重庆市南开融侨中学2022-2023学年数学九上期末统考模拟试题含解析

这是一份重庆市南开融侨中学2022-2023学年数学九上期末统考模拟试题含解析，共21页。试卷主要包含了若x=2y，则的值为，下列事件不属于随机事件的是，下列事件中，属于必然事件的是，函数的顶点坐标是等内容，欢迎下载使用。

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知将二次函数y=x²+bx+c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x²-4x-5，则b，c的值为（ ）
A．b=1，c=6B．b=1．c= -5C．b=1．c= -6D．b=1,c=5
2．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子．在点钉在一起．并使它们保持垂直，在测直径时，把点靠在圆周上．读得刻度个单位，个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位B．10个单位C．11个单位D．13个单位
3．若x=2y，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．
4．下列事件不属于随机事件的是（ ）
A．打开电视正在播放新闻联播B．某人骑车经过十字路口时遇到红灯
C．抛掷一枚硬币，出现正面朝上D．若今天星期一，则明天是星期二
5．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．2020年的除夕是晴天B．太阳从东边升起
C．打开电视正在播放新闻联播D．在一个都是白球的盒子里，摸到红球
6．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表．根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为
A．B．C．D．
7．函数的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
8．已知反比例函数的表达式为，它的图象在各自象限内具有 y随x的增大而增大的特点，则k的取值范围是（ ）．
A．k>-2B．C．D．
9．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段 AC 的长为（ ）
A．4B．4C．6D．4
10．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE＝7.5，则AB＝_____．
12．如图，点、在上，点在轴的正半轴上，点是上第一象限内的一点，若，则圆心的坐标为__．
13．方程的根是____．
14．动点A（m+2，3m+4）在直线l上，点B（b，0）在x轴上，如果以B为圆心，半径为1的圆与直线l有交点，则b的取值范围是_____．
15．计算:cs45°= ________________
16．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是_________．
17．如图，点、分别在的边、上，若，，．若，，则的长是__________．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上一点，菱形OABC的边长为5，且tan∠COA=，若函数的图象经过顶点B，则k的值为________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在中，弦AB，CD相交于点E，＝，点D在上，连结CO，并延长CO交线段AB于点F，连接OA，OB，且OA＝2，∠OBA＝30°
（1）求证：∠OBA＝∠OCD；
（2）当AOF是直角三角形时，求EF的长；
（3）是否存在点F，使得，若存在，请求出EF的长，若不存在，请说明理由.
20．（6分）如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
21．（6分）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图1，AC=BC；
（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
22．（8分）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，连结，将沿翻转得到，直线与直线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若为的中点，，求的半径长；
（3）①求证：；
②若的面积为，，求的长．
23．（8分）某学校为了了解名初中毕业生体育考试成绩的情况（满分分，得分为整数），从中随机抽取了部分学生的体育考试成绩，制成如下图所示的频数分布直方图.已知成绩在这一组的频率为.请回答下列问题：
（1）在这个调查中，样本容量是______________；平均成绩是_________________；
（2）请补全成绩在这一组的频数分布直方图；
（3）若经过两年的练习，该校的体育平均成绩提高到了分，求该校学生体育成绩的年平均增长率.
24．（8分）元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，求九（2）班有多少个同学？
25．（10分）甲口袋中装有2个小球，它们分别标有数字1、2，乙口袋中装有3个小球，它们分别标有数字3、4、现分别从甲、乙两个口袋中随机地各取出1个小球，请你用列举法画树状图或列表的方法求取出的两个小球上的数字之和为5的概率．
26．（10分）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】首先抛物线平移时不改变a的值，其中点的坐标平移规律是上加下减，左减右加，利用这个规律即可得到所求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式．
【详解】解：∵y=x2-4x-5=x2-4x+4-9=（x-2）2-9，
∴顶点坐标为（2，-9），
∴由点的平移可知：向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得（1，-2），
则原二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-2），
∵平移不改变a的值，
∴a=1，
∴原二次函数y=ax2+bx+c=x2-2，
∴b=1，c=-2．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与平移变换，首先根据平移规律求出已知抛物线的顶点坐标，然后求出所求抛物线的顶点坐标，最后就可以求出原二次函数的解析式．
2、B
【分析】根据圆中的有关性质“90°的圆周角所对的弦是直径”．判断EF即为直径，然后根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接EF，
∵OE⊥OF，
∴EF是圆的直径，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角的性质定理，勾股定理．掌握“90°的圆周角所对的弦是直径”定理的应用是解决此题的关键．
3、A
【解析】将x=2y代入中化简后即可得到答案.
【详解】将x=2y代入得： ，
故选：A.
