2024江西省重点中学协作体高一下学期期末考试数学含解析

这是一份2024江西省重点中学协作体高一下学期期末考试数学含解析，共19页。试卷主要包含了 下列说法正确的是， 已知，，则， 已知，满足等内容，欢迎下载使用。

本试卷共150分，考试用时120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线
B. 棱柱的底面一定是平行四边形
C. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形
D. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
2. sin 600°＋tan 240°的值等于（ ）
A. －B.
C. －＋D. ＋
3. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A. B. C. D.
4. 已知，，则（ ）
A. 1B.
C. 2D. 或2
5. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A. α∥β且∥αB. α⊥β且⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于D. α与β相交，且交线平行于
6. 已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（ ）
A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C. 先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
7. 已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，其中为虚数单位，则下列属于集合的元素是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知，满足：对任意，恒有，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，下列结论正确的是（ ）
A 平面B. 平面平面
C. D. 直线与直线所成角的大小为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为____________.
13. 如图，一个水平放置的正方形，它在直角坐标系中，点的坐标为，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为______．

14. 已知函数的图象过点和且当时，恒成立，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，（其中为虚数单位）．
（Ⅰ）求复数；
（Ⅱ）若复数在复平面内所对应点在第四象限，求实数的取值范围．
16. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.
17. 平面内有向量，，，点为直线上的一个动点．
（1）当取最小值时，求坐标；
（2）当点满足（1）的条件和结论时，求的值．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点.
（1）当时，求的值；
（2）设，求的取值范围.
19. 已知三棱锥的棱两两互相垂直，且.
（1）若点分别在线段上，且，求二面角的余弦值；
（2）若以顶点为球心，8为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交，试求交线长是多少？江西省重点中学协作体2023~2024学年度高一期末联考
数学
本试卷共150分，考试用时120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线
B. 棱柱的底面一定是平行四边形
C. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形
D. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆柱、圆锥、圆台以及棱柱的结构特征判断.
【详解】因为通过圆台侧面一点只有一条母线，所以A不正确；
因为棱柱的底面不一定是平行四边形，可以是任意多边形，所以B不正确；
因为由棱台的定义，要求上､下底面平行，所以D不正确；
因为圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，三角形的两腰是其母线，所以C正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查几何体的结构特征，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
2. sin 600°＋tan 240°的值等于（ ）
A. －B.
C. －＋D. ＋
【答案】B
【解析】
【分析】分别利用诱导公式求得sin 600°和tan 240°的值，从而求得结果.
【详解】sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－，
tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝，
则 sin 600°＋tan 240°＝.
故选：B.
【点睛】本题主要考查诱导公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题.
3. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】则．故选C．
【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
4. 已知，，则（ ）
A. 1B.
C. 2D. 或2
【答案】C
【解析】
【分析】根据数量积的运算律即可求解模长.
【详解】因为，所以，
故选：C.
5. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A. α∥β且∥αB. α⊥β且⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于D. α与β相交，且交线平行于
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
6. 已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（ ）
A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变
C. 先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数平移伸缩变化求解即可.
【详解】先将函数图象上每点横坐标缩短到原来的，
纵坐标不变，得到的图象，再将得到的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象.
故选:C.
7. 已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
求出向量在向量上的投影，再乘以向量方向的单位向量．
【详解】，，，，则向量在向量上的投影向量为，
故选：B
【点睛】本题考查向量的投影，共线向量，掌握向量投影的定义是解题关键．
8. 已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先计算出，分和两种情况讨论，时转化为图像交点问题.
【详解】，则，显然，，
①若即时，在单调增，，
作函数的图象，作与仅一个交点，所以此时有一个满足要求；
②若即时，满足要求，
综上知满足条件的共有两个.
故选：B
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，其中为虚数单位，则下列属于集合的元素是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先求得集合，然后结合复数运算对选项逐一计算，由此确定正确选项.
【详解】依题意，
，A错误，
，B正确，
，C正确，
，D错误.
故选：BC.
10. 已知，满足：对任意，恒有，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量线性运算的几何意义分析可得，即为定点A到x轴上的动点的距离，进而分析可得，结合数量积运算求解.
【详解】不妨设，
则，即为定点A到x轴上的动点的距离，
显然当轴时，取到最小值，
若对任意，恒有，
则，可得，故B正确，D错误；
∵，
可得，故A错误，C正确；
故选：BC.
11. 如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，下列结论正确的是（ ）
A. 平面B. 平面平面
C. D. 直线与直线所成角的大小为
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项:连接,为中点，为中点，可证∥根据线面平行判定可以证明∥平面；
B选项:；连接,同理证明∥平面,结合A选项可证明平面平面；
C选项:由于正四棱锥的棱长均相等，且四边形为正方形，根据勾股定理可证,结合∥可证;
D选项:先利用平移思想，根据平行关系找到异面直线与直线所成角的平面角，结合为正三角形，即可求出直线与直线所成角.
详解】连接如图示：
为底面正方形的中心, 为中点，又为中点，∥又平面,平面，∥平面，故A选项正确；
连接，同理可证∥,又平面,平面，∥平面,又,∥平面平面,平面,
平面平面,故B选项正确；
由于正四棱锥的棱长均相等，且四边形为正方形，,又∥， ,故C选项正确;
分别为侧棱的中点，∥四边形为正方形, ∥,直线与直线所成的角即为直线与直线所成角
即为直线与直线所成角，又为正三角形，, 直线与直线所成角为.故D选项不正确.
故选：ABC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为____________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由复数的运算可知，是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.
考点：复数的运算.
13. 如图，一个水平放置的正方形，它在直角坐标系中，点的坐标为，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为______．

