2024年浙江省数学会高中数学竞赛夏令营测试题

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答案 {x∣2≤x≤8}
2. 设x,y∈R，且sinx2−siny=3csx23−3csy=1，则csx−y= 。
答案 23
3. 已知复数z1,z2满足z1=z2=1,z1+z2=3，则z1−2z2= 。
答案 3
4. 已知点M1,2，过点N−2,0的直线与抛物线y2=4x相切于A，则△MAN为面积的最大值为 。
【答案】4+32
5. 实数x,y满足x2+y−22≤1，则x+3yx2+y2的取值范围为 。
答案 1,2
【解】x+3yx2+y2=x2+23xy+3y2x2+y2=1+2⋅y2+3xyx2+y2
令t=xy则x+3yx2+y2=1+23t+1t2+1，
考虑圆面x2+y−22≤1上的点与原点连线的斜率，可知t=xy∈−33,33
所以，原式∈1,2
当x,y=32,32时原式=2
当x,y=−32,32时原式=1。
注：最大值也可由柯西不等式直接得到：x2+y21+3≥x+3y2则x+3yx2+y2≤2.
6. 已知ak=122k−1+122k−1+1k∈N∗。若存在m∈N∗，当n≥m时恒有k=1nak>20232024，
则m的最小值为 。
答案 4
解析 22k−1=22k−12−1，
所以ak=122k−1+122k−1+1=22k−122k−1=22k−1+1−122k−1−122k−1+1=122k−1−1−122k−1，
所以k=1nak=1−122n−1，由k=1nak>20232024可得22n−1>2024，即22n>2025，即2n≥11，所以n≥4，即m的最小值为4.
7. 设点P是△ABC的外心，且CP=λCA+μCB,3λ+4μ=2λ,μ∈R,λ≠0。若AB=3，则△ABC的面积最大值为 。
答案3
【解析】由于CP=λCA+μCB=3λ2⋅23CA+2μ12CB，若令23CA=CM,12CB=CN，则CP=3λ2⋅CM+2μ⋅CN，又3λ+4μ=2，由此可知点P在在直线MN上.
如图，过点A作BC的垂线，垂足为H，则CMMA=CNNH，故H为NB的中点，且MN//AH.显然AB2=AH2+HB2，即AH2+HB2=3⋅S△ABC=12BC⋅AH=12×4BH⋅AH=
2BH⋅AH≤AH2+HB2=3，故△ABC面积的最大值为3.
8. 设x1,x2,x3是方程x3−7x2+2ax−1=0的三个根，则使得x1−13+x2−23+x3−43=0成立的所有实数a的和为 。
答案 1198
解：由韦达定理知x1+x2+x3=7，故x1−1+x2−2+x3−4=0，从而3x1−1x2−2x3−4=0，则x1=1或x2=2或x3=4，即a=72,214,498，
9. 已知函数ℎx=maxlnx−1x,−x3+ax−14x>0，其中max{p,q}表示p,q中的最大值，若函数ℎx有3个不同的零点，则实数a的取值范围为 。
答案 34,4e3+14e.
解：
令fx=lnx−1x,gx=−x3+ax−14，当x∈e,+∞时，fx=lnx−1x>0,ℎx在区间e,+∞内无零点；当x=e时，fe=0,ge=−e3+ae−14，当−e3+ae−14≤0，即
a≤4e3+14e时，x=e为函数ℎx的零点.当x∈0,e时，令ℎx=0，则a=x2+14x，令mx=x2+14x，则m'x=2x−14x2=8x3−14x2，令m'x=0，则x=12,mx在区间0,12上单调递减，区间12,e上单调递增，m12=34,me=4e3+14e.当a∈34,4e3+14e时，ℎx在区间0,e内有两个零点.综上，当a∈34,4e3+14e时函数有三个零点.
10. 三条两两垂直的线段OA、OB、OC的长分别为a、b、c，且a≤b≤c.直线l过点O，则点A、B、C到l的距离之和的最小值为 。
答案：a+b
解 设直线l与OA、OB、OC的夹角分别为α、β、γ，分别以射线OA、OB、OC为x轴、y轴、z轴的正半轴，以O为原点建立空间直角坐标系，
在l上取点Dx0,y0,z0，使OD=1，则x0=±csα,y0=±csβ,z0=±csγ，
∴1=OD2=cs2α+cs2β+cs2γ, ∴sin2α+sin2β+sin2γ=2，
令x=sinα,y=sinβ,z=sinγ，则条件转化为x2+y2+z2=2,0≤x,y,z≤1，距离和即为ax+by+cz，
注意到x+y+z≥x2+y2+z2=2，∴y+z−1≥1−x≥0，∴by+z−1≥a1−x，
∴a+b≤ax+by+bz≤ax+by+cz，即距离和≥a+b，当x=y=1,z=0时取等.
11. 设a,b,c为实数，若∀x∈R，二次函数fx=3ax2+2bx+c≥0，则a−ba+3c的最大值为 。
答案：2+12
解答：由题意可知a≠0，且fx=3ax2+2bx+c≥0对∀x∈R恒成立，
即有a>04b2−12ac≤0⇒a>0b2≤3ac⇒a>0,c≥0b2a≤3c
不妨只考虑a>b的情形，令1−ba=tt>0
a−ba+3c≤a−ba+b2a=1−ba1+ba2=t1+1−t2=tt2−2t+2=1t−2+2t≤122−2=2+12
则a−ba+3c的最大值为2+12
12. 圆周上均匀分布着19个点，任取一个以其中4个点为顶点的凸四边形，则该凸四边形是含有圆心的梯形（圆心在梯形内部）的概率为 。
答案：551
解析：连接其中任意一个点与圆心做直线，得其余18个点关于该直线对称，可连9条垂直于对称轴的弦，注意到9条弦长度两两不等且互相平行，圆心两侧分别为4条和5条。故可得：4×5×19=380，所以概率为：380C194=551.
13. 已知fn=2n2+n−n2−n,n=1,2,⋯，s,t为实数。若对任意n∈N∗有
fn−sfn−t≤0，则s−t的取值范围为 。
答案：[22−2,+∞)
解 一方面fn=2nn+1−n−1
=21nn+1−n−1=2n+1+n−1nn+1−n−1n+1+n−1
=2n+1+n−12n=2n+1n+n−1n2=21+1n+1−1n2>21+1n+1−1n2=2
另一方面：fn+1−fn=4n+1n+2+n−4nn+1+n−1
=4n+1n+1+n−1−4nn+2+nn+2+nn+1+n−1
=4×n+1+n2−1−n2+2n−nn+2+nn+1+n−1=4×1+n2−1−n2+2nn+2+nn+1+n−1
因为n2−1