重庆市北碚区2022年数学九年级第一学期期末综合测试模拟试题含解析

这是一份重庆市北碚区2022年数学九年级第一学期期末综合测试模拟试题含解析，共20页。试卷主要包含了如图，已知，，，的长为等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知一块圆心角为的扇形纸板，用它做一个圆锥形的圣诞帽(接缝忽略不计)圆锥的底面圆的直径是，则这块扇形纸板的半径是( )
A．B．C．D．
2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则t

anC的值是（ ）
A．2B．C．1D．
3．如图，是正方形与正六边形的外接圆．则正方形与正六边形的周长之比为（ ）
A．B．C．D．
4．如下图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k,则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．B．C．D．
5．在六张卡片上分别写有，π，1.5，5，0，六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知反比例函数的图象经过点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知，，，的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
8．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD＝60°，CD＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．πC．2πD．4π
9．如图，在矩形中，在上，，交于，连结，则图中与一定相似的三角形是
A．B．C．D．和
10．如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是( )
A．16 m2B．12 m2C．18 m2D．以上都不对
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．小明身高1.76米，小亮身高1.6米，同一时刻他们站在太阳光下，小明的影子长为1米，则小亮的影长是_____米.
12．把一袋黑豆中放入红豆100粒，搅匀后取出100粒豆子，其中红豆5粒，则该袋中约有黑豆_______粒．
13．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数至少要设置___位．
14．若关于x的方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，则反比例函数y＝经过第_____象限．
15．一定质量的二氧化碳，其体积V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反比例函数，请你根据图中的已知条件，写出反比例函数的关系式，当V=1.9m3时，ρ=________．
16．把一副普通扑克牌中的13张红桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数字是3的倍数的概率为______.
17．方程x2﹣2x+1＝0的根是_____．
18．四边形ABCD与四边形位似，点O为位似中心．若，则________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度．
20．（6分）如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C，抛物线的对称轴交轴于点D，已知点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在,请说明理由．
21．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣3，0），B（1，0），C（2，﹣5）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）画出这个函数的图象；
（3）△ABC的面积为 ．
22．（8分）如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AE·AB＝AD·AC，连接DE，BD.
（1）求证：ADE~ABC.
（2）若点E为AB为中点，AD：AE＝6：5，ABC的面积为50，求BCD面积.
23．（8分）在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（2，3）．
（1）tan∠OAB＝ ；
（2）在第一象限内画出△OA'B'，使△OA'B'与△OAB关于点O位似，相似比为2：1；
（3）在（2）的条件下，S△OAB：S四边形AA′B′B＝ ．
24．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求k的取值范围；
若k为负整数，求此时方程的根．
25．（10分）在直角三角形中，，点为上的一点，以点为圆心，为半径的圆弧与相切于点，交于点，连接.
（1）求证:平分；
（2）若，求圆弧的半径；
（3）在的情况下，若，求阴影部分的面积(结果保留和根号)
26．（10分）如图，AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若，，求BF的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】利用底面周长＝展开图的弧长可得
【详解】设这个扇形铁皮的半径为rcm，由题意得
解得r＝1．
故这个扇形铁皮的半径为1cm，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是确定圆锥的底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
2、B
【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．
【详解】如图：
在RtACD中，tanC．
故选B．
【点睛】
本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．
3、A
【解析】计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出周长之间的关系；
【详解】设此圆的半径为R，
则它的内接正方形的边长为，
它的内接正六边形的边长为R，
内接正方形和外切正六边形的边长比为R：R=：1．
正方形与正六边形的周长之比=：6=
故答案选：A；
【点睛】
考查了正多边形和圆，解决圆的相关问题一定要结合图形，掌握基本的图形变换．找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．
4、C
【解析】两对对应点的连线的交点即为位似中心，连接OD、AC，交点为（2，2，）即位似中心为（2，2，）；k=OA：CD=6：3=2，故选C．
5、B
【解析】无限不循环小数叫无理数，无理数通常有以下三种形式：一是开方开不尽的数，二是圆周率π，三是构造的一些不循环的数，如1.010010001……（两个1之间0的个数一次多一个）.然后用无理数的个数除以所有书的个数，即可求出从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率.
【详解】∵这组数中无理数有，共2个，
∴卡片上的数为无理数的概率是 .
故选B.
【点睛】
本题考查了无理数的定义及概率的计算.
6、A
【分析】把代入反比例函数的解析式即可求解.
【详解】把代入得：
k=-4
故选：A
【点睛】
本题考查的是求反比例函数的解析式，掌握反比例函数的图象和性质是关键.
7、D
【分析】根据平行线分线段成比例得到，即，可计算出.
【详解】解：
，即，解得.
