重庆市开州集团2022年数学九年级第一学期期末达标测试试题含解析

这是一份重庆市开州集团2022年数学九年级第一学期期末达标测试试题含解析，共20页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，方差是刻画数据波动程度的量等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线y＝上，如果x1＜x2，而且x1•x2＞0，则以下不等式一定成立的是（ ）
A．y1+y2＞0B．y1﹣y2＞0C．y1•y2＜0D．＜0
2．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程 =15，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成
3．如图，是的外接圆，是直径．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．如果小强将飞镖随意投中如图所示的正方形木板，那么P(飞镖落在阴影部分的概率)为( )
A．B．C．D．
5．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
6．如图，一张矩形纸片ABCD的长，宽将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：
A．2：1B．：1C．3：D．3：2
7．⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是
A．相切B．相交C．相离D．不能确定
8．方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，，，…，，可用如下算式计算方差：，其中“5”是这组数据的（ ）
A．最小值B．平均数C．中位数D．众数
9．等腰直角△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，若∠BAC=90°，AP=1.则CP的长等于（ ）
A．B．2C．2D．3
10．随机抛掷一枚质地均匀的骰子一次，下列事件中，概率最大的是（ ）
A．朝上一面的数字恰好是6B．朝上一面的数字是2的整数倍
C．朝上一面的数字是3的整数倍D．朝上一面的数字不小于2
11．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（ ）
A．1B．C．D．
12．《孙子算经》中有一道题: “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．将抛物线向上平移一个单位后，又沿x轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是_____．
14．关于x的一元二次方程没有实数根，则实数a的取值范围是 ．
15．如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1），则sin（α+β）＝__．
16．如图，点，分别在线段，上，若，，，，则的长为________．
17．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是的中点，连结AC交BD于点E，连结AD，若BE＝4DE，CE＝6，则AB的长为_____．
18．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AC与BD相交于点E，则的值等于_________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）按要求解答下列各小题．
（1）解方程：；
（2）计算：．
20．（8分）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）a＝_____；b＝_____；c＝_____；
（2）填空：（填“甲”或“乙”）．
①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是_____；
②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是_____；
​③成绩相对较稳定的是_____．
21．（8分）（7分）某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本进行统计，并制作了如图频数分布表和频数分布直方图（不完整且局部污损，其中“■”表示被污损的数据）．请解答下列问题：
（1）写出a，b，c的值；
（2）请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
22．（10分）某次数学竞赛共有3道判断题，认为正确的写“”，错误的写“”，小明在做判断题时，每道题都在“”或“”中随机写了一个.
（1）小明做对第1题的概率是 ；
（2）求小明这3道题全做对的概率.
23．（10分）已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).
24．（10分）在平面直角坐标系中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．
（1）已知原抛物线表达式是，求它的“影子抛物线”的表达式；
（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是，求原抛物线的表达式；
（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．
25．（12分）如图，已知一次函数的图象交反比例函数的图象于点和点，交轴于点.
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请直接写出不等式的解集.
26．如图，平面直角坐标系内，二次函数的图象经过点，与轴交于点.
求二次函数的解析式；
点为轴下方二次函数图象上一点，连接，若的面积是面积的一半，求点坐标.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据题意可得x1＜x2，且x1、x2同号，根据反比例函数的图象与性质可得y1＞y2，即可求解．
【详解】反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，
而x1＜x2，且x1、x2同号，
所以y1＞y2，
即y1﹣y2＞0，
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
2、C
【解析】题中方程表示原计划每天铺设管道米，即实际每天比原计划多铺设米，结果提前天完成，选．
3、C
【解析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得：∠A= ∠BOC=40°．
【详解】∵∠BOC=80°，
∴∠A=∠BOC=40°．
故选C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4、C
【解析】先求大正方形和阴影部分的面积分别为36和4,再用面积比求概率.
【详解】设小正方形的边长为1，则正方形的面积为6×6=36，
阴影部分面积为，所以，P落在三角形内的概率是.
故选C.
【点睛】本题考核知识点：几何概率.解答本题的关键是理解几何概率的概念，即：概率=相应的面积与总面积之比．分别求出相关图形面积，再求比.
5、A
【解析】解：∵四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AB=OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴点B、D、O在同一直线上，
∴∠ADB=∠AOB=30°
故选A．
6、B
【分析】根据折叠性质得到AF＝AB＝a，再根据相似多边形的性质得到，即，然后利用比例的性质计算即可．
【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，
∴AF＝AB＝a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似，
∴，即，
∴a∶b＝.
所以答案选B.
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
7、B
【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
【详解】∵⊙O的半径为8，圆心O到直线L的距离为4，
∵8＞4，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选B．
8、B
【分析】根据方差公式的定义即可求解.
【详解】方差中“5”是这组数据的平均数.
故选B．
【点睛】
此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质.
9、B
【分析】先利用定理求得，再证得，利用对应边成比例，即可求得答案.
