浙江省台州市黄岩实验中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末检测试题含解析

这是一份浙江省台州市黄岩实验中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末检测试题含解析，共28页。试卷主要包含了已知下列命题，正方形具有而菱形不具有的性质是，下列命题是真命题的个数是等内容，欢迎下载使用。

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=3，则AE的长为( )
A．B．5C．8D．4
2．若用圆心角为120°，半径为9的扇形围成一个圆锥侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面直径是（ ）
A．3B．6
C．9D．12
3．方程5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．5、6、﹣8 B．5，﹣6，﹣8 C．5，﹣6，8 D．6，5，﹣8
4．已知下列命题:①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②内错角相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④矩形的对角线相等，其中假命题有（ ）
A．个B．个C．个D．个
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若，BC=2，则sin∠A的值为（ ）
A．B．C．D．
6．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2x﹣3＝xB．2x+3y＝5C．2x﹣x2＝1D．
7．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且，则 S△ADE：S四边形BCED 的值为（ ）
A．1：B．1：3C．1：8D．1：9
8．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直
9．小明同学以正六边形三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径，向外作三段圆弧，设计了如图所示的图案，已知正六边形的边长为1，则该图案外围轮廓的周长为（ ）
A．B．C．D．
10．下列命题是真命题的个数是（ ）．
①64的平方根是；
②，则；
③三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；
④三角形三边的垂直平分线交于一点．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知关于x的一元二次方程（m-2）2x2＋（2m＋1）x＋1=0有两个实数根，则m的取值范围是_____．
12．如果点A（－1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x－1）2+h上，那么m的值为_____．
13．已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方：有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有__________．
14．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，弦BD，AC交于点E，若DE＝2，BE＝4，则tan∠ABD＝_____．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D、E分别在BC、AC上（点D不与点B、C重合），且∠ADE＝45°，若△ADE是等腰三角形，则CE＝_____．
16．=___
17．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为_____．
18．如图，的半径为，的面积为，点为弦上一动点，当长为整数时，点有__________个．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，二次函数的图像经过，两点.
（1）求该函数的解析式；
（2）若该二次函数图像与轴交于、两点，求的面积；
（3）若点在二次函数图像的对称轴上，当周长最短时，求点的坐标.
20．（6分）如图1，△ABC是等边三角形，点D在BC上，BD=2CD，点F是射线AC上的动点，点M是射线AD上的动点，∠AFM=∠DAB，FM的延长线与射线AB交于点E，设AM=x，△AME与△ABD重叠部分的面积为y，y与x的函数图象如图2所示（其中0（1）填空：AB=_______；
（2）求出y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．
21．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．
（1）当t＝ 时，两点停止运动；
（2）设△BPQ的面积面积为S（平方单位）
①求S与t之间的函数关系式；
②求t为何值时，△BPQ面积最大，最大面积是多少？
22．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC．
（1）当sinB=时，
①求证：BE＝2CD．
②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．
（2）当sinB=时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，求线段CD的长．
23．（8分）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数（个）与甲加工时间之间的函数图象为折线，如图所示．
（1）这批零件一共有 个，甲机器每小时加工 个零件，乙机器排除故障后每小时加工 个零件；
（2）当时，求与之间的函数解析式；
（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？
24．（8分）用一块边长为的正方形薄钢片制作成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合起来(如图②)．若做成的盒子的底面积为时，求截去的小正方形的边长．
25．（10分）如图，某中学准备建一个面积为300m2的矩形花园，它的一边利用图书馆的后墙，另外三边所围的栅栏的总长度是50m，求垂直于墙的边AB的长度？（后墙MN最长可利用25米）
26．（10分）如图，抛物线（）与双曲线相交于点、，已知点坐标，点在第三象限内，且的面积为3（为坐标原点）.
（1）求实数、、的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在请求出所有的点的坐标，若不存在请说明理由.