故选D
【点睛】
本题主要考查平行线段分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用定理是解题的关系.
8、A
【解析】试题解析：连接OD.
∵CD⊥AB，

故，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又


∴OC=2，
∴S扇形OBD 即阴影部分的面积为
故选A.
点睛：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
9、B
【解析】试题分析：根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再由根据同角的余角相等可得∠AEB=∠DFE，即可得到结果.
∵矩形
∴∠A=∠D=90°
∴∠DEF+∠DFE=90°
∵
∴∠AEB+∠DEF=90°
∴∠AEB=∠DFE
∵∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DFE
∴∽
故选B.
考点：矩形的性质，相似三角形的判定
点评：相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中半径常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
10、C
【分析】设AB边为x，则BC边为（12-2x）,根据矩形的面积可列二次函数，再求出最大值即可.
【详解】设AB边为x，则BC边为（12-2x），
则矩形ABCD的面积y=x（12-2x）=-2（x-3）2+18，
∴当x=3时，面积最大为18，
选C.
【点睛】
此题主要考察二次函数的应用，正确列出函数是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】利用同一时刻实际物体与影长的比值相等进而求出即可．
【详解】设小亮的影长为xm，
由题意可得：，
解得：x=．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，正确利用物体高度与影长的关系是解题关键．
12、1
【分析】先根据取出100粒豆子，其中有红豆5粒，确定取出红豆的概率为5%，然后用100÷5%求出豆子总数,最后再减去红豆子数即可．
【详解】解：由题意得：取出100粒豆子，红豆的概率为5%，则豆子总数为100÷5%=2000粒，所以该袋中黑豆约有2000-100=1粒．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了用频率估计概率，弄清题意、学会用样本估计总体的方法是解答本题的关键．
13、1．
【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．
【详解】因为取一位数时一次就拨对密码的概率为；
取两位数时一次就拨对密码的概率为；
取三位数时一次就拨对密码的概率为；
取四位数时一次就拨对密码的概率为．
故一次就拨对的概率小于，密码的位数至少需要1位．
故答案为1．
【点睛】
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14、二，四
【分析】关于x的方程有唯一的一个实数根，则△＝0可求出m的值，根据m的符号即可判断反比例函数y＝经过的象限．
【详解】解：∵方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，
∴△＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＝0，
∴m＝﹣1；
∴反比例函数y＝经过第二，四象限，
故答案为：二，四．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系以及反比例函数的图象，利用根的判别式求出m的值是解此题的关键
15、
【解析】由图象可得k=9.5，进而得出V=1.9m1时，ρ的值．
【详解】解：设函数关系式为：V=，由图象可得：V=5，ρ=1.9，代入得：
k=5×1.9=9.5，
故V=，
当V=1.9时，ρ=5kg/m1．
故答案为5kg/m1．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的应用，正确得出k的值是解题关键．
16、
【分析】根据概率的定义求解即可
【详解】一副普通扑克牌中的13张红桃牌，牌上的数字是3的倍数有4张
∴概率为
故本题答案为：
【点睛】
本题考查了随机事件的概率
17、x1＝x2＝1
【解析】方程左边利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【详解】解：方程变形得：（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1．
故答案是：x1＝x2＝1.
【点睛】
考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．
18、1∶3
【解析】根据四边形ABCD与四边形位似，，可知位似比为1：3，即可得相似比为1：3，即可得答案.
【详解】∵四边形与四边形位似，点为位似中心． ，
∴四边形与四边形的位似比是1∶3，
∴四边形与四边形的相似比是1∶3，
∴AB∶OA∶OA′=1∶3，
故答案为1∶3.