【详解】如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴，，
设，则，如图，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
10、D
【解析】根据概率公式，逐一求出各选项事件发生的概率，最后比较大小即可．
【详解】解：A． 朝上一面的数字恰好是6的概率为：1÷6=；
B． 朝上一面的数字是2的整数倍可以是2、4、6，有3种可能，故概率为：3÷6=；
C． 朝上一面的数字是3的整数倍可以是3、6，有2种可能，故概率为：2÷6=；
D． 朝上一面的数字不小于2可以是2、3、4、5、6，有5种可能，，故概率为：5÷6=
∵＜＜＜
∴D选项事件发生的概率最大
故选D．
【点睛】
此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
11、D
【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，本题得以解决．
【详解】解：二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，
当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0，
设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x1，x2，
则x1+x2＝6，x1x2＝，
∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴（x1﹣x2）2＝16，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴36﹣4×＝16，
解得，a＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查解二次函数综合题，解题关键是根据题意可以写出平移后的函数解析式.
12、D
【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子－木条=4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：木条－绳子=1，据此列出方程组即可．
【详解】由题意可得，．
故选：D．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】先确定抛物线y＝x2﹣2的二次项系数a= 1，顶点坐标为（0，﹣2），向上平移一个单位后（0，﹣1），翻折后二次项系数a= -1，顶点坐标变为（0，1），然后根据顶点式写出新抛物线的解析式．
【详解】抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），点（0，﹣2）向上平移一个单位所得对应点的坐标为（0，﹣1），点（0，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（0，1），
因为新抛物线的开口向下，
所以新抛物线的解析式为y＝﹣x2+1．
故答案为：y＝﹣x2+1．
【点睛】
此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，翻折口开口方向改变，但是大小没变，因此二次项系数改变的只是符号，正确掌握平移的规律并运用解题是关键．
14、a＞1．
【解析】试题分析：∵方程没有实数根，∴△=﹣4a＜1，解得：a＞1，故答案为a＞1．
考点：根的判别式．
15、．
【分析】连接BC,构造直角三角形ABC,由正三角形及菱形的对角线平分对角的性质, 得出∠BCD=α=30°,∠ABC=90°,从而α+β=∠ACB,分别求出△ABC的边长，
【详解】如图,连接BC,
∵上图是由10个小正三角形构造成的网格图,
∴任意相邻两个小正三角形都组成一个菱形,
∴∠BCD＝α＝30°,∠ABC＝90°,
∴α+β＝∠ACB,
∵每个小正三角形的边长均为1,
∴AB＝2,
在Rt△DBC中,
,
∴BC＝,
∴在Rt△ABC中,
AC＝,
∴sin（α+β）＝sin∠ACB＝,
故答案为: ．
【点睛】
本题考查了构造直角三角形求三角函数值,解决本题的关键是要正确作出辅助线,明确正弦函数的定义.
16、7.1
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：，
，即，
解得，，
，
故答案为：7.1．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17、4
【分析】如图，连接OC交BD于K．设DE＝k．BE＝4k，则DK＝BK＝2.5k，EK＝1.5k，由AD∥CK，推出AE：EC＝DE：EK，可得AE＝4，由△ECK∽△EBC，推出EC2＝EK•EB，求出k即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OC交BD于K．
∵，
∴OC⊥BD，
∵BE＝4DE，
∴可以假设DE＝k．BE＝4k，则DK＝BK＝2.5k，EK＝1.5k，
∵AB是直径，
∴∠ADK＝∠DKC＝∠ACB＝90°，
∴AD∥CK，
∴AE：EC＝DE：EK，
∴AE：6＝k：1.5k，
∴AE＝4，
∵△ECK∽△EBC，
∴EC2＝EK•EB，
∴36＝1.5k×4k，
∵k＞0，
∴k＝，
∴BC＝＝＝2，
∴AB＝＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
18、
【分析】如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，再在中，利用直角三角形的性质、勾股定理可得，由此即可得出答案．
【详解】如图，过点E作于点F，
由题意得：，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
在中，，
，
，
解得，
则，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造两个直角三角形是解题关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）；；（2）．
【分析】（1）去括号整理后利用因式分解法解方程即可；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】(1)去括号得：
移项合并得：
因式分解得：
即：或
∴；
(2)
．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，特殊角的三角函数值，正确分解因式、熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
20、（1）7，7.5，4.2；（2）①乙，②乙；③甲
【分析】（1）根据平均数、中位数、方差的定义分别计算即可解决问题；
（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩好于甲，从方差来看，乙的方差大于甲，所以甲的成绩相对较稳定.
【详解】解：（l）a＝（5+2×6+4×7+2×8+9）＝7（环），
b＝（7+8）＝7.5（环），
c＝ [（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（10﹣7）2+（9﹣7）2]
＝4.2（环2）；
故答案为：7，7.5，4.2；
（2）由表中数据可知，甲，乙平均成绩相等，乙的中位数，众数均大于甲，说明乙的成绩好于甲，乙的方差大于甲．
①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是：乙；
②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是乙；
​③成绩相对较稳定的是：甲．
故答案为：乙，乙，甲．
【点睛】
本题考查了条形统计图、折线统计图、平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21、（1）a=0.24，b=2，c=0.04；（2）600人；（3）人.
