甘肃省酒泉市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：必修一第六章，必修二全部.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某省为全运会选拔跳水运动员，对某运动员进行测试，在运动员跳完一个动作之后由7名裁判打分，统计结果为平均分9.5分，方差为a，为体现公平，裁判委员会决定去掉一个最高分10分，一个最低分9分，则（ ）
A. 平均分变大，方差变大B. 平均分变小，方差变小
C. 平均分不变，方差变大D. 平均分不变，方差变小
2. 已知i是虚数单位，则复数（ ）
A. -1B. iC. D. 1
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 6
4. 设α是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
5. 三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 若正方体的内切球的表面积为，则此正方体最多可容纳半径为1的小球的个数为（ ）
A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 台球运动已有五、六百年历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，其中，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 丙与丁相互独立D. 乙与丙不相互独立
11. 如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（ ）

A.
B
C. 直线与平面所成角的最大值是
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数z的模为2，则的最大值为____________．
13. 某科研攻关项目中遇到一个问题，请了甲、乙两位专家单独解决此问题，若甲、乙能解决此问题的概率分别为m，n，则此问题被解决的概率为____________
14. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度___________米.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，与的夹角是.
（1）求的值及的值；
（2）当为何值时，？
16. 本学期初，某校对全校高一学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生成绩，以此为样本，分五组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计该校高一学生数学成绩的平均数和分位数；
（2）为进一步了解学困生的学习情况，从上述数学成绩低于70分的学生中，分层抽样抽出6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率．
17. （1）叙述并证明平面与平面平行的性质定理；
（2）设，是两个不同的平面，，是平面，之外的两条不同直线，给出四个论断：①；②；③；④．以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出一个正确的命题，并证明．
18. 已知向量，函数．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）设中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，且锐角B满足，求的取值范围．
19. 如图，在六面体中，，正方形的边长为2，．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线EF与平面所成角的正切值；
（3）求平面与平面所成二面角的余弦值；
（4）求多面体的体积．