．
解析：（1）∵，，
∴；
（2）∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
延长交于点，连接，连接交于点，
由得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
设，，则，
∴，则，
∴，
∵在中，，
设的对边为，则，
∴由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，由，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
由，，
∴，解得，，
∴或，
综上可知的值为或；
（3）过作，交于点，
同理，
∴，
∵点是的中点，
则设，
∴，即，整理得，
解得：（舍去），，
∴．小明
小慧
（小明，小慧）
（，小慧）
（，小慧）
（小明，）
（，）
（，