重庆市兼善中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末调研模拟试题含解析

这是一份重庆市兼善中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末调研模拟试题含解析，共22页。试卷主要包含了如图，△∽△，若，，，则的长是，已知抛物线的顶点坐标为，若是方程的两根，则的值是等内容，欢迎下载使用。

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，为的直径，，为上的两点.若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，△∽△，若，，，则的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56°B．62°C．68°D．78°
6．已知抛物线（其中是常数，）的顶点坐标为．有下列结论：
①若，则；
②若点与在该抛物线上，当时，则；
③关于的一元二次方程有实数解．
其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，平分，是的中点，若，则的长为（ ）
A．4B．C．D．
8．若是方程的两根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
9．二次函数与的图象与x轴有交点，则k的取值范围是
A．B．且C．D．且
10．四张背面完全相同的卡片，正面分别画有平行四边形、菱形、等腰梯形、圆，现从中任意抽取一张，卡片上所画图形恰好是轴对称图形的概率为( )
A．1B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知点P是正方形ABCD内部一点，且△PAB是正三角形，则∠CPD＝_____度．
12．在△ABC中，∠C=90°，AC=，∠CAB的平分线交BC于D，且，那么tan∠BAC=_________．
13．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为__________s．
14．将一块弧长为2π的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（接头处忽略不计），则围成的圆锥的高为____．
15．二中岗十字路口南北方向的红绿灯设置为：红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，小明由南向北经过路口遇到红灯的概率为______．
16．已知P（﹣1，y1），Q（﹣1，y1）分别是反比例函数y＝﹣图象上的两点，则y1_____y1．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）
17．用一个圆心角90°，半径为8㎝的扇形纸围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为 ．
18．反比例函数在第一象限内的图象如图，点是图象上一点，垂直轴于点，如果的面积为4，那么的值是__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知，如图，是直角三角形斜边上的中线，交的延长线于点.
求证:；
若，垂足为点，且，求的值.
20．（6分）解方程：x2+x﹣1＝1．
21．（6分）黄山景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为元，当销售单价定为元时，每天可以销售件.市场调查反映：销售单价每提高元，日销量将会减少件.物价部门规定：销售单价不低于元，但不能超过元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件）.
（1）直接写出与的函数关系式.
（2）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式.并求当为何值时，日销售利润最大，最大利润是多少？
22．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
23．（8分）如图，是的直径，是圆上的两点，且，.
（1）求的度数；
（2）求的度数.
24．（8分）已知等边△ABC的边长为2，
（1）如图1，在边BC上有一个动点P，在边AC上有一个动点D，满足∠APD＝60°，求证：△ABP～△PCD
（2）如图2，若点P在射线BC上运动，点D在直线AC上，满足∠APD＝120°，当PC＝1时，求AD的长
（3）在（2）的条件下，将点D绕点C逆时针旋转120°到点D'，如图3，求△D′AP的面积．
25．（10分）如图，▱ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．
（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．
26．（10分）已知关于的方程.
（1）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为，求该方程的另一个根.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】先连接OC，根据三条边都相等可证明△OCB是等边三角形，再利用圆周角定理即可求出角度.
【详解】解：如图，连接OC．
∵AB=2，BC=1，
∴OB=OC=BC=1，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠CDB=∠COB=30°.
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理，等边三角形的判定及性质等知识，作半径是圆中常用到的辅助线需熟练掌握.
2、A
【解析】试题分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：A.符合最简二次根式的两个条件，故本选项正确；
B.被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
C.被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D.被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误.
故选A.
3、C
【解析】根据中心对称图形的概念即可求解．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
4、C
【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答.
【详解】解：∵△∽△
∴
∴ 解得：AB=4
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找对相似三角形的对应边，并列出比例进行求解.
5、C
【解析】分析：由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
详解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选C．
点睛：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
6、C
【分析】利用二次函数的性质一一进行判断即可得出答案.
【详解】解：①抛物线（其中是常数，）顶点坐标为，
，
，
，
∴c＞＞0
．
故①小题结论正确；
②顶点坐标为，
点关于抛物线的对称轴的对称点为
点与在该抛物线上，
，
，
，
当时，随的增大而增大，
故此小题结论正确；
③把顶点坐标代入抛物线中，得，
一元二次方程中，
，
关于的一元二次方程无实数解．
故此小题错误．
故选：C．
【点睛】
本题是一道关于二次函数的综合性题目，具有一定的难度，需要学生熟练掌握二次函数的性质并能够熟练运用.
7、B
【分析】首先证明，然后再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即.
【详解】解：
设
则,