（3）在坐标系内有一个点，恰使得，现要求在轴上找出点使得的周长最小，请求出的坐标和周长的最小值.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【详解】把顺时针旋转的位置，
四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
，
，
中，．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
2、B
【详解】设这个圆锥的底面半径为r，
∵扇形的弧长==1π，
∴2πr=1π，
∴2r=1，即圆锥的底面直径为1．
故选B．
3、C
【解析】根据一元二次方程的一般形式进行解答即可.
【详解】5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式是5x2﹣6x+8=0，
它的二次项系数是5，一次项系数是﹣6，常数项是8，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4、B
【分析】利用平行四边形的判定、平行线的性质、菱形的判定和矩形的性质分别对各命题进行判断即可．
【详解】解：①根据平行四边形的判定定理可知，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题；
②两直线平行，内错角相等，故②为假命题；
③根据菱形的判定定理，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故③是假命题；
④根据矩形的性质，矩形的对角线相等，故④是真命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行四边形的判定、平行线的性质、菱形的判定及矩形的性质，难度不大．
5、C
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后再求sin∠A的大小．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，，BC=2
∴AB=
∴sin∠A=
故选：C．
【点睛】
本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．
6、C
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意；
B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意；
C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意；
D、方程x+＝7是分式方程，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
7、C
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而求得S△ADE：S四边形BCED的值．
【详解】∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE:S△ABC＝1:9，
∴S△ADE:S四边形BCED＝1:8，
故选C.
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
8、B
【分析】根据正方形和菱形的性质逐项分析可得解.
【详解】根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直；菱形对角线的性质：平分、垂直，
故选B．
【点睛】
考点：1.菱形的性质；2.正方形的性质．
9、C
【分析】根据正六边形的边长相等，每个内角为120度，可知图案外围轮廓的周长为三个半径为1、圆心角为240度的弧长之和．
【详解】由题意可知：
∵正六边形的内角，
∴扇形的圆心角，
∵正六边形的边长为1，
∴该图案外围轮廓的周长，
故选：C．
【点睛】
本题考查了弧长的计算公式，正多边形和圆，正六边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
10、C
【分析】分别根据平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质进行分析即可.
【详解】①64的平方根是，正确，是真命题；
②，则不一定，可能；故错误；
③根据角平分线性质，三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；是真命题；
④根据三角形外心定义，三角形三边的垂直平分线交于一点，是真命题；
故选：C
【点睛】
考核知识点：命题的真假.理解平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质是关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、且.
【详解】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）1x1+（1m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b1﹣4ac＞0，
即（1m+1）1﹣4×（m﹣1）1×1＞0，
解这个不等式得，m＞，
又∵二次项系数是（m﹣1）1≠0，
∴m≠1
故M得取值范围是m＞且m≠1．
故答案为m＞且m≠1.
考点：根的判别式
12、1
【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．
【详解】由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，得：（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=1对称，m﹣1=1﹣（﹣1），解得：m=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣1=1﹣（﹣1）是解题的关键．
13、③
【分析】① 利用可以用来判定二次函数与x轴交点个数，即可得出答案；② 根据图中当时的值得正负即可判断；③ 由函数开口方向可判断的正负，根据对称轴可判断的正负，再根据函数与轴交点可得出的正负，即可得出答案；
④ 根据方程可以看做函数，就相当于函数(a 0)向下平移个单位长度，且与有两个交点，即可得出答案.
【详解】解：① ∵ 函数与轴有两个交点，
∴，所以① 错误；
②∵ 当时，,由图可知当，，
∴，所以②错误；
③∵ 函数开口向上，
∴，
∵对称轴，，
∴，
∵函数与轴交于负半轴，
∴,
∴，所以③ 正确；
④方程可以看做函数当y=0时也就是与轴交点，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴函数与轴有两个交点
∵函数就相当于函数向下平移个单位长度
∴由图可知当函数向上平移大于2个单位长度时，交点不足2个，
∴，所以④错误.
正确答案为: ③
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系：可以用来判定二次函数与x轴交点的个数，当时，函数与x轴有2个交点；当时，函数与x轴有1个交点；当时，函数与x轴没有交点.；二次函数系数中决定开口方向，当时，开口向上，当时，开口向下；共同决定对称轴的位置，可以根据“左同右异”来判断；决定函数与轴交点.
