重庆巴蜀常春藤2022年数学九上期末经典模拟试题含解析

这是一份重庆巴蜀常春藤2022年数学九上期末经典模拟试题含解析，共21页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，一元二次方程的解为，下列事件中是必然发生的事件是，方程x2﹣5＝0的实数解为等内容，欢迎下载使用。

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图是抛物线的部分图象，其顶点为，与轴交于点，与轴的一个交点为，连接.以下结论：①；②抛物线经过点；③；④当时， .其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．②④
2．如图，在中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．把同一副扑克牌中的红桃2、红桃3、红桃4三张牌背面朝上放在桌子上，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．一元二次方程的解为（ ）
A．B． ，C． ，D．，
5．下列事件中是必然发生的事件是（ ）
A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上
B．射击运动员射击一次，命中十环
C．在地球上，抛出的篮球会下落
D．明天会下雨
6．方程x2﹣5＝0的实数解为（ ）
A．B．C．D．±5
7．下列函数中，的值随着逐渐增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
8．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
9．如图，已知小明、小颖之间的距离为3.6m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.6m，已知小明、小颖的身高分别为1.8m，1.6m，则路灯的高为（ ）
A．3.4mB．3.5mC．3.6mD．3.7m
10．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k＜﹣C．k＜3D．k＞﹣3
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．墙壁CD上D处有一盏灯(如图)，小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1.6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD＝____．
14．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，已知关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的一个解为x1＝1，则该方程的另一个解为x2＝_____．
15．设m、n是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝_____．
16．点关于原点对称的点为_____．
17．某园进行改造，现需要修建一些如图所示圆形（不完整）的门，根据实际需要该门的最高点C距离地面的高度为2.5m，宽度AB为1m，则该圆形门的半径应为_____m．
18．已知实数m，n满足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求的值是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路线为弧BD求图中阴影部分的面积．
20．（8分）在一个不透明的小布袋中装有4个质地、大小完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，2，3，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．
（1）画树状图或列表，写出点所有可能的坐标；
（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若在第一象限，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？请你作出判断并说明理由．
21．（8分）如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，．
（1）求反比例函数的表达式与点D的坐标；
（2）以CE为边作▱ECMN，点M在一次函数y＝x﹣1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时，求a的取值范围．
22．（10分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；
（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）.
23．（10分）国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品,规定销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,销售量y(件)与销售单价x(元)的关系可以近似的看作一次函数(如图).
(1)请直接写出y关于x之间的关系式 ；
(2)设该商铺销售这批商品获得的总利润(总利润=总销售额一总成本)为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断:当x取何值时,P的值最大？最大值是多少？
(3)若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于400元,求销售单价x(元)的取值范围是 .(可借助二次函数的图象直接写出答案)
24．（10分）网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为5万件和5.832份万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率；
（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年9月份的投递任务？
25．（12分）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈!这就是有趣的“瞎转圈”现象.经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，其图象如图所示.
请根据图象中的信息解决下列问题:
（1）求与之间的函数表达式；
（2）当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为______米；
（3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米?
26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点的坐标为_____________；
(3)点是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点的坐标；
(4)若点是对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据抛物线与y轴交于点（0，3），可得出k的值为4，从而得出抛物线的解析式为，将（-2，3）代入即可判断正确与否，抛物线与x轴的交点A（1，0）,因此得出三角形的面积为2，当x-30.据此判断④正确.
【详解】解：把（0，3）代入抛物线解析式求出k=4,选项①错误，
由此得出抛物线解析式为：，
将（-2，3）代入解析式可得出选项②正确；
抛物线与x轴的两交点分别为（1，0），（-3，0），
∴OA=1,
∵点M到x轴的距离为4，
∴，选项③错误；
∵当x-30.
∵
∴y>0，选项④正确，
故答案为D.
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，根据题目找出抛物线的解析式是解题的关键,再利用其性质求解.
2、D
【分析】直接根据正弦的定义解答即可．
【详解】在△ACB中，∠C=90°，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
3、D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
∵共有6种等可能的结果，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的有4种情况，
∴从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为：；故选：D．
【点睛】
本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
4、C
【分析】通过因式分解法解一元二次方程即可得出答案.
【详解】
∴或
∴ ，
故选C
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键.
5、C
【解析】试题分析：A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上是随机事件，故A错误；
B．射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故B错误；
C．在地球上，抛出的篮球会下落是必然事件，故C正确；
D．明天会下雨是随机事件，故D错误；
故选C．
考点：随机事件．
6、C
【分析】利用直接开平方法求解可得．
【详解】解：∵x2﹣5＝0，
∴x2＝5，
则x＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查解方程，熟练掌握计算法则是解题关键.
7、D
【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．
【详解】A选项函数的图象是随着增大而增大，故本选项错误；
B选项函数的对称轴为，当时随增大而减小故本选项错误；
C选项函数，当或，随着增大而增大故本选项错误；
D选项函数的图象是随着增大而减小，故本选项正确；
故选D.