在中，

即
解得
为中点，

故选B
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形.
8、D
【解析】试题分析：x1+x2=-=6，故选D
考点: 根与系数的关系
9、D
【解析】利用△=b2-4ac≥1，且二次项系数不等于1求出k的取值范围．
【详解】∵二次函数与y=kx2-8x+8的图象与x轴有交点，
∴△=b2-4ac=64-32k≥1，k≠1，
解得：k≤2且k≠1．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题关键．
10、B
【解析】以上图形中轴对称图形有菱形、等腰梯形、圆，所以概率为3÷4=．故选B
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【解析】如图，先求出∠DAP＝∠CBP＝30°，由AP＝AD＝BP＝BC，就可以求出∠PDC＝∠PCD＝15°，进而得出∠CPD的度数．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵△ABP是等边三角形，
∴AP＝BP＝AB，∠PAB＝∠PBA＝60°，
∴AP＝AD＝BP＝BC，∠DAP＝∠CBP＝30°．
∴∠BCP＝∠BPC＝∠APD＝∠ADP＝75°，
∴∠PDC＝∠PCD＝15°，
∴∠CPD＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣15°﹣15°＝1°．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时运用三角形内角和定理是关键．
12、
【分析】根据勾股定理求出DC，推出∠DAC=30°，求出∠BAC的度数，即可得出tan∠BAC的值．
【详解】在△DAC中，∠C=90°，
由勾股定理得：DC，
∴DCAD，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAC=2×30°=60°，
∴tan∠BAC=tan60°．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形，锐角三角函数的定义，能求出∠DAC的度数是解答本题的关键．
13、1
【解析】根据关系式可知焰火的运行轨迹是一个开口向下的抛物线，已知焰火在升到最高时引爆，即到达抛物线的顶点时引爆，顶点横坐标就是从点火到引爆所需时间．则t==1s，
故答案为1．
14、
【分析】根据侧面展开图，求出圆锥的底面半径和母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．
【详解】如下图，为圆锥的侧面展开图草图：
∵侧面展开图是弧长为2π的半圆形
∴2π=，其中表示圆锥的母线长
解得：
圆锥侧面展开图的弧长对应圆锥底面圆的周长
∴2π=2πr，其中r表示圆锥底面圆半径
解得：r=1
∴根据勾股定理，h=
故答案为：
【点睛】
本题考查圆锥侧面展开图，公式比较多，建议通过绘制侧面展开图的草图来分析得出公式．
15、
【解析】∵该路口红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，
∴爸爸随机地由南往北开车经过该路口时遇到红灯的概率是，
故答案为:.
16、＜
【分析】先根据反比例函数中k＝﹣3＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】∵比例函数y＝﹣中，k＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣1＜﹣1＜0，
∴P（﹣1，y1），Q（﹣1，y1）在第二象限，
∵函数图象在第二象限内，y随x的增大而增大，
∴y1＜y1．
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质，掌握其函数增减性是关键．
17、1．
【解析】试题分析：扇形的弧长是：，设底面半径是，则，解得．故答案是：1．
考点：圆锥的计算．
18、1
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|=4，然后利用反比例函数的性质确定k的值．
【详解】解：∵△MOP的面积为4，
∴|k|=4，
∴|k|=1，
∵反比例函数图象的一支在第一象限，
∴k＞0，
∴k=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了反比例函数的性质．
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）9.
【分析】（1）首先根据直角三角形斜边中线的性质，得出，进而得出，然后由垂直的性质得出，最后由，即可得出；
（2）首先由相似三角形的性质得出，然后由得出，进而即可得出的值.
【详解】是直角三角形斜边上的中线
.
，
而
又
由(1)知
即.
.
【点睛】
此题主要考查直角三角形斜边中线性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.
20、x1＝，x2＝．
【分析】直接用公式法求解即可，首先确定a，b，c，再判断方程的解是否存在，若存在代入公式即可求解．
【详解】解：a＝1，b＝1，c＝﹣1，
b2﹣4ac＝1+4＝5＞1，
x＝；
∴x1＝，x2＝．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的解法，主要有：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法等，要针对不同的题型选用合适的方法．
21、（1）；（2），x=12时，日销售利润最大，最大利润960元
【分析】（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意得到w=（x-6）（-10x+280）=-10（x-17）2+1210，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）根据题意得，，
故与的函数关系式为；
（2）根据题意得，
当时，随的增大而增大，
当时，，
答：当为时，日销售利润最大，最大利润 元.
【点睛】
此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
22、 (1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(，)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．
【分析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；
(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；
(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．
【详解】解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