【点睛】
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
三、解答题(共66分)
19、上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为1cm．
【分析】由内外两个矩形相似可得，设A′B′=13x，根据矩形作品面积是总面积的列方程可求出x的值，进而可得答案．
【详解】∵AB＝130，AD＝10，
∴，
∵内外两个矩形相似，
∴，
∴设A′B′＝13x，则A′D′＝1x，
∵矩形作品面积是总面积的，
∴，
解得：x＝±12，
∵x＝﹣12＜0不合题意，舍去，
∴x＝12，
∴上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（1x﹣10）÷2＝1．
答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为1cm．
【点睛】
本题考查相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例；根据相似多边形的性质得出A′B′与A′D′的比是解题关键．
20、（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点P坐标为（，4）或（，）或（，﹣）．
【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可得；
（2）根据等腰三角形的定义，分和，再分别利用两点之间的距离公式求出点P坐标即可．
【详解】（1）将点代入抛物线的解析式得
解得
故二次函数的解析式为；
（2）存在，求解过程如下：
由二次函数的解析式可知，其对称轴为
则点D的坐标为，可设点P坐标为
由勾股定理得，
由等腰三角形的定义，分以下2种情况：
①当时，则
解得或（不符题意，舍去），因此，点P坐标为
②当时，
解得，因此，点P坐标为或
综上，存在满足条件的点P，点P坐标为或或．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、二次函数的几何应用、等腰三角形的定义等知识点，较难的是（2），依据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
21、（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）答案见解析；（3）1．
【分析】（1）设交点式为y＝a（x+3）（x﹣1），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y＝﹣（x+1）2+4，则抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），然后利用描点法画二次函数图象；
（3）利用三角形面积公式计算．
【详解】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（2，﹣5）代入得a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，则抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
如图，
（3）△ABC的面积＝×（1+3）×5＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、在直角坐标系中画二次函数图象、以及在直角坐标系求不规则三角形的面积，解题的关键是求出解析式，画出图象．
22、 (1)详见解析； (2)14
【分析】（1）根据可得，又因，由相似三角形的判定定理即可证；
（2）设，根据得，由点E是AB的中点得，可求出的值，根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方可得的面积，因等底等高得，的面积等于的面积，从而可得答案.
【详解】（1）
在和中，
（两边对应成比例且夹角相等的三角形相似）
（2）设
又点E是AB的中点
由题（1）知
又
又和的边，且边上对应的高是同一条高
答：的面积为14.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理和性质，熟记判定定理和性质是解题关键.
23、（1）1；（2）见解析；（1）1
【分析】（1）根据正切的定义求解可得；
（2）利用位似图形的概念作出点A、B的对应点，再与点O首尾顺次连接即可得；
（1）利用位似变换的性质求解可得．
【详解】解：（1）如图，过点B作BC⊥OA于点C，
则AC＝1、BC＝1，
∴tan∠OAB＝＝1，
故答案为：1；
（2）如图所示，△OA'B'即为所求．
（1）∵△OA'B'与△OAB关于点O位似，相似比为2：1，
∴S△OA'B'＝4S△OAB，
则S四边形AA′B′B＝1S△OAB，即S△OAB：S四边形AA′B′B＝1：1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质．
24、（）；（）时，，．
【解析】试题分析：
（1）由题意可知：在该方程中，“根的判别式△>0”，由此列出关于k的不等式求解即可；
（2）在（1）中所求的k的取值范围内，求得符合条件的k的值，代入原方程求解即可.
试题解析：
(1)由题意得Δ＞0，
即9－4(1－k)＞0，
解得k＞.
(2)若k为负整数，则k＝－1，
原方程为x2－3x＋2＝0，
解得x1＝1，x2＝2.
25、（1）证明见解析；（2）2；（3）.
【分析】（1）连接，由BC是圆的切线得到，利用内错角相等，半径相等，证得；
（2）过点作，根据垂径定理得到AH=1，由，利用勾股定理得到半径OA的长；
（3）根据勾股定理求出BD的长，再分别求出△BOD、扇形POD的面积，即可得到阴影部分的面积.
【详解】证明：（1）连接，
为半径的圆弧与相切于点，
，
，
又，
，
，
平分
（2）过点作，垂足为，
，
在四边形中， ，
四边形是矩形，
，
在中， ；
（3）在中，，
，，
∴.
，
，
.
【点睛】
此题考查切线的性质，垂径定理，扇形面积公式，已知圆的切线即可得到垂直的关系，圆的半径，弦长，弦心距，根据勾股定理与垂径定理即可求得三个量中的一个.
26、（1）证明见解析；（2）．
【分析】(1)连接AD，如图，根据圆周角定理，再根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
(2)作F做FH⊥AB于点H,利用余弦定义，再根据三角函数定义求解即可
【详解】(1)证明:如图，连接AD．
∵ E是中点，
∴．
∴ ∠DAE=∠EAB．
∵ ∠C =2∠EAB，
∴∠C =∠BAD.
∵ AB是⊙O的直径.
∴ ∠ADB=∠ADC=90°．
∴ ∠C+∠CAD=90°．
∴ ∠BAD+∠CAD=90°．
即 BA⊥AC
∴ AC是⊙O的切线．
(2)解：如图②，过点F做FH⊥AB于点H．
∵ AD⊥BD，∠DAE=∠EAB，
∴ FH=FD，且FH∥AC．
在Rt△ADC中，
∵，，
∴ CD=1．
同理，在Rt△BAC中，可求得BC= ．
∴BD= ．
设 DF=x，则FH=x，BF=-x．
∵ FH∥AC，
∴ ∠BFH=∠C．
∴．
即．
解得x=2．
∴BF=．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用和切线的判定,经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.连接半径在证明垂直即可