【点睛】
本题考查了三种函数的性质，了解它们的性质是解答本题的关键，难度不大．
8、B
【解析】根据中心对称图形的定义“是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合的图形”和轴对称图形的定义“是指平面内，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形”逐项判断即可.
【详解】A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此项不符题意
B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，此项符合题意
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此项不符题意
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此项不符题意
故选：B.
【点睛】
本题考查了中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，这是常考点，熟记定义是解题关键.
9、B
【分析】根据CD∥AB∥MN，得到△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，根据相似三角形的性质可知， ，即可得到结论．
【详解】解：如图，∵CD∥AB∥MN，
∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，
∴，
即，，
解得：AB＝3.5m，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10、A
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×3k＞0，
解得：k＜．
故选A．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
11、A
【详解】解：∵D为AB的中点，
∴BC=BD=AB，
∴∠A=30°，∠B=60°．
∵AC=，
∴BC=AC•tan30°==2，
∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD==．
故选A．
【点睛】
本题考查解直角三角形和扇形面积的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键．
12、A
【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，即可得到答案．
【详解】∵，分别为，的中点，
∴MN是∆OBC的中位线，
∴OB=2MN=2×3=6，
∵四边形是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=6，即：AC=12，
∵AB=6，
∴AC=2AB，
∵∠ABC=90°，
∴=30°．
故选A．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和直角三角形的性质以及中位线的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等，是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、m
【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程组，通过解方程组求出灯泡与地面的距离即可．
【详解】如图：
根据题意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m，
∵BG∥AF∥CD，
∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，
∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，
设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.6）m，AC=（x+1）m，
∴,
解得：x=, y=,
∴CD=m.
∴灯泡与地面的距离为米，
故答案为m.
14、﹣1
【分析】函数的对称轴为：x=-1，由抛物线与x轴交点是关于对称轴的对称即可得到答案．
【详解】解：函数的对称轴为：x=-1，其中一个交点坐标为（1，0），
则另外一个交点坐标为（-1，0），
故答案为-1．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，根据函数的对称性即可求解．
15、1．
【分析】求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，
∴m 2＋2 m－7＝0，即m 2＋2 m＝7；m＋n＝－2．
∴m2＋1m＋n＝（m 2＋2 m）＋（m＋n）＝7－2＝1．
故答案为：1
16、
【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点的对称点的坐标变化规律，即可得到答案.
【详解】∵平面直角坐标系中，关于原点的对称点的横纵坐标分别互为相反数，
∴点关于原点对称点的坐标为．
故答案是：.
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点的对称点的坐标变化规律，掌握关于原点的对称点的横纵坐标分别互为相反数，是解题的关键.
17、
【分析】过圆心作弦AB的垂线，运用垂径定理和勾股定理即可得到结论．
【详解】过圆心点O作OE⊥AB于点E，连接OC，
∵点C是该门的最高点，
∴，
∴CO⊥AB，
∴C，O，E三点共线，
连接OA，
∵OE⊥AB，
∴AE==0.5m，
设圆O的半径为R，则OE=2.5-R，
∵OA2=AE2+OE2，
∴R2=（0.5）2+（2.5-R）2，
解得：R=，
故答案为．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
18、1或﹣2
【分析】分两种情况讨论：①当m≠n时，根据根与系数的关系即可求出答案；②当m=n时，直接得出答案．
【详解】由题意可知：m、n是方程x1+1x﹣1=0的两根，分两种情况讨论：
①当m≠n时，由根与系数的关系得：
m+n=﹣1，mn=﹣1，
∴原式2，
②当m=n时，原式=1+1=1．
综上所述：的值是1或﹣2．
故答案为：1或﹣2．
【点睛】
本题考查了构造一元二次方程求代数式的值，解答本题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于中等题型．
三、解答题（共78分）
19、π．
【分析】根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，
∴根据旋转可知：∠DAB=30°，△AED≌△ACB，
∴S△AED=S△ACB，
∴图中阴影部分的面积S=S扇形DAB+S△AED﹣S△ACB=S扇形DABπ．
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．
20、（1）见解析；（2）游戏是公平的，理由见解析
【分析】（1）利用列表法或画树状图可得出所有可能的结果；
（2）利用概率公式计算出小明胜的概率，小红胜的概率，从而可判断这个游戏的公平性．
【详解】解：（1）点的坐标共12个，如下表：
（2）游戏公平，理由如下：
由列表可知，点M在第一象限共有6种情况，∴小明获胜的概率为：，
点M不在第一象限共有6种情况，∴小红获胜的概率为：．
∴两人获胜的概率相等，故这个游戏是公平的．
【点睛】
本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．同时也考查了列表法与画树状图法．
21、（1）D（﹣3，﹣4）；（1）当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3＜a≤﹣1．
【分析】（1）利用待定系数法以及等腰直角三角形的性质求出EC，OE即可解决问题．
（1）如图，设M（a，a﹣1），则N（a，），由EC＝MN构建方程求出特殊点M的坐标即可判断．
【详解】解：（1）由题意A（1，0），B（0，﹣1），
∴OA＝OB＝1，
∴∠OAB＝∠CAE＝45°
∵AE＝3OA，
∴AE＝3，
∵EC⊥x轴，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴EC＝AE＝3，
∴C（4，3），
∵反比例函数y＝经过点C（4，3），
∴k＝11，
由，解得或，
∴D（﹣3，﹣4）．
（1）如图，设M（a，a﹣1），则N（a，）
∵四边形ECMN是平行四边形，
∴MN＝EC＝3，
∴|a﹣1﹣|＝3，
解得a＝6或﹣1或﹣1±（舍弃），
∴M（6，5）或（﹣1，﹣3），
观察图象可知：当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3＜a≤﹣1．
【点睛】
考核知识点：反比例函数与一次函数.数形结合，解方程组求图象交点，根据图象分析问题是关键.