14、
【分析】根据圆周角定理得到∠DAC=∠B，得到△ADE∽△BDA，根据相似三角形的性质求出AD，根据正切的定义解答即可．
【详解】∵点D是弧AC的中点，
∴，
∴∠DAC=∠ABD，
又∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴，即，
解得：AD=2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴tan∠ABD=tan∠DAE．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、正切的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
15、2﹣或．
【分析】当△ABD∽△DCE时，可能是DA＝DE，也可能是ED＝EA，所以要分两种情况求出CE长．
【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠ADE＝45°，
∴∠B＝∠C＝∠ADE．
∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠DEC＝∠ADE+∠DAC，
∴∠ADB＝∠DEC．
∵∠ADC+∠B+∠BAD＝180，∠DEC+∠C+∠CDE＝180°，
∴∠ADC+∠B+∠BAD＝∠DEC+∠C+∠CDE，
∴∠EDC＝∠BAD，
∴△ABD∽△DCE
∵∠DAE＜∠BAC＝90°，∠ADE＝45°，
∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD＝DE．
∴△ABD≌△DCE．
∴CD＝AB＝．
∴BD＝2﹣= CE，
当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED＝EA．
∵∠ADE＝45°，
∴此时有∠DEA＝90°．
即△ADE为等腰直角三角形．
∴AE＝DE＝AC＝．
∴CE=AC＝
当AD＝EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，
因此CE的长为2﹣或．
故答案为：2﹣或．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质.
16、
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】解：原式==.
故答案为：.
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17、110°
【解析】试题分析：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故答案为110°．
考点：圆周角定理．
18、4
【分析】从的半径为，的面积为，可得∠AOB=90°，故OP的最小值为OP⊥AB时，为3 ，最大值为P与A或B点重合时，为6，故 , 当长为整数时，OP可以为5或6，根据圆的对称性，这样的P点共有4个.
【详解】∵的半径为，的面积为
∴∠AOB=90°
又OA=OB=6
∴AB=
当OP⊥AB时，OP有最小值，此时OP= AB=
当P与A或B点重合时，OP有最大值，为6，故
当OP长为整数时，OP可以为5或6，根据圆的对称性，这样的P点共有4个.
故答案为：4
【点睛】
本题考查的是圆的对称性及最大值、最小值问题，根据“垂线段最短”确定OP的取值范围是关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）6；（3）
【解析】（1）将M,N两点代入求出b,c值，即可确定表达式；
（2）令y=0求x的值，即可确定A、B两点的坐标，求线段AB长，由三角形面积公式求解.
（3）求出抛物线的对称轴，确定M关于对称轴的对称点G的坐标，直线NG与对称轴的交点即为所求P点，利用一次函数求出P点坐标.
【详解】解：将点，代入中得，
，
解得，，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）如图，当y=0时，，
∴x1=3,x2= -1,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∴S△ABM= .
即的面积是6.
（3）如图，抛物线的对称轴为直线 ，
点关于直线x=1的对称点坐标为G(2，3),
∴PM=PG,
连MG交抛物线对称轴于点P，此时NP+PM=NP+PG最小，即周长最短.
设直线NG的表达式为y=mx+n,
将N(-2,-5),G(2,3)代入得，
，
解得， ，
∴y=2m-1,
∴P点坐标为(1,1).
【点睛】
本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，图象的交点问题，利用对称性解决线段和的最小值问题，利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键.
如图，二次函数y=-x²+bx+c的图像经过M(0,3)，N(-2,-5)两点.
20、（1）6；（2）
【分析】（1）作高，由图象得出△ABD的面积，再由BD=2CD,得出△ABC的面积，利用三角形的面积公式求解即可;
（2）先求出，，，的值，再利用勾股定理可得AD的值，再利用三角形相似，分类讨论，求解即可.