【分析】（1）利用50≤x＜60的频数和频率，根据公式：频率＝频数÷总数先计算出样本总人数，再分别计算出a，b，c的值；
（2）先计算出竞赛分数不低于70分的频率，根据样本估计总体的思想，计算出1000名学生中竞赛成绩不低于70分的人数；
（3）列树形图或列出表格，得到要求的所有情况和2名同学来自一组的情况，利用求概率公式计算出概率.
【详解】解：（1）样本人数为：8÷0.16=50（名）
a=12÷50=0.24，
70≤x＜80的人数为：50×0.5=25（名）
b=50﹣8﹣12﹣25﹣3=2（名）
c=2÷50=0.04
所以a=0.24，b=2，c=0.04；
（2）在选取的样本中，竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6，根据样本估计总体的思想，有：
1000×0.6=600（人）
∴这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分；
（3）成绩是80分以上的同学共有5人，其中第4组有3人，不妨记为甲，乙，丙，第5组有2人，不妨记作A，B
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取两名同学，情形如树形图所示，共有20种情况：
抽取两名同学在同一组的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB，BA共8种情况，
∴抽取的2名同学来自同一组的概率P==
【点睛】
本题考查了频数、频率、总数间关系及用列表法或树形图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树形图法适合两步或两步以上完成的事件；概率＝所求情况数与总情况数之比．
22、（1）；（2）
【分析】（1）根据概率公式求概率即可；
（2）写出小明做这3道题，所有可能出现的等可能的结果，然后根据概率公式求概率即可．
【详解】解：（1）∵第一题可以写A或B，共2种结果，其中作对的可能只有1种，
∴小明做对第1题的概率是1÷2=
故答案为；
（2）小明做这3道题，所有可能出现的结果有：，，，，，，，，共有8种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“这3道题全做对”（记为事件）的结果只有 1种，
∴小明这3道题全做对的概率为1÷8=．
【点睛】
此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
23、（1）证明见解析；（2）2.
【解析】试题分析:（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于1，即可得证．
（2）把x=1代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可．
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m（m+1）=1．
∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞1，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=1是此方程的一个根，
∴把x=1代入方程中得到m（m+1）=1，
∴m=1或m=-1，
∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-2=4m2-4m+1+9-m2+7m-2=3m2+3m+2，
把m=1代入3m2+3m+2得：3m2+3m+2=2；
把m=-1代入3m2+3m+2得：3m2+3m+2=3×1-3+2=2．
考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的解．
24、（1）；（2）或；（3）结论成立，理由见解析
【分析】（1）设影子抛物线表达式是，先求出原抛物线的顶点坐标，代入，可求解；
（2）设原抛物线表达式是，用待定系数法可求，，即可求解；
（3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．
【详解】解：（1）原抛物线表达式是
原抛物线顶点是，
设影子抛物线表达式是，
将代入，解得，
所以“影子抛物线”的表达式是；
（2）设原抛物线表达式是，
则原抛物线顶点是，
将代入，得①，
将代入，②，
由①、②解得，．
所以，原抛物线表达式是或；
（3）结论成立．
设影子抛物线表达式是．原抛物线于轴交点坐标为
则两条原抛物线可表示为与抛物线（其中、、、是常数，且，
由题意，可知两个抛物线的顶点分别是、
将、分别代入，
得
消去得，
，
，，
、关于轴对称．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，理解“影子抛物线”的定义并能运用是本题的关键．
25、（1）y＝x﹣6；（2）△AOB的面积为6；（3）由图象知， 0＜x＜2或x＞1．
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数表达式，从而的反比例函数解析式，再求点B的坐标，然后代入反比例函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）观察函数图象即可求出不等式的解集.
【详解】（1）把A（2，﹣1）的坐标代入，得，
∴1﹣2m＝﹣8，反比例函数的表达式是y=﹣；
把B（n，﹣2）的坐标代入y=﹣得，-2=﹣，
解得：n＝1，
∴B点坐标为（1，﹣2），
把A（2，﹣1）、B（1，﹣2）的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数表达式为y＝x﹣6；
（2）当y＝0时，x＝0+6＝6，
∴OC＝6，
∴△AOB的面积＝×6×1﹣×6×2＝6；
（3）由图象知， 0＜x＜2或x＞1．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及观察图象的能力，待定系数法求函数解析式，求出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．
26、（1）；（2）点坐标为或
【分析】（1）根据A、B、C三点坐标，运用待定系数法即可解答；
（2）由的面积是面积的一半，则D点的纵坐标为-3，令y=3，求得x的值即为D点的纵坐标.
【详解】解:
设D的坐标为（x，yD）
∵的面积是面积的一半
∴，
又∵点在轴下方，即.
令y=-3，即
解得:，，
∴点坐标为或
【点睛】
本题主要考查了求二次函数解析式和三角形的面积，确定二次函数解析式并确定△ABD的高是解答本题的关键.
平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
成绩分组
频数
频率
50≤x＜60
8
0.16
60≤x＜70
12
a
70≤x＜80
■
0.5
80≤x＜90
3
0.06
90≤x≤100
b
c
合计
■
1