22、（1）、（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）根据点的平面直角坐标系中点的位置写出点的坐标；（2）根据旋转图形的性质画出旋转后的图形；（3）点A所经过的路程是以点C为圆心，AC长为半径的扇形的弧长．
试题解析：（1）A（0,4）C（3,1）
（2）如图所示：
（3）根据勾股定理可得：AC=3，则．
考点：图形的旋转、扇形的弧长计算公式．
23、 (1)y=-x+100；(2)-x2+150x-5000(50≤x≤70)，x=70时p最大为600；(3)60≤x≤70.
【分析】（1）采用待定系数法求一次函数解析式；
（2）由题意，每件的利润为元，再根据总利润=单件利润×销量，即可得出关系式，x的取值范围可由题目条件得到，再求二次函数对称轴和最值即可;
（3）利用二次函数图像性质可得出x的取值范围.
【详解】（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
函数图象经过点（60，40）和（70，30）,代入y=kx+b得，
，解得，
∴y关于x之间的关系式为.
（2）由题意得：
，
∵销售单价不低于成本价,又不高于每件70元
∴x的取值范围为
故P与x之间的函数关系式为.
∵，，
∴函数图像开口向下，对称轴为，
∴当时，P随x的增大而增大，
∴当x=70时，P最大=.
（3）当P=400时，，
解得：，，
∵，抛物线开口向下，
∴当P≥400时，60≤x≤90，
又∵x的取值范围为
∴利润低于400元时,求销售单价x的取值范围为.
【点睛】
本题考查了二次函数应用中的营销问题，关键是根据总利润公式得到二次函数关系式，再根据二次函数的性质解决最值问题.
24、（1）该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为8%；（2）按此快递增长速度，不增加人手的情况下，不能完成今年9月份的投递任务，见解析
【分析】(1)设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，根据“5月份快递件数×(1+增长率)2=7月份快递件数”列出关于x的方程，解之可得答案；
(2)分别计算出9月份的快递件数和8名快递小哥可投递的总件数，据此可得答案．
【详解】(1)设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，
根据题意，得：，
解得：=0.08=8%，=﹣2.08(舍)，
答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为8%；
(2)9月份的快递件数为(万件)，
而0.8×8=6.4＜6.8，
所以按此快递增长速度，不增加人手的情况下，不能完成今年9月份的投递任务．
【点睛】
本题主要了考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
25、（1）；（2）；（3）步数之差最多是厘米，
【分析】（1）用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）即求当时的函数值；
（3）先求得当时的函数值，再判断当时的函数值的范围.
【详解】（1）设反比例函数解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
反比例函数解析式为；
（2）将代入得；
（3）反比例函数，
在每一象限随增大而减小，
当时，，
解得：，
当时，，
步数之差最多是厘米.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答本题的关键.
26、（1）；（2）；（3）面积最大为，点坐标为；（4）存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，,点坐标为，，．
【分析】（1）将点，代入即可求解；
（2）BC与对称轴的交点即为符合条件的点，据此可解；
（3）过点作轴于点，交直线与点，当EF最大时面积的取得最大值，据此可解；
（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点N使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.分三种情况讨论.
【详解】解：(1) 抛物线过点，
解得：
抛物线解析式为．
(2) 点，
∴抛物线对称轴为直线
点在直线上，点，关于直线对称
，
当点、、在同一直线上时，最小．
抛物线解析式为，
∴C（0，-6），
设直线解析式为
，
解得：
直线：
，
，
故答案为：．
(3)过点作轴于点，交直线与点，
设，则
，
当时，面积最大为
，
此时点坐标为．
(4)存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
设N（x，y），M（，m），
①四边形CMNB是平行四边形时，CM∥NB，CB∥MN，
，
∴x= ，
∴y= = ，
∴N（，）；
②四边形CNBM是平行四边形时，CN∥BM，CM∥BN，
，
∴x=，
∴y==
∴N（，）；
③四边形CNMB是平行四边形时，CB∥MN，NC∥BM，
，
∴x=，
∴y==
∴N（，）；
点坐标为（，），（，），（，）．
【点睛】
本题考查二次函数与几何图形的综合题，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用数形结合思想得到坐标之间的关系是解题的关键．
0
1
2
3
0
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2
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3
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