【点睛】
此题考查代数式代入求值，正确计算即可.
4、D
【分析】不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此可判断出结论．
【详解】A． 打开电视正在播放新闻联播，是随机事件，不符合题意；
B． 某人骑车经过十字路口时遇到红灯，是随机事件，不符命题意；
C． 抛掷一枚硬币，出现正面朝上，是随机事件，不符合题意，
D． 若今天星期一，则明天是星期二，是必然事件，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．关键是理解不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5、B
【分析】根据必然事件和随机事件的概念进行分析．
【详解】A选项：2020年的元旦是晴天，属于随机事件，故不合题意；
B选项：太阳从东边升起，属于必然事件，故符合题意；
C选项：打开电视正在播放新闻联播，属于随机事件，故不合题意；
D选项：在一个都是白球的盒子里，摸到红球，属于不可能事件，故不合题意．
故选：B．
【点睛】
考查了确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件；注：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
6、A
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【详解】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
7、B
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：∵函数，
∴该函数的顶点坐标是，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像，关键是根据二次函数的顶点式直接得到顶点坐标即可．
8、C
【分析】先根据反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大，
∴＜0，解得k＜-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键
9、B
【分析】由已知条件可得,可得出,可求出AC的长．
【详解】解：由题意得：∠B=∠DAC，∠ACB=∠ACD,所以，根据“相似三角形对应边成比例”，得，又AD 是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC=,
故选B.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．
10、D
【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率，
故选D．
【点睛】
本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、2.1．
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k得到位似比为，然后根据相似的性质计算AB的长．
【详解】解：∵A（1.1，0），D（4.1，0），
∴==，
∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴==,
∴AB=DE=×7.1=2.1．
故答案为2.1．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
12、
【分析】分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F，先通过圆周角定理可得出∠BAC=90°，再证明△BEA≌△AFC，得出AE=CF=4，再根据AO=AE-OE可得出结果．
【详解】解：分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F，
∵∠D=45°，∴∠BAC=90°．
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BAE+∠CAF=90°，
∴∠ABE=∠CAF，
又AB=AC，∠AEB=∠AFC=90°，
∴△BEA≌△AFC（AAS），
∴AE=CF，
又∵B，C的坐标为、，
∴OE=1，CF=4，
∴OA=AE-OE=CF-OE=1．
∴点A的坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，以及全等三角形的判定与性质，根据已知条件作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
13、，
【分析】把方程变形为，把方程左边因式分解得，则有y=0或y-5=0，然后解一元一次方程即可．
【详解】解：，
∴，
∴y=0或y-5=0，
∴．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，其步骤为：移项，化积，转化和求解这几个步骤．
14、
【分析】先利用点A求出直线l的解析式，然后求出以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切时点B的坐标，即b的值，从而确定以B为圆心，半径为1的圆与直线l有交点时b的取值范围.
【详解】设直线l的解析式为
∵动点A（m+2，3m+4）在直线l上，将点A代入直线解析式中
得
解得
∴直线l解析式为y＝3x﹣2
如图，直线l与x轴交于点C（，0），交y轴于点A（0，﹣2）
∴OA＝2，OC＝
∴AC＝
若以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切于点D，连接BD
∴BD⊥AC
∴sin∠BCD＝sin∠OCA＝
∴
∴
∴以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切时，B点坐标为或∴以B为圆心，半径为1的圆与直线l有交点，则b的取值范围是
故答案为
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握锐角三角函数是解题的关键.
15、1
【分析】将cs45°=代入进行计算即可.
【详解】解：cs45°=
故答案为：1.
【点睛】
此题考查的是特殊角的锐角三角函数值，掌握cs45°=是解决此题的关键.
16、2或
【分析】设BF=，根据折叠的性质用x表示出B′F和FC，然后分两种情况进行讨论（1）△B′FC∽△ABC和△B′FC∽△BAC，最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解．
【详解】设BF=，则由折叠的性质可知：B′F=，FC=，
（1）当△B′FC∽△ABC时，有，
即：，解得：；
（2）当△B′FC∽△BAC时，有，
即：，解得：；
综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是2或
故答案为2或．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定和性质，解本题时，由于题目中没有指明△B′FC和△ABC相似时顶点的对应关系，所以根据∠C是两三角形的公共角可知，需分：（1）△B′FC∽△ABC；（2）△B′FC∽△BAC；两种情况分别进行讨论，不要忽略了其中任何一种．
17、
【分析】由题意根据三角形内角和定理以及相似三角形的判定定理和相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵∠A=40°，∠B=65°，
∴∠C=180°-40°-65°=75°，
∴∠C=∠AED，
∵∠A=∠A（公共角），
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴.