∴点A(1，0)，
∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，
∴ ，解得：
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，
∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，
∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，
∴ ，解得：，
∴点B(﹣4，﹣5)，
如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，
则点F(m，m﹣1)，
∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，
∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA
＝(﹣m2﹣3m+4)(m+4)+(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)
＝-（m+ ）2+ ，
∴当m＝时，P最大，
∴点P(，).
(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴点E(﹣1，﹣2)，
如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，
联立 得D1(0，3)，
同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，
综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．
23、（1）；（2）.
【分析】（1）根据AB是⊙O直径，得出∠ACB=90°，进而得出∠B=70°；
（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，得到圆心角∠AOC的度数，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，可求出∠ACD的度数．
【详解】（1）∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90，
∵∠BAC=20，
∴∠ABC=70，
（2）连接OC，OD，如图所示：
∴∠AOC =2∠ABC =140，
∵，
∴∠COD=∠AOD=
∴∠ACD=．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理的推论与定理，以及弦，弧，圆心角三者的关系，要求学生根据题意，作出辅助线，建立未知角与已知角的联系，利用同弧（等弧）所对的圆心角等于所对圆周角的2倍来解决问题．
24、（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）先利用三角形的内角和得出∠BAP+∠APB＝120°，再用平角得出∠APB+∠CPD＝120°，进而得出∠BAP＝∠CPD，即可得出结论；
（2）先构造出含30°角的直角三角形，求出PE，再用勾股定理求出PE，进而求出AP，再判断出△ACP∽∠APD，得出比例式即可得出结论；
（3）先求出CD，进而得出CD'，再构造出直角三角形求出D'H，进而得出D'G，再求出AM，最后用面积差即可得出结论．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
在△ABP中，∠B+∠APB+∠BAP＝180°，
∴∠BAP+∠APB＝120°，
∵∠APB+∠CPD＝180°﹣∠APD＝120°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD；
（2）如图2，过点P作PE⊥AC于E，
∴∠AEP＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝2，∠ACB＝60°，
∴∠PCE＝60°，
在Rt△CPE中，CP＝1，∠CPE＝90°﹣∠PCE＝30°，
∴CE＝CP＝，
根据勾股定理得，PE＝，
在Rt△APE中，AE＝AC+CE＝2+＝，
根据勾股定理得，AP2＝AE2+PE2＝7，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝120°＝∠APD，
∵∠CAP＝∠PAD，
∴△ACP∽△APD，
∴，
∴AD＝＝；
（3）如图3，由（2）知，AD＝，
∵AC＝2，
∴CD＝AD﹣AC＝，
由旋转知，∠DCD'＝120°，CD'＝CD＝，
∵∠DCP＝60°，
∴∠ACD'＝∠DCP＝60°，
过点D'作D'H⊥CP于H，
在Rt△CHD'中，CH＝CD'＝，
根据勾股定理得，D'H＝CH＝，
过点D'作D'G⊥AC于G，
∵∠ACD'＝∠PCD'，
∴D'G＝D'H＝（角平分线定理），
∴S四边形ACPD'＝S△ACD'+S△PCD'＝AC•D'G+CP•DH'＝×2×+×1×＝，
过点A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC，
∴BM＝BC＝1，
在Rt△ABM中，根据勾股定理得，AM＝BM＝，
∴S△ACP＝CP•AM＝×1×＝，
∴S△D'AP＝S四边形ACPD'﹣S△ACP＝﹣＝．
【点睛】
此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的特点及相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用.
25、（1）详见解析；（2）tan∠ADP＝．
【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】（1）证明：∵AE垂直平分BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴AF＝BE．
∵AF∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝AB＝2，
∴PH＝，DH＝5，
∴tan∠ADP＝＝．
【点睛】
本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．
26、（1）证明见解析；（2）另一根为-2.
【分析】（1）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答；
（2）将代入方程得到的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【详解】（1）∵，，，
∴
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将代入方程得，
，
解得：；
∴原方程为：，
设另一根为，则有，
解得：，
所以方程的另一个根为.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．