【详解】（1）解：如图1，过点A作AH⊥BC,垂足为H，则，，由图象可知．
由，可知，．
是等边三角形，可知，，
，，
得．
（2）解：如图2，作高，则，，由图象可知．
由，可知，．
是等边三角形，可知，，
，，
得．
，，，．
由勾股定理可得，．
由，可得，，，．
当点与点重合时，，．
当时，如图1，，，．
当时，如图4，，，．
，，．
．
当时，如图5，．
综上，．
【点睛】
本题考查了三角形的面积公式，勾股定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握这些性质，并注意分类讨论思想的应用.
21、（1）1；（2）①当0＜t＜4时，S＝﹣t2+6t，当4≤t＜6时，S＝﹣4t+2，当6＜t≤1时，S＝t2﹣10t+2，②t＝3时，△PBQ的面积最大，最大值为3
【分析】（1）求出点Q的运动时间即可判断．
（2）①的三个时间段分别求出△PBQ的面积即可．
②利用①中结论，求出各个时间段的面积的最大值即可判断．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，
∴BC+AD＝14cm，
∴t＝14÷2＝1，
故答案为1．
（2）①当0＜t＜4时，S＝•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t．
当4≤t＜6时，S＝•（6﹣t）×8＝﹣4t+2．
当6＜t≤1时，S＝（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+2．
②当0＜t＜4时，S＝•（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+3，
∵﹣1＜0，
∴t＝3时，△PBQ的面积最大，最小值为3．
当4≤t＜6时，S＝•（6﹣t）×8＝﹣4t+2，
∵﹣4＜0，
∴t＝4时，△PBQ的面积最大，最大值为8，
当6＜t≤1时，S＝（t﹣6）•（2t﹣8）＝t2﹣10t+2＝（t﹣5）2﹣1，
t＝1时，△PBQ的面积最大，最大值为3，
综上所述，t＝3时，△PBQ的面积最大，最大值为3．
【点睛】
本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，涉及了分类讨论的数学思想，灵活的利用二次函数的性质求三角形面积的最大值是解题的关键.
22、（1）①证明见解析；②BE＝2CD成立.理由见解析；（2）2或4．
【分析】（1）①作EH⊥BC于点H，由sinB=可得∠B=30°，∠A=60°，根据ED⊥AC可证明四边形CDEH是矩形，根据矩形的性质可得EH=CD，根据正弦的定义即可得BE＝2CD；
②根据旋转的性质可得∠BAC＝∠EAD，利用角的和差关系可得∠CAD＝∠BAE，根据=可证明△ACD∽△ABE，及相似三角形的性质可得，进而可得BE=2CD；
（2）由sinB=可得∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，根据ED⊥AC可得AD＝DE，AC＝BC，如图，分两种情况讨论，通过证明△ACD∽△ABE，求出CD的长即可.
【详解】（1）①作EH⊥BC于点H，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB=，
∴∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵ED⊥AC
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴四边形CDEH是矩形，即EH=CD.
∴在Rt△BEH中，∠B=30°
∴BE＝2EH
∴BE＝2CD.
②BE＝2CD成立．
理由：∵△ADE绕点A旋转到如图2的位置，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，即∠CAD＝∠BAE，
∵AC：AB＝1：2，AD：AE＝1：2，
∴，
∴△ACD∽△ABE，
∴，
又∵Rt△ABC中，＝2，
∴＝2，即BE＝2CD.
（2）∵sinB=，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，
∵ED⊥AC，
∴∠AED＝∠BAC＝45°，
∴AD＝DE，AC＝BC，
将△ADE绕点A旋转，∠DEB＝90°，分两种情况：
①如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠F＝90°，
当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，
又∵AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF＝EF＝2，
∵AC＝10＝BC，
∴AB＝10，
∴Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴BE＝BF﹣EF＝4，
又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，
且∠BAC＝∠EAD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAE，
∵AC：AB＝1：，AD：AE＝1：，
∴，
∴△ACD∽△ABE，
∴＝，即＝，
∴CD＝2；
②如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，
当∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，
又∵AD＝ED，
∴四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF＝AF＝2，
又∵AC＝10＝BC，
∴AB＝10，
∴Rt△ABF中，BF＝＝6，
∴BE＝BF+EF＝8，
又∵△ACD∽△ABE，
∴＝，即＝，
∴CD＝4，
综上所述，线段CD的长为2或4．
【点睛】
本题考查三角函数的定义、特殊角的三角函数值及相似三角形的判定与性质，根据正弦值得出∠ABC的度数并熟练掌握相似三角形的判定定理解题关键.