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，属于基础题型，难度较小．
18、1
【分析】作BD⊥x轴于点D，如图，根据菱形的性质和平行线的性质可得∠BAD=∠COA，于是可得，在Rt△ABD中，由AB=5则可根据勾股定理求出BD和AD的长，进而可得点B的坐标，再把点B坐标代入双曲线的解析式即可求出k．
【详解】解：作BD⊥x轴于点D，如图，
∵菱形OABC的边长为5，
∴AB=OA=5，AB∥OC，
∴∠BAD=∠COA，
∴
在Rt△ABD中，设BD=3x，AD=4x，
则根据勾股定理得：AB=5x=5，解得：x=1，
∴BD=3，AD=4，
∴OD=9，
∴点B的坐标是（9，3），
∵的图象经过顶点B，
∴k=3×9=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、解直角三角形、勾股定理和待定系数法求函数的解析式等知识，属于常考题型，熟练应用上述知识、正确求出点B的坐标是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）或；（3）
【分析】（1）根据在“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”可得；（2）分两种情况讨论，当时，解直角三角形AFO可求得AF和OF的长，再解直角三角形EFC可得；当时，解直角三角形AFO可求得AF和OF的长，根据三角函数求解；（3）由边边边定理可证，再证，根据对应边成比例求解.
【详解】解：（1）延长AO，CO分别交圆于点M，N
为直径
弧AC=弧BD
弧CD=弧AB
（2）①当时
②当时
，
，，
综上所述: 或
(3)连结,过点分别作于点，于点
弧AC=弧BD
弧CD=弧AB
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵

∴
∴
∴
【点睛】
本题考查圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质的综合应用，根据条件选择对应知识点且具有综合能力是解答此题的关键.
20、△ABC∽△A'B'C'，理由见解析
【分析】由题意知，根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，可证得△ABD∽△A'B'D'，进而可得∠B＝∠B'，再根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC∽△A'B'C'．
【详解】△ABC∽△A'B'C'，
理由：∵
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠B＝∠B'，
∵AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线
∴，，
∴，
在△ABC和△A'B'C'中
∵，且∠B＝∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似．
21、（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析．
【解析】试题分析：（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，弧AC=弧BC，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．
试题解析：（1）如图1，直径CD为所求；
（2）如图2，弦AD为所求．
考点：1．作图—复杂作图；2．三角形的外接圆与外心；3．切线的性质；4．作图题．
22、（1）见解析；（2）的半径为2；（3）①见解析；②．
【分析】（1）连接OC，由OA=OC得，根据折叠的性质得∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°，则∠2=∠3，于是可判断OC∥AF，根据平行线的性质得，然后根据切线的性质得直线FC与⊙O相切；
（2）首先证明△OBC是等边三角形，在Rt△OCE中，根据OC2=OE2+CE2，构建方程即可解决问题；
（3）①根据等角的余角相等证明即可；
②利用圆的面积公式求出OB，由△GCB∽△GAC，可得，由此构建方程即可解决问题；
【详解】解：（1）证明：连结，则，
，
，
，
又，
即直线垂直于半径，且过的外端点，
是的切线；
（2）点是斜边的中点，
，
是等边三角形，且是的高，
在中，
，即
解得，即的半径为2；
（3）①∵OC=OB，
∴，
，，
．
②，
，
由①知：，
，即，
，
解得：．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
23、（1），分；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据样本容量的定义和平均数的求法答题即可；
（2）计算出21.5至24.5这一组的频数后，再补全分布直方图；
（3）设年平均增长率为，列出一元二次方程求解即可.
【详解】（1）样本容量：;
总成绩平均成绩分
（2）∵组别人数人
∴补全频数分布直方图如下：
（3）设年平均增长率为，由题意得
解得，（不符合题意，舍去）.
两年的年平均增长率为
答：该校学生体育成绩的年平均增长率为10%.
【点睛】
本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必需认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，同时还考查了一元二次方程的应用.
24、40个
【解析】设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，根据全班交换小礼物共1560件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，
根据题意得：x（x﹣1）＝1560，
解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去）．
答：九（2）班有40个同学．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25、
【解析】用树状图列举出所有情况，看两个小球上的数字之和为5的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解:树状图如下：
共有6种等可能的结果，
．
26、 (1)证明见解析(2)2
【解析】试题分析：由角平分线得出,得出，由圆周角定理得出证出再由三角形的外角性质得出即可得出
由得：，得出由圆周角定理得出是直径，由勾股定理求出即可得出外接圆的半径．
试题解析：(1)证明：平分
又
平分
连接，
是直径．
平分



∴半径为
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10