【答案】
【解析】
【分析】作出正方形的直观图，再结合斜二测画法的规则计算可得.
【详解】作出正方形的直观图如图所示：

因为，，
所以顶点到轴的距离为．
故答案为：
14. 已知函数的图象过点和且当时，恒成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的性质得到参数间的关系，进行消参，然后分类讨论参数范围，求解即可.
【详解】由知，
，
此时，
当时，，
只需，得，又；
当时，
成立，适合；
当时，，要使，
只需，
综上知，
故，则实数的取值范围是.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，（其中为虚数单位）．
（Ⅰ）求复数；
（Ⅱ）若复数在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用复数除法法则计算；（Ⅱ）首先化简复数，再根据复数在复平面内所对应的象限，列式求实数的取值范围．
【详解】（Ⅰ）；
（Ⅱ），
因为复数在复平面内所对应的点在第四象限，
所以，解得：.
16. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得
，即，从而证得平面，即可证得结论；
（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.
【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，
在上，，
是圆内接正三角形，，≌，
，即，
平面平面，平面平面；
（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，
，解得，，
在等腰直角三角形中，，
在中，，
三棱锥的体积为.
【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.
17. 平面内有向量，，，点为直线上的一个动点．
（1）当取最小值时，求的坐标；
（2）当点满足（1）的条件和结论时，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）设，利用向量与共线可得，用坐标表示，结合二次函数性质，求最小值，可得；
（2）利用向量的夹角公式求解即可
【详解】（1）设，∵在直线上，
∴向量与共线．
∵，
∴，∴，∴．
又∵，，
∴．
故当时，有最小值，此时．
（2）由（1）知，，，
∴，，
∴．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点.
（1）当时，求的值；
（2）设，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数定义得到，故，利用诱导公式，辅助角公式化简得到答案；
（2）化简得到，由，整体法求解值域.
【小问1详解】
由三角函数的定义可得，，
当时，，即，
.
【小问2详解】
，
，
，
，则，
，
则，
即的取值范围为.
19. 已知三棱锥的棱两两互相垂直，且.
（1）若点分别在线段上，且，求二面角的余弦值；
（2）若以顶点为球心，8为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交，试求交线长是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）作出二面角的平面角，在直角三角形求解即可；
（2）根据数形结合和弧长公式求解即可.
【小问1详解】
两两垂直，，
平面，平面，
，
过点作于，连接，则
又平面，，又平面，，
所以平面，又平面，所以，
即为的平面角，
在中，，
所以二面角的余弦值.
【小问2详解】
，，
所以以为球心，8为半径的球与三棱锥交于四段弧，
①平面与球面相交所成的弧是以为圆心，
为半径的圆弧；
②平面与球面相交，得到的弧是以为圆心，8为半径的弧，
，，又为锐角，
所以，所对圆心角，所以；
③由对称性可知，平面与球面相交所得到弧长与②情况相同，长度也为；
④，
所以为等边三角形，，
点到的距离等于，
所以平面与球面相交得到弧长，
交线长.