23、（1）；（2）；（3）甲加工或时，甲与乙加工的零件个数相等.
【解析】(1)观察图象可得零件总个数，观察AB段可得甲机器的速度，观察BC段结合甲的速度可求得乙的速度；
(2)设当时，与之间的函数解析式为，利用待定系数法求解即可；
(3)分乙机器出现故障前与修好故障后两种情况分别进行讨论求解即可.
【详解】(1)观察图象可知一共加工零件270个，
甲机器每小时加工零件：(90-50)÷(3-1)=20个，
乙机器排除故障后每小时加工零件：(270-90)÷(6-3)-20=40个，
故答案为：270，20，40；
设当时，与之间的函数解析式为
把，，代入解析式，得
解得

设甲加工小时时，甲与乙加工的零件个数相等，
乙机器出现故障时已加工零件50-20=30个，
，
；
乙机器修好后，根据题意则有
，
，
答：甲加工或时，甲与乙加工的零件个数相等.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，弄清题意，读懂函数图象，理清各量间的关系是解题的关键.
24、截去的小正方形长为
【分析】根据题意设截去的小正方形长为，并由题意列方程与解出方程即可.
【详解】解:设截去的小正方形长为，依题意列方程
解得:(舍去)
答:截去的小正方形长为.
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和一元二次方程的应用，只要理解题意并根据题干所给关系列出方程即可作出正确解答．
25、垂直于墙的边AB的长度为15米．
【分析】花园总共有三条边组成，可设AB=x，则BC=（50-2x）,根据题意有x(50-2x)=300,解得x=10或15，又因为BC要不大于25m，可知x=10要舍去，得AB=15m.
【详解】解：设AB为xm，则BC为（50﹣2x）m，
根据题意得方程：x（50﹣2x）＝300，
2x2﹣50x+300＝0，
解得；x1＝10，x2＝15，
∵50﹣2x≤25，
解得：x≥12.5，
答：垂直于墙的边AB的长度为15米．
【点睛】
本题的考点是二次函数的应用.方法是根据题意列出一元二次方程，解出方程即可.易错点在于BC边不能大于25，这是一个陷阱.
26、（1），；（1）存在，，，，，；（3）
【分析】（1）由点A在双曲线上，可得k的值，进而得出双曲线的解析式．设()，过A作AP⊥x轴于P，BQ⊥y轴于Q，直线BQ和直线AP相交于点M．根据=3解方程即可得出k的值，从而得出点B的坐标，把A、B的坐标代入抛物线的解析式即可得到结论；
（1）抛物线对称轴为，设，则可得出；；．然后分三种情况讨论即可；
（3）设M(x，y)．由MO=MA=MB，可求出M的坐标．作B关于y轴的对称点B'．连接B'M交y轴于Q．此时△BQM的周长最小．用两点间的距离公式计算即可．
【详解】（1）由知：k=xy=1×4=4，
∴．
设()．
过A作AP⊥x轴于P，BQ⊥y轴于Q，直线BQ和直线AP相交于点M，则S△AOP=S△BOQ=1．
令：，
整理得：，
解得：，．
∵m＜0，
∴m=-1，
故．
把A、B带入
解出：，
∴．
（1）
∴抛物线的对称轴为．
设，则，，．
∵△POB为等腰三角形，
∴分三种情况讨论：
①，即，解得：，
∴，；
②，即，解得：，
∴，；
③，即，解得：
∴；
（3）设．
∵，，，
∴，，．
∵，
∴
解得：，
∴．
作B关于y轴的对称点B'坐标为：(1，-1)．
连接B'M交y轴于Q．此时△BQM的周长最小．
=MB'+MB
．
【点睛】
本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、轴对称-最值问题等．第（1）问的关键是割补法；第（1）问的关键是分类讨论；第（3）问的关键是求出M的坐标．